Projeção de um vetor
A projeção vetorial de um vetor a sobre um vetor não-nulo b é a projeção ortogonal de a sobre uma linha reta paralela a b. É um vetor paralelo a b, definido como em que é um escalar, denominado projeção escalar de a sobre b, e b̂ é o vetor unitário na direção de b. Por outro lado, a projeção escalar é definida como em que o operador · indica um produto escalar, |a| é o comprimento de a, e θ é o ângulo entre a e b. A projeção escalar é igual ao comprimento da projeção vetorial, com um sinal negativo se o sentido da projeção é oposto ao sentido de b.
Normalmente, a projeção vetorial é indicada com letras em negrito (por exemplo a1), e a projeção escalar correspondente com letras normais (por exemplo a1). Em alguns casos, especialmente no manuscrito, a projeção vetorial também é indicada utilizando um diacrítico acima ou abaixo da letra (por exemplo, a → 1 {\displaystyle {\vec {a}}_{1}} ou a1; ver representações de vetores euclidianos para mais detalhes). A projeção vetorial de a sobre b e a componente ortogonal correspondente, por vezes, são indicados por a∥b e a⊥b, respectivamente.
Projeção escalar
A projeção escalar de a sobre b é um escalar igual a a 1 = | a | cos θ {\displaystyle a_{1}=|\mathbf {a} |\cos \theta } em que θ é o ângulo entre a e b. Uma projeção escalar pode ser usada como um fator de escala para calcular a projeção vetorial correspondente.
Projeção vetorial
A projeção vetorial de a sobre b é um vetor, cuja magnitude é a projeção escalar de a sobre b e que forma com b um ângulo de 0 ou de 180 graus. Ou seja, ela é definida como a 1 = a 1 b ^ = ( | a | cos θ ) b ^ {\displaystyle \mathbf {a} _{1}=a_{1}\mathbf {\hat {b}} =(|\mathbf {a} |\cos \theta )\mathbf {\hat {b}} } em que a 1 {\displaystyle a_{1}} é a projeção escalar correspondente, como definida acima, e b̂ é o vetor unitário com o mesmo sentido de b: b ^ = b | b | {\displaystyle \mathbf {\hat {b}} ={\frac {\mathbf {b} }{|\mathbf {b} |}}}
Componente ortogonal
Por definição, a componente ortogonal de a em relação a b é a 2 = a − a 1 {\displaystyle \mathbf {a} _{2}=\mathbf {a} -\mathbf {a} _{1}} Assim, a 2 = a − ( | a | cos θ ) b ^ . {\displaystyle \mathbf {a} _{2}=\mathbf {a} -(|\mathbf {a} |\cos \theta )\mathbf {\hat {b}} .}
Quando θ não é conhecido, o cosseno de θ pode ser calculado em termos de a {\displaystyle \mathbf {a} } e b {\displaystyle \mathbf {b} } , pela seguinte propriedade do produto escalar a ⋅ b {\displaystyle {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }} : a ⋅ b | a | | b | = cos θ {\displaystyle {\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{|\mathbf {a} |\,|\mathbf {b} |}}=\cos \theta }
Projeção escalar
Usando a propriedade anterior do produto escalar, a definição de projeção escalar se torna a 1 = | a | cos θ = | a | a ⋅ b | a | | b | = a ⋅ b | b | {\displaystyle a_{1}=|\mathbf {a} |\cos \theta =|\mathbf {a} |{\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{|\mathbf {a} |\,|\mathbf {b} |}}={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{|\mathbf {b} |}}}
Projeção vetorial
Da mesma forma, a definição da projeção vetorial de a sobre b se torna a 1 = a 1 b ^ = a ⋅ b | b | b | b | , {\displaystyle \mathbf {a} _{1}=a_{1}\mathbf {\hat {b}} ={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{|\mathbf {b} |}}{\frac {\mathbf {b} }{|\mathbf {b} |}},} o que é equivalente tanto a a 1 = ( a ⋅ b ^ ) b ^ , {\displaystyle \mathbf {a} _{1}=(\mathbf {a} \cdot \mathbf {\hat {b}} )\mathbf {\hat {b}} ,} quanto a a 1 = a ⋅ b | b | 2 b = a ⋅ b b ⋅ b b . {\displaystyle \mathbf {a} _{1}={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{|\mathbf {b} |^{2}}}{\mathbf {b} }={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} }}{\mathbf {b} }.}
Componente ortogonal
Por definição, a 2 = a − a 1 {\displaystyle \mathbf {a} _{2}=\mathbf {a} -\mathbf {a} _{1}} Assim, a 2 = a − a ⋅ b b ⋅ b b . {\displaystyle \mathbf {a} _{2}=\mathbf {a} -{\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} }}{\mathbf {b} }.}
Projeção escalar
A projeção escalar de a sobre b é um escalar que tem sinal negativo se 90 < θ ≤ 180 graus. Ele coincide com o comprimento |c| da projeção vetorial se o ângulo for menor do que 90°. Mais exatamente:
Projeção vetorial
A projeção vetorial de a sobre b é um vetor a1 que ou é nulo ou é paralelo a b. Mais exatamente:
Componente ortogonal
A componente ortogonal de a sobre b é um vetor a2 que ou é nulo ou é ortogonal a b. Mais exatamente:
A projeção ortogonal pode ser representada por uma matriz de projeção. Para projetar um vetor sobre o vetor unitário a = (ax, ay, az), bastaria multiplicá-lo pela seguinte matriz de projeção: P a = a a T = [ a x a y a z ] [ a x a y a z ] = [ a x 2 a x a y a x a z a x a y a y 2 a y a z a x a z a y a z a z 2 ] {\displaystyle P_{a}=aa^{\mathrm {T} }={\begin{bmatrix}a_{x}\\a_{y}\\a_{z}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{x}&a_{y}&a_{z}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{x}^{2}&a_{x}a_{y}&a_{x}a_{z}\\a_{x}a_{y}&a_{y}^{2}&a_{y}a_{z}\\a_{x}a_{z}&a_{y}a_{z}&a_{z}^{2}\\\end{bmatrix}}}
A projeção vetorial é uma operação importante no processo de ortonormalização de Gram–Schmidt para bases de espaços vetoriais. Ele também é usado no teorema da separação de eixos para detectar se duas formas convexas se intersectam.
Uma vez que as noções de comprimento de vetor e de ângulo entre os vetores podem ser generalizadas para espaços com produto interno de dimensões arbitrárias, isso também é verdadeiro para as noções de projeção ortogonal de um vetor, projeção de um vetor sobre outro, e componente ortogonal de um vetor em relação a outro. Em alguns casos, o produto interno coincide com o ponto escalar. Sempre que eles não coincidem, o produto interno é usado em vez do produto escalar nas definições formais de projeção e de componente ortogonal. Para um espaço com produto interno tridimensional, as noções de projeção de um vetor sobre outro e componente ortogonal em relação a um vetor podem ser generalizadas para as noções de projeção de um vetor sobre um plano, e de componente ortogonal de um vetor em relação a um plano. A projeção de um vetor sobre um plano é a sua projeção ortogonal sobre aquele plano. A componente ortogonal de um vetor em relação a um plano é a sua projeção ortogonal sobre uma reta que é perpendicular a esse plano. Ambas são vetores. O primeiro é paralelo ao plano, o segundo é ortogonal a ele. Para um vetor e um plano dados, a soma de projeção sobre o plano com a componente ortogonal a ele é igual ao vetor original.
