Teorema do valor médio

Então g {\displaystyle g} também é contínua em [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} e derivável em ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} . Além disso, g ( a ) = g ( b ) = 0 {\displaystyle g(a)=g(b)=0} . Logo, pelo teorema de Rolle, existe algum c {\displaystyle c} ∈ ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} tal que g ′ ( c ) = 0 {\displaystyle g'(c)=0} . Mas

Se f {\displaystyle f} for uma função contínua de [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} em R n {\displaystyle ^{n}} que seja derivável em ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} , então já não é verdade que existe necessariamente algum c {\displaystyle c} ∈ ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} tal que Considere-se, por exemplo, a função f {\displaystyle f} de [ 0 , 2 π ] {\displaystyle [0,2\pi ]} em R 2 {\displaystyle ^{2}} definida por No entanto, é verdade que existe sempre algum c {\displaystyle c} ∈ ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} tal que Isto pode ser demonstrado do seguinte modo. Seja v {\displaystyle v} ∈ R n {\displaystyle ^{n}} um vector de norma 1 tal que Então g {\displaystyle g} é contínua em [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} e derivável em ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} , pelo que existe algum c {\displaystyle c} ∈ ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} tal que pelo que, pela desigualdade de Cauchy-Schwarz,

Um resultado mais geral é o Teorema de Cauchy, que afirma que se f e g são funções contínuas de [a,b] em R que são deriváveis em (a,b), então existe algum c ∈ (a,b) tal que É uma generalização do teorema de Lagrange pois, se se tomar g(x) = x, isto significa O Teorema de Cauchy pode ser demonstrado considerando a função h de [a,b] em R definida por Então h é contínua, é derivável em (a,b) e h(a) = h(b), pelo que existe algum c ∈ (a,b) tal que Naturalmente, o Teorema de Cauchy não tem interesse caso f(a) = f(b) e g(a) = g(b). Caso contrário, o significado do teorema de Cauchy é: se se considerar a curva então o declive de recta definida por (f(a),g(a)) e por (f(b),g(b)) é igual ao declive da tangente à curva em algum ponto.