Problemas de Hilbert

Os problemas de Hilbert foram bastante amplos e precisos. Alguns deles foram claros o suficiente em busca de uma resposta sim ou não, como, por exemplo, o terceiro problema (provavelmente o mais simples de ser entendido por não especialistas, além de ter sido o primeiro a ser resolvido) ou o oitavo problema (A hipótese de Riemann). Existem outros problemas (como o quinto) com os quais especialistas concordam numa única interpretação e uma solução para tal interpretação foi dada, mas alguns permanecem não resolvidos; talvez estes estejam intimamente relacionados com o que Hilbert pretendia. Às vezes as declarações de Hilbert não eram precisas o suficiente para especificar um problema em particular, mas eram sugestivas o suficiente de forma que certos problemas de natureza mais contemporânea pareciam ter uma aplicação. Por exemplo, estudiosos de Teoria Moderna dos Números provavelmente poderiam ver o nono problema como uma referência à correspondência conjectural de Langlands sobre a representação de grupos de Galois de um corpo de números. Como também, por exemplo, o décimo primeiro e o décimo sexto problemas, centrados no que são hoje subdisciplinas matemáticas florescentes, como a teoria das formas quadráticas e as curvas algébricas reais.

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Muitos dos problemas de Hilbert foram resolvidos de maneira surpreendente, e por vezes de forma perturbadora, até mesmo para o próprio Hilbert. Seguindo Frege e Russell, Hilbert procurou definir a matemática através da lógica, usando o método de sistemas formais, ou seja, provas finitistas a partir de um conjunto constituído por axiomas. Um dos principais objetivos do programa de Hilbert era uma prova finitista da consistência dos axiomas da aritmética: o que fora proposto em seu segundo problema. No entanto, o segundo teorema da incompletude de Gödel mostra que uma prova finitista da consistência da aritmética é comprovadamente impossível. Hilbert viveu por 12 anos após o teorema de Gödel, mas parece que não escreveu qualquer resposta formal ao seu trabalho. Mesmo assim, sem dúvida, a importância do trabalho de Gödel para a matemática como um todo (não apenas na lógica formal) foi amplamente ilustrado por sua aplicabilidade a um dos problemas de Hilbert.

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Ao preparar os problemas, Hilbert havia listado 24 problemas, mas acabou decidindo não propor um deles. O 24.° era sobre um critério para simplicidade e métodos gerais em Teoria de Prova. Deve-se a descoberta deste problema a Rüdiger Thiele, em 2000.

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Desde 1900, matemáticos e organizações matemáticas anunciaram várias listas de problemas, com algumas exceções, essas coleções não tiveram tanta influência nem provocaram tanto trabalho como os problemas de Hilbert. Uma das exceções é feita por três conjecturas feitas por André Weil durante a década de 40 (as conjecturas de Weil). Nos campos da geometria algébrica, teoria dos números e as ligações entre as duas, as conjecturas de Weil foram muito importantes. A primeira das conjecturas de Weil foi provada por Bernard Dwork, e uma prova completamente diferente das duas primeiras conjecturas via chomologia l-ádica foi dada por Alexander Grothendieck. A última e mais profunda das conjecturas de Weil (um análogo da hipótese de Riemann) foi provada por Pierre Deligne. Ambos Grothendieck e Deligne foram premiados com a medalha Fields. No entanto, as conjecturas de Weil em seu âmbito se assemelham mais a um simples problema de Hilbert, e Weil nunca os alvejou como um programa para toda a matemática. Isso é um pouco irônico, já que indiscutivelmente Weil era o matemático das décadas de 40 e 50 que melhor desempenhou o papel de Hilbert, sendo familiarizado com quase todas as áreas da matemática (teórica) e de ter sido importante para o desenvolvimento de muitos delas.