Cálculo estocástico
A análise estocástica é um ramo da matemática, mais precisamente da teoria das probabilidades. Ela trata da generalização de conceitos, enunciados e modelos da análise para processos estocásticos, ou seja, funções cujos valores são aleatórios. No centro da análise estocástica estão a formulação e o estudo de integrais estocásticas e, com base nelas, de equações diferenciais estocásticas.
Os conceitos da análise estocástica tornam-se particularmente elementares e claros em sua principal área de aplicação, a matemática financeira. Para isso, descrevem-se a seguir os processos de negociação com um instrumento financeiro, que por simplicidade será chamado de ação e satisfará algumas hipóteses idealizadas. Em particular, deve ser possível comprar e vender o instrumento financeiro a qualquer momento e em quantidades arbitrárias.
Do ganho de capital na negociação de ações à integral estocástica
O ganho (ou perda) na posse de ações durante um determinado período depende, de forma óbvia, de quantas ações se possui e de como seu preço, a cotação, varia nesse período. Se, por exemplo, se possui H 1 = 4 , 27 {\displaystyle H_{1}=4{,}27} ações com preço inicial S 0 = 106 , 12 € {\displaystyle S_{0}=106{,}12\,\mathrm {\euro} } e a cotação sobe, por exemplo, em um dia, para S 1 = 107 , 58 € {\displaystyle S_{1}=107{,}58\,\mathrm {\euro} } , então o ganho de capital é, aproximadamente, Após esse dia, poderiam ser compradas ou vendidas mais ações, de modo que agora se tenha H 2 {\displaystyle H_{2}} ações, por exemplo H 2 = 5 , 27 {\displaystyle H_{2}=5{,}27} , se for comprada mais uma ação inteira. Se, em seguida, a cotação cair até o dia seguinte para S 2 = 105 , 96 € {\displaystyle S_{2}=105{,}96\,\mathrm {\euro} } , o ganho total nos dois dias pode ser determinado por
De um modelo para o preço das ações a equações diferenciais estocásticas
As considerações que levam à representação do ganho como uma integral estocástica são tão gerais que podem ser aplicadas, mutatis mutandis, a quaisquer grandezas que variem no tempo. No exemplo concreto da negociação de ações, surge, portanto, a questão de como poderia ser um modelo matemático para a evolução temporal da cotação S t {\displaystyle S_{t}} . As trajetórias reais das cotações parecem se mover “aleatoriamente” para cima e para baixo. Do ponto de vista matemático, é natural modelar cada S t {\displaystyle S_{t}} como uma variável aleatória, ou seja, uma função que associa a cada resultado ω {\displaystyle \omega } de um (abstrato) experimento aleatório o valor S t ( ω ) {\displaystyle S_{t}(\omega )} . A cotação da ação depende então tanto do instante t {\displaystyle t} quanto do resultado aleatório ω {\displaystyle \omega } : é um processo estocástico.
Os primórdios: modelos matemáticos para o movimento browniano
Como movimento browniano designa-se o fenômeno físico em que pequenas partículas suspensas em um líquido ou gás se movem de forma irregular e aparentemente aleatória. É assim chamado em homenagem ao botânico Robert Brown, que o observou e descreveu pela primeira vez em 1827 ao examinar microscopicamente grãos de pólen em uma gota de água. Experiências subsequentes mostraram que a causa física do movimento browniano está no movimento térmico das moléculas do líquido. Essas moléculas colidem constantemente com as partículas muito maiores, colocando-as elas mesmas em movimento irregular. Uma aplicação inicial do movimento browniano à matemática financeira, pouco notada cientificamente na época, foi estudada pelo matemático francês Louis Bachelier, que em 1900 tentou modelar as cotações da Bolsa de Paris com a ajuda de movimentos aleatórios e, assim, deduzir fórmulas de preço para opções. Com isso, ele antecipou inúmeras ideias do famoso modelo de Black-Scholes, apresentado apenas 73 anos depois.
A abordagem de Itō e o desenvolvimento posterior
O início da análise estocástica é marcado por um trabalho do matemático japonês Kiyoshi Itō (1915–2008), de 1944, com o título simples Stochastic Integral. Itō, considerado o fundador da área, construiu nele uma equação diferencial estocástica geral para investigar processos de Markov. Ele deu sentido aos diferenciais estocásticos ali presentes por meio da construção de um novo conceito de integral para processos estocásticos, a integral de Itō. Em trabalhos posteriores, ele também estabeleceu uma conexão com os resultados de Kolmogorov, provando que as soluções de sua equação diferencial estocástica satisfazem as equações de Kolmogorov. Para isso, publicou em 1951 um dos resultados mais fundamentais da análise estocástica, a fórmula de Itō. Esta generaliza a regra da cadeia, a regra do produto, a regra da substituição e a integração por partes da análise clássica para diferenciais estocásticos ou integrais de chamados processos de Itō.
O processo de Wiener e suas propriedades analíticas
O processo de Wiener não está apenas historicamente no início da análise estocástica como modelo para o movimento browniano; devido às suas inúmeras propriedades matematicamente interessantes, ele é um objeto central de estudo da área como “tipo básico” de processo aleatório. Isso é ressaltado pelo teorema de Donsker. O processo de Wiener ( W t ) t ≥ 0 {\displaystyle (W_{t})_{t\geq 0}} pode ser definido como um processo estocástico com incrementos independentes, estacionários e normalmente distribuídos, com caminhos contínuos quase certamente e normalizado para W 0 = 0 {\displaystyle W_{0}=0} . Da definição resultam inúmeras propriedades importantes, que podem ser generalizadas naturalmente para classes mais amplas de processos estocásticos. Assim, o processo de Wiener é um representante típico dos processos gaussianos, dos processos de Markov e dos processos de Lévy.
Integrais estocásticas
Existem diferentes conceitos de integral estocástica. O mais conhecido e importante é o da integral de Itō. Na seção introdutória deste artigo, foi mostrado como uma integral estocástica pode ser entendida como um limite de somas, em que um passo de tempo tende a zero. Essa consideração pode ser matematizada e, assim, leva a uma possível definição de uma integral com o processo de Wiener como integrador, a integral de Itō. Em livros didáticos modernos, no entanto, é frequentemente usada uma construção um pouco mais abstrata, que se assemelha mais ao procedimento usual na definição da integral de Lebesgue: primeiramente, define-se uma integral para processos elementares, ou seja, processos constantes por partes, como integrando. Esse conceito de integral é então estendido, por meio de argumentos de densidade, passo a passo para integrandos mais gerais. Nessa forma geral, integrais estocásticas
A fórmula de Itō
Para a integral de Itō e suas generalizações, algumas das regras de cálculo usuais da análise valem apenas de forma modificada. Intuitivamente, isso se deve ao fato de que, devido à variação infinita do processo de Wiener ( W t ) {\displaystyle (W_{t})} , para pequenas variações de tempo Δ t {\displaystyle \Delta t} não se deve considerar apenas as variações correspondentes Δ W t {\displaystyle \Delta W_{t}} , mas também seus quadrados ( Δ W t ) 2 {\displaystyle (\Delta W_{t})^{2}} , que estão na ordem de grandeza de Δ t {\displaystyle \Delta t} . As “novas” regras de cálculo resultantes são resumidas na fórmula de Itō. Já em sua forma mais simples, fica claro como a regra da cadeia deve ser modificada para o processo de Wiener: se h {\displaystyle h} é uma função duas vezes continuamente diferenciável, então para o processo X t = h ( W t ) {\displaystyle X_{t}=h(W_{t})} , na notação diferencial,
Equações diferenciais estocásticas
Uma forma geral de uma equação diferencial estocástica é com o processo de Wiener ( W t ) {\displaystyle (W_{t})} e funções dadas a {\displaystyle a} e b {\displaystyle b} ; o processo estocástico ( X t ) {\displaystyle (X_{t})} é procurado. Essa notação diferencial é, como sempre, apenas uma abreviação para integrais estocásticas: um processo ( X t ) {\displaystyle (X_{t})} é uma solução se satisfizer a equação integral No início da investigação teórica dessas equações está a questão da existência e unicidade das soluções. As condições para isso resultam de maneira semelhante à da análise clássica de equações diferenciais ordinárias. Analogamente ao teorema de Picard-Lindelöf, uma equação diferencial estocástica possui uma solução ( X t ) {\displaystyle (X_{t})} única, que existe para todo t ≥ 0 {\displaystyle t\geq 0} , se as funções coeficiente a {\displaystyle a} e b {\displaystyle b} forem lipschitzianas e linearmente limitadas.
Matemática financeira
A aplicação de métodos probabilísticos a problemas da matemática financeira levou, nas últimas décadas, a uma frutífera interação entre a matemática e as ciências econômicas. Modelos que descrevem a evolução temporal de grandezas econômicas em momentos discretos, como o conhecido modelo binomial de Cox, Ross e Rubinstein, podem ser formulados e investigados com probabilidade elementar. Para questões com um parâmetro de tempo que varia continuamente, no entanto, são necessários conceitos e teoremas da análise estocástica. A evolução de grandezas da matemática financeira, como cotações de ações, preços de derivativos, taxas de câmbio ou taxas de juros, é modelada por processos estocásticos contínuos no tempo, cujas variações são dadas por equações diferenciais estocásticas adequadas.
Física, química e engenharias
O movimento de corpos físicos é descrito pelas leis de Newton: uma força que atua sobre um corpo, com massa constante, provoca uma variação de sua velocidade. Se a força depende de uma dada forma da posição e da velocidade do corpo, obtém-se uma equação que relaciona a aceleração, a velocidade e a posição do corpo entre si. Como a aceleração é a derivada da velocidade e a velocidade é a derivada da posição, trata-se de uma equação diferencial ordinária. Se a força tiver adicionalmente uma componente aleatória, obtém-se uma equação diferencial estocástica. A descrição física de partículas sujeitas ao movimento browniano pode ser bastante refinada e generalizada. Assim, por exemplo, para partículas sobre as quais atuam adicionalmente uma força de atrito proporcional à velocidade (lei de Stokes) e, eventualmente, ainda uma força constante, obtém-se que a velocidade é uma solução da equação de Ornstein-Uhlenbeck, uma equação diferencial estocástica que pode ser resolvida explicitamente. A física usa geralmente uma outra representação para esse tipo de equação, que remonta a Paul Langevin e é chamada de equação de Langevin. Nela, a equação diferencial é escrita com um chamado ruído branco, que pode ser interpretado como a derivada formal do processo de Wiener não diferenciável. Essas equações de movimento podem ser ainda mais generalizadas, por exemplo, para oscilações com perturbações aleatórias. Aqui, a aceleração depende da elongação, da velocidade e adicionalmente de uma força aleatória com distribuição normal, cujo desvio padrão também pode depender da posição e da velocidade. Juntamente com o fato de que a velocidade é a derivada da posição, obtém-se, assim, um sistema de duas equações diferenciais estocásticas.
Biologia
Numerosos modelos em biologia utilizam conceitos e métodos da análise estocástica. Modelos estocásticos discretos simples para o crescimento de uma população são os chamados processos de ramificação, como o processo de Galton-Watson: cada indivíduo tem, independentemente dos outros em uma geração, um número aleatório de descendentes e morre em seguida. William Feller apresentou, em 1951, com o modelo de difusão com ramificação, uma versão contínua no tempo de um processo de ramificação, na qual o tamanho da população é dado por uma equação diferencial estocástica. Com métodos probabilísticos padrão, podem-se derivar fórmulas para o crescimento exponencial do valor esperado do tamanho da população e para a probabilidade de extinção.
