Cálculo diferencial
O cálculo diferencial é uma parte essencial da análise e, portanto, um ramo da Matemática. O tema central do cálculo diferencial é o cálculo das variações locais de funções. Enquanto uma função contínua associa continuamente certos valores de saída aos seus valores de entrada, o cálculo diferencial determina o quanto os valores de saída mudam após alterações muito pequenas nos valores de entrada. Está intimamente relacionado com o Cálculo integral, com o qual é agrupado sob a designação de Cálculo infinitesimal.
Introdução através de um exemplo
Se um carro viaja por uma estrada, pode-se criar uma tabela com base nessa situação, na qual a distância percorrida desde o início do registo é anotada a cada instante de tempo. Na prática, é conveniente não criar uma tabela com intervalos demasiado curtos, ou seja, num período de 1 minuto, fazer um novo registo apenas a cada 3 segundos, o que exigiria apenas 20 medições. No entanto, em teoria, uma tal tabela pode ser tornada tão pormenorizada quanto se deseje se cada instante de tempo tiver de ser considerado. Ao fazê-lo, os dados discretos anteriores, ou seja, dados contáveis separados por um intervalo, passam para um contínuo. O presente é então interpretado como um instante no tempo, ou seja, um período de tempo infinitamente curto. Ao mesmo tempo, porém, o carro percorreu uma distância teoricamente conhecida em todos os momentos e, a menos que trave até parar ou mesmo ande de marcha à ré, a distância aumentará continuamente, ou seja, nunca será a mesma num momento e noutro.
Princípio do cálculo diferencial
O exemplo da seção anterior é particularmente simples quando o aumento da distância percorrida ao longo do tempo é uniforme, ou seja, linear. Então, existe especificamente uma Proporcionalidade entre a mudança na distância e a mudança no tempo. A mudança relativa da distância, ou seja, o seu aumento em relação ao aumento do tempo, permanece sempre a mesma durante este movimento. A velocidade média é a velocidade instantânea a qualquer momento. Por exemplo, entre 0 e 1 segundo o carro viaja a mesma distância que entre 9 e 10 segundos, e dez vezes a distância entre 0 e 10 segundos. A velocidade constante v {\displaystyle v} aplica-se como um fator de proporcionalidade em toda a distância, sendo no quadro ao lado de v = 2 m / s {\displaystyle v=2\,\mathrm {m/s} } . A distância percorrida entre dois instantes t {\displaystyle t} e t + Δ t {\displaystyle t+\Delta t} , arbitrariamente distantes, é
Cálculo de limites
Todo o quociente diferencial num dado ponto surge como uma expressão indeterminada do tipo " 0 0 {\displaystyle {\tfrac {0}{0}}} ". O seu cálculo baseia-se no quociente de diferenças, e o seu comportamento na vizinhança do ponto pretendido é examinado para ver se tem a tendência de assumir um determinado valor. Alguns limites necessários para as regras de derivação são deduzidos a seguir. Naturalmente, não se pode recorrer a quaisquer regras de cálculo diferencial para isso, uma vez que estas só podem ser estabelecidas após o conhecimento dos limites. O ponto de partida é o quociente de diferenças para a função designada. Se for introduzida a fórmula binomial ( x + h ) 2 = x 2 + 2 x h + h 2 {\displaystyle (x+h)^{2}=x^{2}+2xh+h^{2}} , uma parcela é eliminada.
Classificação das possíveis aplicações
Uma aplicação importante do cálculo diferencial é que, com a ajuda da derivada, é possível determinar os valores extremos locais de uma curva. Em vez de ter de procurar mecanicamente pontos de máximo ou de mínimo através de uma tabela de valores, o cálculo fornece uma resposta direta em alguns casos. Se existe um ponto máximo ou mínimo, a curva não tem uma subida "real" nesse ponto, razão pela qual a linearização ótima tem um declive de 0. Contudo, para a classificação exata de um valor extremo, são necessários mais dados locais da curva, dado que um declive de 0 não é suficiente para a existência de um valor extremo (muito menos de um ponto de máximo ou mínimo).
O caso de dimensões superiores
O cálculo diferencial pode ser generalizado para o caso de "funções de dimensões superiores". Isto significa que tanto os valores de entrada como os de saída da função não só fazem parte da reta numérica unidimensional, como são também pontos num espaço dimensionalmente superior. Um exemplo disto é a regra entre espaços bidimensionais em cada caso. A compreensão da função como uma tabela permanece idêntica aqui, exceto que esta tabela possui "significativamente mais" entradas com as suas "quatro colunas" ( x , y , x 2 + y 2 , x 2 − 2 y ) {\displaystyle (x,y,x^{2}+y^{2},x^{2}-2y)} . Funções multidimensionais também podem, em certos casos, ser linearizadas num ponto. Contudo, é conveniente notar que pode haver múltiplas dimensões de entrada bem como múltiplas dimensões de saída: O caminho adequado de generalização consiste em que a linearização tome em consideração todas as variáveis de um modo linear em todas as componentes de saída. Para o caso da função de exemplo acima, isto implica uma aproximação da forma
A formulação do problema do cálculo diferencial surgiu como o problema da tangente a partir do século XVII. Entende-se por isto a tarefa de determinar a tangente num ponto arbitrário de uma curva arbitrária. Uma abordagem óbvia para a solução consistia em aproximar a tangente a uma curva através da sua reta secante ao longo de um intervalo finito (finito significa aqui: maior do que zero), mas arbitrariamente pequeno. Para tal, era necessário ultrapassar a dificuldade técnica de calcular com uma largura de intervalo tão infinitesimalmente pequena. Os primeiros primórdios do cálculo diferencial remontam a Pierre de Fermat. Por volta de 1628, ele desenvolveu um método para determinar os pontos extremos de termos algébricos e calcular tangentes a secções cónicas e outras curvas. O seu "método" era puramente algébrico. Fermat não considerou processos de limite e muito menos derivadas. No entanto, o seu "método" pode ser interpretado e justificado com os meios modernos da análise, e está provado que inspirou matemáticos como Newton e Leibniz. Alguns anos mais tarde, René Descartes optou por uma abordagem algébrica diferente, desenhando um círculo tangente a uma curva. Este interseta a curva em dois pontos próximos um do outro; a menos que toque (tangencie) a curva. Esta abordagem permitiu-lhe determinar o declive da tangente para curvas especiais.
Declive da secante e declive da tangente
O ponto de partida para a definição da derivada é a aproximação do declive da tangente por um declive da secante (por vezes também chamado de declive da corda). Procura-se a inclinação de uma função f {\displaystyle f} num ponto ( x 0 , f ( x 0 ) ) {\displaystyle (x_{0},f(x_{0}))} . Calcula-se primeiro a inclinação da reta secante a f {\displaystyle f} sobre um intervalo finito [ x 0 , x 0 + Δ x ] {\displaystyle [x_{0},x_{0}+\Delta x]} de comprimento Δ x {\displaystyle \Delta x} : A inclinação da secante é, portanto, o quociente de duas diferenças; por isso, é também chamada de quociente de diferenças. Com a notação abreviada Δ y {\displaystyle \Delta y} para f ( x 0 + Δ x ) − f ( x 0 ) {\displaystyle f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})} , pode-se escrever a inclinação da secante de forma abreviada como Δ y Δ x {\displaystyle {\tfrac {\Delta y}{\Delta x}}} . A expressão Δ x {\displaystyle \Delta x} ilustra, assim, a diferença arbitrariamente pequena entre o ponto no qual se pretende calcular a derivada e um ponto vizinho. Na literatura, contudo, tal como se segue, o símbolo h {\displaystyle h} é frequentemente utilizado em vez de Δ x {\displaystyle \Delta x} por razões de simplicidade.
Diferenciabilidade
Uma função f : U → R {\displaystyle f\colon U\to \mathbb {R} } que mapeia um Intervalo aberto U {\displaystyle U} nos números reais é chamada de diferenciável no ponto x 0 ∈ U {\displaystyle x_{0}\in U} se o limite existir. Este limite é chamado de quociente diferencial ou derivada de f {\displaystyle f} em ordem a x {\displaystyle x} no ponto x 0 {\displaystyle x_{0}} e é notado como Ao longo do tempo, foi encontrada a seguinte definição equivalente, a qual provou ser mais poderosa no contexto mais amplo de funções complexas ou multidimensionais: Uma função é chamada diferenciável num ponto x 0 {\displaystyle x_{0}} se existir uma constante L {\displaystyle L} tal que
Função derivada
A derivada da função f : U → R {\displaystyle f\colon U\to \mathbb {R} } no ponto x 0 {\displaystyle x_{0}} , denotada por f ′ ( x 0 ) {\displaystyle f'(x_{0})} , descreve localmente o comportamento da função na vizinhança do ponto considerado x 0 {\displaystyle x_{0}} . Fielmente, é possível efetuar uma linearização em cada ponto do gráfico da função. Isto permite a definição de uma função derivada (ou apenas derivada) f ′ : U → R {\displaystyle f'\colon U\to \mathbb {R} } , a qual atribui a cada elemento do domínio U {\displaystyle U} da função original f {\displaystyle f} o declive da linearização nesse ponto. Neste caso, diz-se que " f {\displaystyle f} é diferenciável em U {\displaystyle U} ".
Notações
Por razões históricas, existem diferentes notações para representar a derivada de uma função. Neste artigo, a notação f ′ {\displaystyle f'} tem sido utilizada principalmente até agora para a derivada de f {\displaystyle f} . Esta notação remonta ao matemático Joseph-Louis Lagrange, que a introduziu em 1797. Com esta notação, a segunda derivada de f {\displaystyle f} é denotada por f ″ {\displaystyle f''} e a enésima derivada por f ( n ) {\displaystyle f^{(n)}} . Isaac Newton – o fundador do cálculo diferencial juntamente com Leibniz – denotou a primeira derivada de x {\displaystyle x} por x ˙ {\displaystyle {\dot {x}}} e correspondentemente notou a segunda derivada por x ¨ {\displaystyle {\ddot {x}}} . Atualmente, esta notação é frequentemente utilizada na física, especialmente na Mecânica, para a derivada em relação ao tempo.
O cálculo da derivada de uma função é chamado de diferenciação ou derivação; ou seja, diz-se que se diferencia ou deriva essa função. Para calcular a derivada de funções elementares (por ex. x n {\displaystyle x^{n}} , sin ( x ) {\displaystyle \sin(x)} , …), atemo-nos estritamente à definição dada acima, calculamos explicitamente um quociente de diferenças e depois fazemos com que h {\displaystyle h} tenda para zero. Contudo, este método é geralmente trabalhoso. No ensino do cálculo diferencial, este tipo de cálculo é, portanto, realizado apenas algumas vezes. Mais tarde, recorre-se a funções derivadas já conhecidas ou procura-se as derivadas de funções menos comuns em tabelas (por ex. no Bronstein-Semendjajew, ver também Tabela de derivadas e integrais) e calcula-se a derivada de funções compostas com a ajuda das regras de derivação.
Derivadas de funções elementares
Para o cálculo da função derivada de uma função elementar num determinado ponto x {\displaystyle x} , forma-se o quociente de diferenças correspondente, que é válido numa vizinhança x + h {\displaystyle x+h} com h ≠ 0 {\displaystyle h\neq 0} , e depois efetua-se a passagem ao limite h → 0 {\displaystyle h\to 0} . O caso f ( x ) = x 2 {\displaystyle f(x)=x^{2}} já foi abordado mais acima. O quociente de diferenças correspondente resulta em Se h ≠ 0 {\displaystyle h\neq 0} , pode-se simplificar cortando o h {\displaystyle h} , e a aproximação h → 0 {\displaystyle h\to 0} conduz a Em geral, para um número natural n {\displaystyle n} com f ( x ) = x n {\displaystyle f(x)=x^{n}} , utiliza-se o Teorema binomial:
Outras funções elementares
Com as derivadas anteriores, podem ser estabelecidas funções derivadas para outras funções. Para este fim, são necessárias também as regras de derivação para as operações aritméticas básicas, a Regra da cadeia e a Regra da função inversa. A função f ( x ) = x n {\displaystyle f(x)=x^{n}} foi até agora derivada apenas para n {\displaystyle n} como um número natural. A aplicabilidade da regra de derivação correspondente pode ser estendida para expoentes reais quando x > 0 {\displaystyle x>0} . Com a substituição tem-se f ( x ) = x n = e z . {\displaystyle \;f(x)=x^{n}=\mathrm {e} ^{z}.} Se isto for diferenciado usando a regra da cadeia, obtém-se o resultado conhecido:
Função composta
Funções compostas podem ser estruturadas até que a regra de derivação elementar aplicável a cada elemento estrutural possa ser encontrada. Para isso, existem a Regra da soma, a Regra do produto, a Regra do quociente e a Regra da cadeia. Uma vez que estas são explicadas nos seus próprios artigos, apresenta-se aqui apenas um exemplo.
Resumo
Aqui resumem-se as regras de derivação para funções elementares e compostas. Uma lista detalhada encontra-se em Tabela de derivadas e integrais.
Se a derivada f ′ {\displaystyle f'} de uma função f {\displaystyle f} for, por sua vez, diferenciável, a segunda derivada de f {\displaystyle f} pode ser definida como a derivada da primeira. Da mesma forma, podem ser definidas a terceira, a quarta, etc., derivadas. Em conformidade, uma função pode ser diferenciável uma vez, diferenciável duas vezes, etc. Se a primeira derivada da posição (ou percurso) em relação ao tempo for a Velocidade, então a segunda derivada pode ser interpretada como a Aceleração e a terceira derivada como o arranque (ou solavanco). As derivadas de ordem superior podem ser escritas de várias formas: ou no caso físico (para uma derivada em relação ao tempo) Para a designação formal de derivadas arbitrárias f ( n ) {\displaystyle f^{(n)}} , também se estabelece f ( 1 ) = f ′ {\displaystyle f^{(1)}=f'} e f ( 0 ) = f {\displaystyle f^{(0)}=f} .
Operadores diferenciais de ordem superior
Se n {\displaystyle n} for um número natural e U ⊂ R {\displaystyle U\subset \mathbb {R} } um conjunto aberto, então o espaço das funções n {\displaystyle n} vezes continuamente diferenciáveis em U {\displaystyle U} é designado por C n ( U ) {\displaystyle C^{n}(U)} . O Operador diferencial d d x {\displaystyle {\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}} induz assim uma cadeia de mapeamentos lineares e, assim, em geral para k ≤ n {\displaystyle k\leq n} : Aqui C 0 ( U ) {\displaystyle C^{0}(U)} designa o espaço das funções contínuas em U {\displaystyle U} . Como exemplo: Se um f ∈ C n ( U ) {\displaystyle f\in C^{n}(U)} for derivado uma vez aplicando d d x {\displaystyle {\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}} , o resultado f ′ {\displaystyle f'} só pode geralmente ser derivado mais ( n − 1 ) {\displaystyle (n-1)} vezes, e assim por diante. Cada espaço C k ( U ) {\displaystyle C^{k}(U)} é uma R {\displaystyle \mathbb {R} } -álgebra, uma vez que, de acordo com as regras da soma e do produto, as somas e também os produtos de funções k {\displaystyle k} vezes continuamente diferenciáveis são novamente funções k {\displaystyle k} vezes continuamente diferenciáveis. Adicionalmente, aplica-se a cadeia ascendente de inclusões próprias
Regras para derivadas de ordem superior
A derivada de ordem n {\displaystyle n} para um produto de duas funções f {\displaystyle f} e g {\displaystyle g} diferenciáveis n {\displaystyle n} vezes resulta de As expressões da forma ( n k ) {\displaystyle {\tbinom {n}{k}}} que ocorrem aqui são coeficientes binomiais. A fórmula é uma generalização da regra do produto. Esta fórmula permite a representação fechada da n {\displaystyle n} -ésima derivada da composição de duas funções diferenciáveis n {\displaystyle n} vezes. Ela generaliza a regra da cadeia para derivadas de ordem superior.
Fórmulas de Taylor com resto
Se f {\displaystyle f} for uma função ( n + 1 ) {\displaystyle (n+1)} vezes continuamente diferenciável num intervalo I {\displaystyle I} , então a chamada fórmula de Taylor aplica-se a todo o a {\displaystyle a} e x {\displaystyle x} de I {\displaystyle I} : com o n {\displaystyle n} -ésimo polinómio de Taylor no ponto de desenvolvimento a {\displaystyle a} e o ( n + 1 ) {\displaystyle (n+1)} -ésimo resto com um ξ = ξ ( x ) ∈ ( min { a , x } , max { a , x } ) ⊂ I {\displaystyle \xi =\xi (x)\in (\min\{a,x\},\max\{a,x\})\subset I} . Uma função infinitamente diferenciável é chamada de função suave. Como possui todas as derivadas, a fórmula de Taylor acima pode ser expandida para a Série de Taylor de f {\displaystyle f} com o ponto de desenvolvimento a {\displaystyle a} :
Funções suaves
Funções que são infinitamente diferenciáveis em cada ponto do seu domínio de definição são também designadas por funções suaves. O conjunto de todas as funções suaves f : U → R {\displaystyle f\colon U\to \mathbb {R} } num conjunto aberto U ⊂ R {\displaystyle U\subset \mathbb {R} } é habitualmente denotado por C ∞ ( U ) {\displaystyle C^{\infty }(U)} . Ele tem a estrutura de uma R {\displaystyle \mathbb {R} } -álgebra (múltiplos escalares, somas e produtos de funções suaves também são funções suaves) e é dado por onde C n ( U ) {\displaystyle C^{n}(U)} denota todas as funções que são n {\displaystyle n} vezes continuamente diferenciáveis em U {\displaystyle U} . Na análise matemática encontra-se frequentemente o termo suficientemente suave. O que isto significa é que a função é diferenciável pelo menos tantas vezes quantas as necessárias para levar a cabo a linha de raciocínio em questão.
Funções analíticas
O conceito acima de suavidade pode ser ainda mais refinado. Uma função f : U → R {\displaystyle f\colon U\to \mathbb {R} } diz-se analítica real se puder ser expandida localmente numa série de Taylor em cada ponto, ou seja, para todo o a ∈ U {\displaystyle a\in U} e para todos os valores suficientemente pequenos de | x − a | {\displaystyle |x-a|} . As funções analíticas têm propriedades fortes e recebem especial atenção na análise complexa. Deste modo, aí não são estudadas funções reais, mas sim funções analíticas complexas. O seu conjunto é normalmente designado por C ω ( U ) {\displaystyle C^{\omega }(U)} e aplica-se C ω ( U ) ⊊ C ∞ ( U ) {\displaystyle C^{\omega }(U)\subsetneq C^{\infty }(U)} . De notar em particular que qualquer função analítica é suave, mas não o inverso. A existência de todas as derivadas não é, portanto, suficiente para garantir que a série de Taylor represente a função, como mostra o seguinte contraexemplo
Aplicações
Uma aplicação importante do cálculo diferencial a uma variável é a determinação de valores extremos, principalmente para a otimização de processos, como no contexto de custos, material ou consumo de energia. O cálculo diferencial fornece um método para encontrar os pontos extremos sem ter de efetuar uma busca numérica trabalhosa. Este tira partido do facto de que num ponto de extremo local x 0 {\displaystyle x_{0}} a primeira derivada da função f {\displaystyle f} deve necessariamente ser igual a 0. Portanto, f ′ ( x 0 ) = 0 {\displaystyle f'(x_{0})=0} deve aplicar-se se x 0 {\displaystyle x_{0}} for um ponto de extremo local. Inversamente, porém, f ′ ( x 0 ) = 0 {\displaystyle f'(x_{0})=0} ainda não significa que f ( x 0 ) {\displaystyle f(x_{0})} seja um máximo ou um mínimo. Neste caso, são necessárias mais informações para poder tomar uma decisão inequívoca, o que geralmente é possível observando as derivadas superiores em x 0 {\displaystyle x_{0}} .
Teorema fundamental do cálculo
A principal contribuição de Leibniz foi a constatação de que a integração e a derivação estão relacionadas. Ele formulou isto no teorema principal do cálculo diferencial e integral, também chamado de Teorema Fundamental do Cálculo, que afirma: Se I ⊂ R {\displaystyle I\subset \mathbb {R} } for um intervalo, f : I → R {\displaystyle f\colon I\to \mathbb {R} } uma função contínua e a ∈ I {\displaystyle a\in I} um número arbitrário contido em I {\displaystyle I} , então a função é continuamente diferenciável, e a sua derivada F ′ {\displaystyle F'} é igual a f {\displaystyle f} . Isto fornece, assim, um guia para a integração: Procura-se uma função F {\displaystyle F} , cuja derivada F ′ {\displaystyle F'} seja o integrando f {\displaystyle f} . Então vale:
Teorema do valor médio do cálculo diferencial
Outro teorema central do cálculo diferencial é o Teorema do valor médio, que foi provado em 1821 por Cauchy. Seja f : [ a , b ] → R {\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} } uma função definida e contínua no intervalo fechado [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} (com a < b {\displaystyle a<b} ). Além disso, seja a função f {\displaystyle f} diferenciável no intervalo aberto ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} . Sob estas condições, existe pelo menos um x 0 ∈ ( a , b ) {\displaystyle x_{0}\in (a,b)} , tal que é válido – de um ponto de vista geométrico-intuitivo: Entre dois pontos de interseção de uma reta secante, existe na curva um ponto com uma reta tangente paralela à secante.
Monotonia e diferenciabilidade
Se a < b {\displaystyle a<b} e f : ( a , b ) → R {\displaystyle f\colon (a,b)\to \mathbb {R} } for uma função diferenciável com f ′ ( x ) ≠ 0 {\displaystyle f'(x)\not =0} para todo a < x < b {\displaystyle a<x<b} , então aplicam-se as seguintes afirmações: A partir disto, pode deduzir-se que uma função continuamente diferenciável f : ( a , b ) → f ( ( a , b ) ) {\displaystyle f\colon (a,b)\to f((a,b))} , cuja derivada nunca se anula, já define um Difeomorfismo entre os intervalos ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} e f ( ( a , b ) ) {\displaystyle f((a,b))} . Em múltiplas variáveis, a afirmação análoga é falsa. Assim, a derivada da função exponencial complexa z ↦ e x p ( z ) {\displaystyle z\mapsto \mathrm {exp} (z)} , a saber, ela própria, não se anula em nenhum ponto, mas não se trata de uma aplicação injetiva (global) C → e x p ( C ) {\displaystyle \mathbb {C} \to \mathrm {exp} (\mathbb {C} )} . Note-se que esta pode ser entendida como uma função real de dimensão superior R 2 → exp ( R 2 ) {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\to \mathrm {\exp } (\mathbb {R} ^{2})} , uma vez que C {\displaystyle \mathbb {C} } é um Espaço vetorial sobre R {\displaystyle \mathbb {R} } bidimensional.
A regra de l'Hôpital
Como aplicação do Teorema do valor médio, pode deduzir-se uma relação que, em alguns casos, permite calcular expressões indeterminadas da forma 0 0 {\displaystyle {\tfrac {0}{0}}} ou ∞ ∞ {\displaystyle {\tfrac {\infty }{\infty }}} . Sejam f , g : ( a , b ) → R {\displaystyle f,g\colon (a,b)\to \mathbb {R} } diferenciáveis e não tenha g {\displaystyle g} nenhum zero. Suponha-se também que ou sob a condição de que o último limite exista em R ∪ { ± ∞ } {\displaystyle \mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}} .
Em muitas aplicações analíticas, não se lida apenas com uma função f {\displaystyle f} , mas sim com uma sequência de funções ( f n ) n ∈ N {\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }} . Neste contexto, é necessário esclarecer até que ponto o operador de derivação é compatível (isto é, pode ser comutado) com processos como limites, somas ou integrais.
Funções limite
Numa sequência de funções convergente e diferenciável ( f n ) n ∈ N {\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }} , em geral não é possível tirar conclusões sobre o limite da sequência das derivadas ( f n ′ ) n ∈ N {\displaystyle (f_{n}')_{n\in \mathbb {N} }} , nem mesmo se ( f n ) n ∈ N {\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }} convirja uniformemente. A afirmação análoga no cálculo integral, por outro lado, é verdadeira: na presença de convergência uniforme, o limite e a integral podem ser comutados, pelo menos se a função limite for "bem comportada". A partir deste facto, pode pelo menos concluir-se o seguinte: Seja f n : [ a , b ] → R {\displaystyle f_{n}\colon [a,b]\to \mathbb {R} } uma sequência de funções continuamente diferenciáveis, tal que a sequência das derivadas f n ′ : [ a , b ] → R {\displaystyle f_{n}'\colon [a,b]\to \mathbb {R} } convirja uniformemente para uma função g : [ a , b ] → R {\displaystyle g\colon [a,b]\to \mathbb {R} } . Suponha-se também que a sequência f n ( x 0 ) {\displaystyle f_{n}(x_{0})} convirja para pelo menos um ponto x 0 ∈ [ a , b ] {\displaystyle x_{0}\in [a,b]} . Então f n : [ a , b ] → R {\displaystyle f_{n}\colon [a,b]\to \mathbb {R} } converge uniformemente para uma função diferenciável f : [ a , b ] → R {\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} } e tem-se f ′ = g {\displaystyle f'=g} .
Comutação com séries infinitas
Seja f n : [ a , b ] → R {\displaystyle f_{n}\colon [a,b]\to \mathbb {R} } uma sequência de funções continuamente diferenciáveis, tal que a série ∑ n = 1 ∞ | | f n ′ | | ∞ {\displaystyle \textstyle \sum _{n=1}^{\infty }||f_{n}'||_{\infty }} convirja, onde | | f n ′ | | ∞ := sup x ∈ [ a , b ] | f n ′ ( x ) | {\displaystyle ||f_{n}'||_{\infty }:=\sup _{x\in [a,b]}|f_{n}'(x)|} denota a Norma do supremo. Se além disso a série ∑ n = 1 ∞ f n ( x 0 ) {\displaystyle \textstyle \sum _{n=1}^{\infty }f_{n}(x_{0})} convergir para um x 0 ∈ [ a , b ] {\displaystyle x_{0}\in [a,b]} , então a série de funções g N := ∑ n = 1 N f n {\displaystyle \textstyle g_{N}:=\sum _{n=1}^{N}f_{n}} converge uniformemente para uma função diferenciável, e tem-se
Comutação com integração
Seja f : [ a , b ] × [ c , d ] → R {\displaystyle f\colon [a,b]\times [c,d]\to \mathbb {R} } uma função contínua, tal que a derivada parcial também é diferenciável, e aplica-se a igualdade Esta regra é também conhecida como a regra de Leibniz.
Até agora, falou-se apenas de funções reais. No entanto, todas as regras abordadas podem ser transpostas para funções com entradas e valores complexos. O motivo para tal é que os números complexos C {\displaystyle \mathbb {C} } formam um corpo, tal como os números reais, logo a adição, a multiplicação e a divisão estão aí definidas. Esta estrutura adicional constitui a diferença decisiva em relação a uma abordagem de derivadas reais multidimensionais, em que C {\displaystyle \mathbb {C} } é entendido apenas como um Espaço vetorial sobre R {\displaystyle \mathbb {R} } bidimensional. Além disso, os conceitos de distância euclidiana dos números reais (ver também Espaço euclidiano) podem ser transferidos naturalmente para os números complexos. Isto permite uma definição e um tratamento análogos dos conceitos importantes para o cálculo diferencial, como sequência e limite. Assim, se U ⊂ C {\displaystyle U\subset \mathbb {C} } for um conjunto aberto e f : U → C {\displaystyle f\colon U\to \mathbb {C} } uma função de valores complexos, então f {\displaystyle f} diz-se complexamente diferenciável no ponto z ∈ U {\displaystyle z\in U} se o limite
Até agora, todas as considerações tiveram como premissa uma função de uma variável (ou seja, com um número real ou complexo como argumento). Funções que mapeiam vetores em vetores ou vetores em números podem igualmente ter uma derivada. Contudo, nesses casos, não existe apenas uma tangente exclusivamente definida no gráfico da função, visto que as direções multiplicam-se. Nisto faz-se necessária uma ampliação na compreensão do que se concebe como derivada até ao momento.
Diferenciabilidade multidimensional e a matriz jacobiana
Seja U ⊂ R n {\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}} um conjunto aberto, f : U → R m {\displaystyle f\colon U\to \mathbb {R} ^{m}} uma função, x 0 ∈ U {\displaystyle x_{0}\in U} e v ∈ R n ∖ { 0 } {\displaystyle v\in \mathbb {R} ^{n}\setminus \{0\}} um vetor de direção. Como U {\displaystyle U} é aberto, existe ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} tal que x 0 + h v ∈ U {\displaystyle x_{0}+hv\in U} para todo | h | < ε {\displaystyle |h|<\varepsilon } . Assim, a função ( − ε , ε ) → R m {\displaystyle (-\varepsilon ,\varepsilon )\to \mathbb {R} ^{m}} dada por h ↦ f ( x 0 + h v ) {\displaystyle h\mapsto f(x_{0}+hv)} está bem definida. Se essa função for diferenciável em h = 0 {\displaystyle h=0} , então sua derivada nesse ponto recebe o nome de derivada direcional de f {\displaystyle f} em x 0 {\displaystyle x_{0}} na direção v {\displaystyle v} , e é frequentemente denotada por D v f ( x 0 ) {\displaystyle D_{v}f(x_{0})} . Ela é dada por
Regras de cálculo do cálculo diferencial multidimensional
Sejam U ⊂ R n {\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}} e V ⊂ R m {\displaystyle V\subset \mathbb {R} ^{m}} abertos, bem como f : U → R m {\displaystyle f\colon U\to \mathbb {R} ^{m}} e g : V → R ℓ {\displaystyle g\colon V\to \mathbb {R} ^{\ell }} diferenciáveis em x 0 ∈ U {\displaystyle x_{0}\in U} e y 0 := f ( x 0 ) {\displaystyle y_{0}:=f(x_{0})} , respetivamente, onde f ( U ) ⊂ V {\displaystyle f(U)\subset V} . Então h : U → R ℓ {\displaystyle h\colon U\to \mathbb {R} ^{\ell }} com h ( x ) := g ( f ( x ) ) {\displaystyle h(x):=g(f(x))} é diferenciável em x 0 {\displaystyle x_{0}} com a matriz jacobiana Por outras palavras, a matriz jacobiana da composição h = g ∘ f {\displaystyle h=g\circ f} é o produto das matrizes jacobianas de g {\displaystyle g} e f {\displaystyle f} . Importa notar que, ao contrário do caso clássico unidimensional, a ordem dos fatores tem um papel importante.
Derivação implícita
Se uma função x ↦ y ( x ) {\displaystyle x\mapsto y(x)} for dada por uma equação implícita F ( x , y ( x ) ) = 0 {\displaystyle F(x,y(x))=0} , segue-se da regra da cadeia multidimensional, a qual é válida para funções de várias variáveis, que Para a derivada da função y {\displaystyle y} obtém-se, portanto, com F x = ∂ F ∂ x , F y = ∂ F ∂ y {\displaystyle F_{x}={\frac {\partial F}{\partial x}},F_{y}={\frac {\partial F}{\partial y}}} e F y ≠ 0. {\displaystyle F_{y}\neq 0.}
Teoremas centrais do cálculo diferencial de várias variáveis
A ordem de derivação é irrelevante no cálculo de derivadas parciais de ordem superior se todas as derivadas parciais até e incluindo essa ordem forem contínuas. Em termos concretos, isto significa que: Se U ⊂ R n {\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}} for aberto e a função f : U → R {\displaystyle f\colon U\to \mathbb {R} } for duas vezes continuamente diferenciável (ou seja, se todas as segundas derivadas parciais existirem e forem contínuas), então, para todo 1 ≤ j , k ≤ n {\displaystyle 1\leq j,k\leq n} e x ∈ U {\displaystyle x\in U} , vale: O teorema torna-se falso se for omitida a exigência de continuidade das segundas derivadas parciais.
Derivadas de ordem superior em múltiplas dimensões
No caso das funções multidimensionais, também podem ser consideradas derivadas de ordem superior. Os conceitos apresentam, contudo, algumas diferenças substanciais em comparação com o caso clássico, as quais se tornam particularmente evidentes no caso de funções com várias variáveis. A própria matriz jacobiana já revela que a derivada de uma função multidimensional num ponto não assume mais a mesma forma que o valor da função nesse ponto. Se agora a primeira derivada x ↦ J f ( x ) {\displaystyle x\mapsto J_{f}(x)} for novamente derivada, a nova "matriz jacobiana" será, em geral, um objeto ainda mais abrangente. Para a sua descrição é necessário recorrer ao conceito de mapeamentos multilineares ou ao uso de tensores. Sendo ∂ 0 f := f {\displaystyle \partial ^{0}f:=f} , então ∂ f : U → L ( R n , R m ) {\displaystyle \partial f\colon U\to {\mathcal {L}}(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {R} ^{m})} atribui a cada ponto uma matriz de dimensões ( m × n ) {\displaystyle (m\times n)} (aplicação linear de R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} para R m {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}} ). Indutivamente, as derivadas de ordem superior são definidas como:
Aplicações
Um exemplo de aplicação do cálculo diferencial de várias variáveis diz respeito ao cálculo de erros, por exemplo, no contexto da Física experimental. Enquanto, no caso mais simples, a grandeza a ser determinada pode ser medida diretamente, na maioria das vezes ela resultará de uma relação funcional entre grandezas mais fáceis de medir. Tipicamente, cada medição tem uma certa incerteza, que se tenta quantificar indicando o erro de medição. Se, por exemplo, V : R > 0 3 → R {\displaystyle V\colon \mathbb {R} _{>0}^{3}\to \mathbb {R} } com ( l , b , h ) ↦ l b h {\displaystyle (l,b,h)\mapsto lbh} designar o volume de um paralelepípedo retângulo, o resultado V {\displaystyle V} poderia ser determinado experimentalmente medindo-se individualmente o comprimento l {\displaystyle l} , a largura b {\displaystyle b} e a altura h {\displaystyle h} . Se ocorrerem os erros Δ l {\displaystyle \Delta l} , Δ b {\displaystyle \Delta b} e Δ h {\displaystyle \Delta h} nestas medições, aplica-se o seguinte para o erro no cálculo do volume:
