Equivalência de Morita

Os anéis são comumente estudados em termos de seus módulos, pois os módulos podem ser vistos como representações dos anéis. Todo anel R tem uma estrutura natural de R-módulo sobre si mesmo, onde a ação do módulo é definida como a multiplicação no anel, de modo que a abordagem via módulos é mais geral e fornece informações úteis. Por isso, frequentemente se estuda um anel estudando a categoria de módulos sobre esse anel. A equivalência de Morita leva esse ponto de vista a uma conclusão natural, definindo que anéis são Morita equivalentes se suas categorias de módulos são equivalentes. Esta noção é de interesse apenas quando se lida com anéis não comutativos, pois pode-se mostrar que dois anéis comutativos são Morita equivalentes se e somente se são isomorfos.

Dois anéis R e S (associativos, com 1) são ditos (Morita) equivalentes se existe uma equivalência da categoria de módulos (à esquerda) sobre R, R-Mod, e da categoria de módulos (à esquerda) sobre S, S-Mod. Pode-se mostrar que as categorias de módulos à esquerda R-Mod e S-Mod são equivalentes se e somente se as categorias de módulos à direita Mod-R e Mod-S são equivalentes. Além disso, pode-se mostrar que qualquer functor de R-Mod para S-Mod que produz uma equivalência é automaticamente aditivo.

Quaisquer dois anéis isomorfos são Morita equivalentes. O anel de matrizes n-por-n com elementos em R, denotado Mn R, é Morita-equivalente a R para qualquer inteiro n > 0. Observe que isso generaliza a classificação de anéis simples artinianos dada pela teoria de Artin–Wedderburn. Para ver a equivalência, observe que se X é um R-módulo à esquerda, então Xn é um Mn(R)-módulo onde a estrutura de módulo é dada pela multiplicação de matrizes à esquerda de vetores coluna de X. Isso permite a definição de um functor da categoria de R-módulos à esquerda para a categoria de Mn(R)-módulos à esquerda. O functor inverso é definido percebendo que para qualquer Mn(R)-módulo existe um R-módulo à esquerda X tal que o Mn(R)-módulo é obtido a partir de X como descrito acima.

As equivalências podem ser caracterizadas da seguinte forma: se F : R-Mod → {\displaystyle \to } S-Mod e G : S-Mod → {\displaystyle \to } R-Mod são functores aditivos (covariantes), então F e G são uma equivalência se e somente se existe um (S,R)-bimódulo balanceado P tal que SP e PR são finitamente gerados projetivos geradores e existem isomorfismos naturais dos functores F ⁡ ( − ) ≅ P ⊗ R − {\displaystyle \operatorname {F} (-)\cong P\otimes _{R}-} , e dos functores G ⁡ ( − ) ≅ Hom ⁡ ( S P , − ) . {\displaystyle \operatorname {G} (-)\cong \operatorname {Hom} (_{S}P,-).} Geradores projetivos finitamente gerados também são às vezes chamados de progeradores para sua categoria de módulos. Para todo functor exato à direita F da categoria de R-módulos à esquerda para a categoria de S-módulos à esquerda que comuta com somas diretas, um teorema de álgebra homológica mostra que existe um (S,R)-bimódulo E tal que o functor F ⁡ ( − ) {\displaystyle \operatorname {F} (-)} é naturalmente isomorfo ao functor E ⊗ R − {\displaystyle E\otimes _{R}-} . Como as equivalências são, por necessidade, exatas e comutam com somas diretas, isso implica que R e S são Morita equivalentes se e somente se existem bimódulos RMS e SNR tais que M ⊗ S N ≅ R {\displaystyle M\otimes _{S}N\cong R} como (R,R)-bimódulos e N ⊗ R M ≅ S {\displaystyle N\otimes _{R}M\cong S} como (S,S)-bimódulos. Além disso, N e M estão relacionados por um isomorfismo de (S,R)-bimódulos: N ≅ Hom ⁡ ( M S , S S ) {\displaystyle N\cong \operatorname {Hom} (M_{S},S_{S})} .

Muitas propriedades são preservadas pelo functor de equivalência para os objetos na categoria de módulos. De modo geral, qualquer propriedade de módulos definida puramente em termos de módulos e seus homomorfismos (e não em termos de seus elementos subjacentes ou anel) é uma propriedade categórica que será preservada pelo functor de equivalência. Por exemplo, se F(-) é o functor de equivalência de R-Mod para S-Mod, então o R-módulo M tem qualquer uma das seguintes propriedades se e somente se o S-módulo F(M) tem: injetivo, projetivo, plano, fiel, simples, semissimples, finitamente gerado, finitamente apresentado, artiniano e noetheriano. Exemplos de propriedades não necessariamente preservadas incluem ser livre e ser cíclico. Muitas propriedades da teoria de anéis são enunciadas em termos de seus módulos, e portanto essas propriedades são preservadas entre anéis Morita equivalentes. Propriedades compartilhadas entre anéis equivalentes são chamadas de propriedades invariantes de Morita. Por exemplo, um anel R é semissimples se e somente se todos os seus módulos são semissimples, e como módulos semissimples são preservados sob equivalência de Morita, um anel equivalente S também deve ter todos os seus módulos semissimples e, portanto, ser ele próprio um anel semissimples.

Dual à teoria das equivalências está a teoria das dualidades entre as categorias de módulos, onde os functores usados são contravariantes em vez de covariantes. Esta teoria, embora de forma semelhante, tem diferenças significativas porque não há dualidade entre as categorias de módulos para quaisquer anéis, embora dualidades possam existir para subcategorias. Em outras palavras, como os módulos de dimensão infinita[necessário esclarecer] geralmente não são reflexivos, a teoria das dualidades se aplica mais facilmente a álgebras finitamente geradas sobre anéis noetherianos. Talvez não surpreendentemente, o critério acima tem um análogo para dualidades, onde o isomorfismo natural é dado em termos do functor hom em vez do functor tensor. A equivalência de Morita também pode ser definida em situações mais estruturadas, como para grupoides simpléticos e C*-álgebras. No caso das C*-álgebras, um tipo mais forte de equivalência, chamado equivalência de Morita forte, é necessário para obter resultados úteis em aplicações, devido à estrutura adicional das C*-álgebras (proveniente da operação * involutiva) e também porque as C*-álgebras não têm necessariamente um elemento identidade.

Se dois anéis são Morita equivalentes, há uma equivalência induzida das respectivas categorias de módulos projetivos, pois as equivalências de Morita preservarão sequências exatas (e, portanto, módulos projetivos). Como a K-teoria algébrica de um anel é definida (na abordagem de Quillen) em termos dos grupos de homotopia de (aproximadamente) o espaço classificante do nerve da categoria (pequena) de módulos projetivos finitamente gerados sobre o anel, anéis Morita equivalentes devem ter K-grupos isomorfos.