Cálculo infinitesimal
O cálculo infinitesimal, também conhecido como cálculo diferencial e integral ou simplesmente cálculo, é um ramo importante da matemática, desenvolvido a partir da Álgebra e da Geometria, que se dedica ao estudo de taxas de variação de grandezas e a acumulação de quantidades. Onde há movimento ou crescimento em que forças variáveis agem produzindo aceleração, o cálculo é a matemática a ser empregada. Foi criado como uma ferramenta auxiliar em várias áreas das ciências exatas. Desenvolvido simultaneamente por Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) e por Isaac Newton (1643-1727), em trabalhos independentes.
A história do cálculo encaixa-se em vários períodos distintos, de forma notável nas eras antiga, medieval e moderna.
Antiguidade
Na Antiguidade, foram introduzidas algumas ideias do cálculo integral, embora não tenha havido um desenvolvimento dessas ideias de forma rigorosa e sistemática. A função básica do cálculo integral, a de calcular volumes e áreas, pode ser remontada ao Papiro Egípcio de Moscou (1850 a.C.), no qual um egípcio trabalhou o volume de um frustum piramidal. O cálculo integral também pode ser utilizado para rastreamento e gravação do movimento do sol, da lua e dos planetas. Os antigos astrônomos babilônios (1800-1600 a.C.) empregaram métodos geométricos sofisticados que prenunciam o desenvolvimento do cálculo para prever as posições dos corpos celestes. Eudoxo de Cnido, ou Eudoxus, (408-355 a.C.) usou o método da exaustão para calcular áreas e volumes. Arquimedes (287-212 a.C.) levou essa ideia além, inventando a heurística, que se aproxima do cálculo integral. O método da exaustão foi redescoberto na China por Liu Hui no século III, que o usou para encontrar a área do círculo. O método também foi usado por Zu Chongzhi século V, para achar o volume de uma esfera.
Idade Média
Na Idade Média, o matemático indiano Aryabhata usou a noção infinitesimal em 499 d.C. expressando-a em um problema de astronomia na forma de uma equação diferencial básica. Essa equação levou Bhāskara II no século XII a desenvolver uma derivada prematura representando uma mudança infinitesimal, e ele desenvolveu também o que seria uma forma primitiva do "Teorema de Rolle". No século XII, o matemático persa Sharaf al-Din al-Tusi descobriu a derivada de polinômios cúbicos, um resultado importante no cálculo diferencial. No século XIV, Madhava de Sangamagrama, juntamente com outros matemáticos-astrônomos da Escola Kerala de Astronomia e Matemática, descreveu casos especiais da Série de Taylor, que no texto são tratadas como Yuktibhasa.
Idade Moderna
Na Idade Moderna, descobertas independentes no cálculo foram feitas no início do século XVII no Japão por matemáticos como Seki Kowa, que expandiu o método de exaustão. Na Europa, a segunda metade do século XVII foi uma época de grandes inovações. O Cálculo abriu novas oportunidades na física-matemática de resolver problemas muito antigos que até então não haviam sido solucionados. Muitos matemáticos contribuíram para essas descobertas, notavelmente John Wallis e Isaac Barrow. James Gregory proveu um caso especial do segundo teorema fundamental do cálculo em 1668. Coube a Gottfried Wilhelm Leibniz e a Isaac Newton recolher essas ideias e juntá-las em um corpo teórico que viria a constituir o cálculo. A ambos é atribuída a simultânea e independente invenção do cálculo. Leibnitz foi originalmente acusado de plagiar os trabalhos não publicados de Isaac Newton; hoje, porém, é considerado o inventor do cálculo, juntamente com Newton. Historicamente Newton foi o primeiro a aplicar o cálculo à física ao passo que Leibniz desenvolveu a notação utilizada até os dias de hoje, a notação de Leibniz. O argumento histórico para conferir aos dois a invenção do cálculo é que ambos chegaram de maneiras distintas ao teorema fundamental do cálculo.
Idade contemporânea
Na Idade Contemporânea, já no século XIX, o cálculo foi abordado de uma forma muito mais rigorosa. Foi também durante este período que ideias do cálculo foram generalizadas ao espaço euclidiano e ao plano complexo. Lebesgue mais tarde generalizou a noção de integral. Sobressaíram matemáticos como Cauchy, Riemann, Weierstrass e Maria Gaetana Agnesi. Esta foi autora da primeira obra a unir as ideias de Isaac Newton e Gottfried Wilhelm Leibniz; escreveu também um dos primeiros livros sobre cálculo diferencial e integral. É dela também a autoria da chamada "curva de Agnesi".
Limites e Infinitesimais
O cálculo é comumente utilizado pela manipulação de quantidades muito pequenas. Historicamente, o primeiro método de utilizá-lo era pelas infinitesimais. Estes objetos podem ser tratados como números que são, de alguma forma, "infinitamente pequenos". Na linha numérica, isso seria locais onde não é zero, mas possui "zero" de distância de zero. Nenhum número diferente de zero é um infinitesimal, porque sua distância de zero é positiva. Qualquer múltiplo de um infinitesimal continua sendo um infinitesimal. Em outras palavras, infinitesimais não satisfazem a propriedade arquimediana. Deste ponto de vista, o cálculo é uma coleção de técnicas para manipular infinitesimais. Tal pensamento foi ignorado no século XIX porque era muito difícil ter a noção precisa de uma infinitesimal. Entretanto, o conceito foi reutilizado no século XX com a introdução da análise não padronizada, a qual propiciou fundamentos sólidos para a manipulação de infinitesimais.
Derivadas
O cálculo diferencial é o estudo da definição, propriedade e aplicações da derivada ou deslocamento de um gráfico. O processo de encontrar a derivada é chamado "diferenciação". Em linguagem técnica, a derivada é um operador linear, o qual forma uma nova função a partir da função original, em que cada ponto da nova função é o deslocamento da função original. O conceito de derivada é fundamentalmente mais avançado do que os conceitos encontrados em álgebra. Nessa matéria, os estudantes aprendem sobre funções em que o número de entrada gera um número de saída. Por exemplo, se no dobro da função é inserido 3, então a saída é 6, enquanto se a função é quadrática, e é inserido 3, então a saída é 9. Mas na derivada, a entrada é uma função e a saída é outra função. Por exemplo, se na derivada é colocada uma função quadrada, então a saída é o dobro de uma função, porque o dobro da função fornece o deslocamento da função quadrática em qualquer ponto dado da função.
Integrais
O Cálculo Integral é o estudo das definições, propriedades, e aplicações de dois conceitos relacionados, as integrais indefinidas e as integrais definidas. O processo de encontrar o valor de uma integral é chamado integração. Em linguagem técnica, o calculo integral estuda dois operadores lineares relacionados. A integral indefinida é a antiderivada, o processo inverso da derivada. F é uma integral indefinida de f quando f é uma derivada de F. (O uso de letras maiúsculas e minúsculas para uma função e sua integral indefinida é comum em cálculo.) A integral definida insere uma função e extrai um número, o qual fornece a área entre o gráfico da função e o eixo do x. A definição técnica da integral definida é o limite da soma das áreas dos retângulos, chamada Soma de Riemann.
Função, domínio e imagem
Seja um conjunto de pontos A, cujos membros são os números em R ⇒ { − ∞ , … , x 1 , x 2 , x 3 , … , + ∞ } , {\displaystyle \mathbb {R} \Rightarrow \{-\infty ,\dots ,x_{1},x_{2},x_{3},\dots ,+\infty \},} então tomamos x {\displaystyle x} e denominamo-la variável independente, visto que, arbitrariamente, lhe podemos atribuir qualquer valor em R {\displaystyle \mathbb {R} } e portanto dizemos que: A é o domínio da variável x . {\displaystyle x.} Da mesma forma, admitamos um conjunto de pontos B, cujos membros são números que são obtidos única e exclusivamente por um conjunto de regras matemáticas f {\displaystyle f} , quando números arbitrários em A lhe são transferidos; visto que há um único valor assumido para cada valor arbitrário transferido a f {\displaystyle f} , dizemos que:
Extensões de domínios
Observe-se a expressão: 12 − x {\displaystyle {\sqrt {12-x}}} Nota-se que, assim que são atribuídos valores a x > 12 , {\displaystyle x>12,} ela assumirá valores inválidos, ou seja, de raízes quadradas de números negativos. Para sanar este problema, pode-se atribuir uma faixa de valores válidos para o domínio de x , {\displaystyle x,} o que resultará em: 12 − x , x ≤ 12 {\displaystyle {\sqrt {12-x}},x\leq 12} Assim, tem-se um domínio restrito a valores iguais ou menores que 12. Portanto, incluindo-o, este extremo ao qual pertence o valor 12 é chamado de extremo fechado. Tem-se uma situação semelhante, porém com uma sutil diferença, quando for necessário fazer: log x {\displaystyle \log {x}} . Neste caso, é preciso restringir o valor 0 e todos os números abaixo dele, desta forma:
Notações
O conjunto de números B { − ∞ , … , y 1 , y 2 , y 3 , … , + ∞ } {\displaystyle \{-\infty ,\dots ,y_{1},y_{2},y_{3},\dots ,+\infty \}} dos quais y n {\displaystyle y_{n}} dependem do conjunto A { − ∞ , … , x 1 , x 2 , x 3 , … , ∞ } {\displaystyle \{-\infty ,\dots ,x_{1},x_{2},x_{3},\dots ,\infty \}} de onde se obtém x n , {\displaystyle x_{n},} e se estabelece o par de números { x n , y n } , {\displaystyle \{x_{n},y_{n}\},} ou simplesmente: Sendo também f {\displaystyle f} a representação dos valores de ( x , y ) , {\displaystyle (x,y),} então pode-se afirmar que: Sendo f ( x ) {\displaystyle f(x)} o valor de y {\displaystyle y} , quando definido pelas operações em f . {\displaystyle f.}
Operações com funções
Considere-se duas funções f e g; admitindo que as duas são, intuitivamente, expressões que se traduzem em valores, pode-se dizer que: ( f + g ) ( x ) = f ( x ) + g ( x ) {\displaystyle (f+g)(x)=f(x)+g(x)} ( f − g ) ( x ) = f ( x ) − g ( x ) {\displaystyle (f-g)(x)=f(x)-g(x)} ( f ⋅ g ) ( x ) = f ( x ) ⋅ g ( x ) {\displaystyle (f\cdot g)(x)=f(x)\cdot g(x)} ( f : g ) ( x ) = f ( x ) : g ( x ) {\displaystyle (f:g)(x)=f(x):g(x)} Sendo D(f) o domínio da função f e D(g) o domínio da função g, o domínio da função resultante das operações acima é sempre: D ( f ) ∩ D ( g ) {\displaystyle D(f)\cap D(g)}
Teorema Fundamental do Cálculo
O teorema fundamental do cálculo afirma que a diferenciação e a integração são operações inversas. Mais precisamente, o teorema conecta os valores de antiderivadas ao valor de integrais definidas. Por ser usualmente mais fácil computar uma antiderivada do que aplicar a definição de uma integral definida, o teorema fundamental do cálculo provê uma forma prática de computar integrais definidas. Pode também ser interpretado como uma afirmação precisa do fato que a diferenciação é o inverso da integração. É afirmado pelo teorema fundamental do cálculo que: Se uma função f é contínua no intervalo [a, b] e se F é uma função cuja derivada é f no intervalo (a, b), então
O cálculo é usado em todos os ramos das ciências físicas, na ciência da computação, estatística, engenharia, economia, medicina e em outras áreas sempre que um problema possa ser modelado matematicamente e uma solução ótima é desejada, ele é um estudo mais profundo de funções. A Física faz uso intensivo do cálculo. Todos os conceitos na mecânica clássica são inter-relacionados pelo cálculo. A massa de um objeto de densidade conhecida, o momento de inércia dos objetos, assim como a energia total de um objeto dentro de um sistema fechado podem ser encontrados usando o cálculo. Nos sub-campos da eletricidade e magnetismo, o cálculo pode ser usado para encontrar o fluxo total de campos eletromagnéticos. Um exemplo mais histórico do uso do cálculo na física é a segunda lei de Newton que usa a expressão "taxa de variação" que se refere à derivada: A taxa de variação do momento de um corpo é igual à força resultante que age sobre o corpo e na mesma direção. Até a expressão comum da segunda lei de Newton como Força = Massa × Aceleração envolve o cálculo diferencial porque a aceleração pode ser expressada como a derivada da velocidade. A teoria do Eletromagnetismo de Maxwell e a teoria da relatividade geral de Einstein também são expressas na linguagem do cálculo diferencial. A química também usa o cálculo para determinar as variações na velocidade das reações e no decaimento radioativo.
