Catenária
Em matemática, catenária é a curva assumida por uma corrente ou cabo flexível suspensa fixada apenas por suas extremidades e sujeita somente à força de seu próprio peso (gravidade). A curva catenária tem um formato semelhante a letra U ou a um arco de parábola e é bastante comum, estando presente, por exemplo, no design de alguns arcos arquitetônicos.
A palavra "catenária" vem do Latim catena, que significa corrente. Christiaan Huygens foi o pioneiro no uso do termo catenária em uma correspondência com Gottfried Leibniz em 1690. O problema de descrever matematicamente a curva catenária foi proposto, oficialmente, por Jakob Bernoulli, que, em 1690 no Acta Eruditorum, periódico científico da época, lançou o desafio: “E agora vamos propor este problema: encontrar a curva formada por um fio pendente, livremente suspenso a partir de dois pontos fixos”. Anteriormente, Galileu Galilei já havia demonstrado interesse no problema e propôs que a curva, devido a sua aparência, seria aproximadamente uma parábola. No entanto, em 1646 Christiaan Huygens, aos 17 anos, demonstrou que a catenária não poderia ser uma parábola. Demonstração realizada também por Joachim Jungius em 1627, divulgada, contudo, postumamente, em 1669. As resoluções corretas para o problema, apresentadas por Gottfried Leibniz, Huygens e Johann Bernoulli, foram publicadas em junho de 1691 no Acta Eruditorum.
A equação da catenária em coordenadas cartesianas é dada pelo cosseno hiperbólico e a sua equivalente exponencial: y = a cosh ( x a ) = a 2 ( e x / a + e − x / a ) {\displaystyle y=a\cosh \left({x \over a}\right)={a \over 2}\left(e^{x/a}+e^{-x/a}\right)} na qual o parâmetro a = T o p {\displaystyle a={\frac {To}{p}}} relaciona a componente horizontal da tensão ( T o {\displaystyle To} ) com o peso por unidade de comprimento ( p ) {\displaystyle (p)} . s = a tan φ {\displaystyle s=a\tan \varphi } na qual s {\displaystyle s} é o comprimento de arco e φ {\displaystyle \varphi } o ângulo entre a reta tangente à curva e o eixo x {\displaystyle x} . κ = a a 2 + s 2 {\displaystyle \kappa ={\frac {a}{a^{2}+s^{2}}}} na qual κ {\displaystyle \kappa } é a curvatura. ρ = a sec 2 φ {\displaystyle \rho =a\sec ^{2}\varphi }
Propriedades
Quando uma parábola rola sem deslizar sobre a reta tangente à sua curva, a rolete traçada pelo seu foco (denominado gerador ou polo) é uma catenária. A envolvente de uma catenária é uma tractriz. Rodas em forma de qualquer polígono regular, com exceção do triângulo, conseguem rolar sem saltar em uma superfície constituída por saliências de catenárias invertidas, desde que as dimensões das catenárias e do polígono sejam coerentes. A revolução da catenária em torno de um eixo adequado gera a superfície de mínima área catenoide, que é a forma assumida por uma película de água e sabão limitada por dois círculos, demonstração feita por Euler em 1744.
No problema da catenária existem duas condições importantes: o cabo é considerado flexível, logo as tensões são sempre tangentes a curva, e está em equilíbro, ou seja, as forças resultantes nas direções x e y devem ser nulas. A partir destas duas condições são obtidas as equações que darão início à demonstração matemática. Considerando, primeiramente, o comprimento de arco s {\displaystyle s} entre o ponto mais baixo da curva Po (0,y) e P1 (x,y). Neste pedaço da curva atuam três forças: a tensão To no Po, a tensão T no P1 e a força peso. A To atua somente na direção x, sendo seu vetor definido como ( − T o {\displaystyle -To} ,0). A força peso atua somente na direção y, sendo seu vetor definido como (0, - p s {\displaystyle ps} ), no qual p {\displaystyle p} é o peso por unidade de comprimento. A tensão T atua na direção da reta tangente à curva no ponto P1 (devido à flexibilidade do fio) e pode ser decomposta em dois vetores paralelos aos eixos x e y, sendo seu vetor definido como ( T cos φ {\displaystyle T\cos \varphi } , T sen φ {\displaystyle T\operatorname {sen} \varphi } ) ou ( T x {\displaystyle Tx} , T y {\displaystyle Ty} ).
Uma força aplicada em um ponto qualquer da curva é distribuída igualmente por todo material, proporcionando maior estabilidade à estrutura. Por isso é amplamente utilizada na construção de arcos arquitetônicos, domos de catedrais e até iglus. Geralmente, pontes pênseis assumem a forma de uma parábola, embora frequentemente esta forma seja confundida com a catenária.
