Teoria dos grupos
Na álgebra abstrata, a teoria dos grupos estuda as estruturas algébricas conhecidas como grupos. O conceito de grupo é central para a álgebra abstrata: outras estruturas algébricas bem conhecidas, como anéis, campos e espaços vetoriais, podem ser vistas como grupos dotados de operações e axiomas adicionais. Os grupos são recorrentes em toda a matemática, e os métodos da teoria dos grupos influenciaram muitas partes da álgebra. Grupos algébricos lineares e grupos de Lie são dois ramos da teoria de grupos que experimentaram avanços e se tornaram áreas temáticas por direito próprio.
A variedade de grupos sendo considerada expandiu-se gradualmente de grupos de permutação finitos e exemplos especiais de grupos de matrizes para grupos abstratos que podem ser especificados através de uma apresentação por geradores e relações.
Grupos de permutação
A primeira classe de grupos a ser submetida a um estudo sistemático foi a dos grupos de permutação. Dado qualquer conjunto X e uma coleção G de bijeções de X nele mesmo (conhecidas como permutações) que é fechada sob composições e inversos, G é um grupo que atua em X. Se X consistir em n elementos e G consistir em todas as permutações, G é o grupo simétrico Sn; em geral, qualquer grupo de permutação G é um subgrupo do grupo simétrico de X. Uma construção inicial devida a Cayley exibiu qualquer grupo como um grupo de permutação, atuando sobre si mesmo (X = G) por meio da representação regular à esquerda. Em muitos casos, a estrutura de um grupo de permutação pode ser estudada utilizando as propriedades da sua ação no conjunto correspondente. Por exemplo, desta forma prova-se que para n ≥ 5, o grupo alternante An é simples, ou seja, não admite quaisquer subgrupos normais próprios. Este facto desempenha um papel fundamental na impossibilidade de resolver uma equação algébrica geral de grau n ≥ 5 em radicais.
Grupos de matrizes
A próxima classe importante de grupos é dada pelos grupos de matrizes, ou grupos lineares. Aqui G é um conjunto que consiste em matrizes invertíveis de uma dada ordem n sobre um corpo K que é fechado sob produtos e inversos. Tal grupo atua no espaço vetorial de dimensão n Kn através de transformações lineares. Esta ação torna os grupos de matrizes concetualmente semelhantes aos grupos de permutação, e a geometria da ação pode ser explorada de forma útil para estabelecer propriedades do grupo G.
Grupos de transformação
Os grupos de permutação e os grupos de matrizes são casos especiais de grupos de transformação: grupos que atuam num certo espaço X preservando a sua estrutura inerente. No caso dos grupos de permutação, X é um conjunto; para grupos de matrizes, X é um espaço vetorial. O conceito de um grupo de transformação está intimamente relacionado com o conceito de um grupo de simetria: os grupos de transformação consistem frequentemente em todas as transformações que preservam uma determinada estrutura. A teoria dos grupos de transformação forma uma ponte que liga a teoria dos grupos à geometria diferencial. Uma longa linha de investigação, com origem em Lie e Klein, considera ações de grupo em variedades por homeomorfismos ou difeomorfismos. Os próprios grupos podem ser discretos ou contínuos.
Grupos abstratos
A maioria dos grupos considerados na primeira fase do desenvolvimento da teoria dos grupos eram "concretos", tendo sido realizados através de números, permutações ou matrizes. Foi só no final do século XIX que a ideia de um grupo abstrato começou a consolidar-se, onde "abstrato" significa que a natureza dos elementos é ignorada de tal forma que dois grupos isomorfos são considerados como o mesmo grupo. Uma forma típica de especificar um grupo abstrato é através de uma apresentação por geradores e relações, Uma fonte significativa de grupos abstratos é dada pela construção de um grupo fator, ou grupo quociente, G/H, de um grupo G por um subgrupo normal H. Os grupos de classes de corpos de números algébricos estiveram entre os primeiros exemplos de grupos fatores, de grande interesse na teoria dos números. Se um grupo G for um grupo de permutação num conjunto X, o grupo fator G/H já não atua em X; mas a ideia de um grupo abstrato permite não nos preocuparmos com esta discrepância.
Grupos com estrutura adicional
Uma elaboração importante do conceito de um grupo ocorre se G for dotado de uma estrutura adicional, notavelmente, de um espaço topológico, variedade diferenciável ou variedade algébrica. Se a multiplicação e a inversão do grupo forem compatíveis com esta estrutura, isto é, se forem aplicações contínuas, suaves ou regulares (no sentido da geometria algébrica), então G é um grupo topológico, um grupo de Lie ou um grupo algébrico. A presença de estrutura extra relaciona estes tipos de grupos com outras disciplinas matemáticas e significa que mais ferramentas estão disponíveis no seu estudo. Os grupos topológicos formam um domínio natural para a análise harmónica abstrata, enquanto os grupos de Lie (frequentemente realizados como grupos de transformação) são os pilares da geometria diferencial e da teoria de representação unitária. Certas questões de classificação que não podem ser resolvidas em geral podem ser abordadas e resolvidas para subclasses especiais de grupos. Assim, os grupos de Lie compactos e conexos foram completamente classificados. Existe uma relação frutuosa entre grupos abstratos infinitos e grupos topológicos: sempre que um grupo Γ puder ser realizado como um reticulado num grupo topológico G, a geometria e a análise pertencentes a G produzem resultados importantes sobre Γ. Uma tendência comparativamente recente na teoria dos grupos finitos explora as suas conexões com grupos topológicos compactos (grupos profinitos): por exemplo, um único grupo analítico p-ádico G tem uma família de quocientes que são p-grupos finitos de várias ordens, e as propriedades de G traduzem-se nas propriedades dos seus quocientes finitos.
Teoria dos grupos finitos
Durante o século XX, os matemáticos investigaram alguns aspetos da teoria dos grupos finitos com grande profundidade, especialmente a teoria local de grupos finitos e a teoria dos grupos solúveis e nilpotentes.[carece de fontes?] Como consequência, a classificação dos grupos simples finitos completa foi alcançada, o que significa que todos os grupos simples a partir dos quais todos os grupos finitos podem ser construídos são agora conhecidos. [Image of symmetries of a regular polygon] Durante a segunda metade do século XX, matemáticos como Chevalley e Steinberg também aumentaram a nossa compreensão dos análogos finitos dos grupos clássicos e de outros grupos relacionados. Uma dessas famílias de grupos é a família dos grupos lineares gerais sobre corpos finitos. Os grupos finitos ocorrem frequentemente ao considerar a simetria de objetos matemáticos ou físicos, quando esses objetos admitem apenas um número finito de transformações que preservam a sua estrutura. A teoria dos grupos de Lie, que pode ser vista como lidando com a "simetria contínua", é fortemente influenciada pelos grupos de Weyl associados. Estes são grupos finitos gerados por reflexões que atuam num espaço euclidiano de dimensão finita. As propriedades dos grupos finitos podem, assim, desempenhar um papel em disciplinas como a física teórica e a química.
Representação de grupos
Dizer que um grupo G {\displaystyle G} atua num conjunto X {\displaystyle X} significa que cada elemento de G {\displaystyle G} define uma aplicação bijetiva no conjunto X {\displaystyle X} de forma compatível com a estrutura de grupo. Quando X {\displaystyle X} tem mais estrutura, é útil restringir ainda mais esta noção: uma representação de G {\displaystyle G} num espaço vetorial V {\displaystyle V} é um homomorfismo de grupos: onde GL( V {\displaystyle V} ) consiste nas transformações lineares invertíveis de V {\displaystyle V} . Noutras palavras, a cada elemento do grupo g {\displaystyle g} é atribuído um automorfismo ρ ( g ) {\displaystyle \rho (g)} tal que ρ ( g ) ∘ ρ ( h ) = ρ ( g h ) {\displaystyle \rho (g)\circ \rho (h)=\rho (gh)} para qualquer h {\displaystyle h} em G {\displaystyle G} .
Teoria de Lie
Um grupo de Lie é um grupo que é também uma variedade diferenciável, com a propriedade de que as operações do grupo são compatíveis com a estrutura suave. Os grupos de Lie têm o nome de Sophus Lie, que lançou as bases da teoria dos grupos de transformações contínuos. O termo groupes de Lie apareceu pela primeira vez em francês em 1893 na tese do aluno de Lie Arthur Tresse, página 3. Os grupos de Lie representam a teoria mais bem desenvolvida de simetria contínua de objetos e estruturas matemáticas, o que os torna ferramentas indispensáveis para muitas partes da matemática contemporânea, bem como para a física teórica moderna. Eles fornecem um enquadramento natural para analisar as simetrias contínuas de equações diferenciais (teoria de Galois diferencial), da mesma forma que os grupos de permutação são usados na teoria de Galois para analisar as simetrias discretas de equações algébricas. Uma extensão da teoria de Galois para o caso dos grupos de simetria contínua foi uma das principais motivações de Lie.
Teoria geométrica e combinatória de grupos
Os grupos podem ser descritos de diferentes maneiras. Os grupos finitos podem ser descritos escrevendo a tabela do grupo consistindo em todas as multiplicações possíveis g ⋅ h {\displaystyle g\cdot h} . Uma maneira mais compacta de definir um grupo é por geradores e relações, também chamada de apresentação de um grupo. Dado qualquer conjunto F {\displaystyle F} de geradores { g i } i ∈ I {\displaystyle \{g_{i}\}_{i\in I}} , o grupo livre gerado por F {\displaystyle F} projeta-se sobrejacitivamente no grupo G {\displaystyle G} . O núcleo desta aplicação é chamado de subgrupo de relações, gerado por algum subconjunto D {\displaystyle D} . A apresentação é geralmente denotada por ⟨ F ∣ D ⟩ . {\displaystyle \langle F\mid D\rangle .} Por exemplo, a apresentação de grupo ⟨ a , b ∣ a b a − 1 b − 1 ⟩ {\displaystyle \langle a,b\mid aba^{-1}b^{-1}\rangle } descreve um grupo que é isomorfo a Z × Z . {\displaystyle \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} .} Uma cadeia constituída por símbolos de geradores e os seus inversos é chamada de uma palavra.
Dado um objeto estruturado X de qualquer tipo, uma simetria é um mapeamento do objeto sobre si mesmo que preserva a estrutura. Isto ocorre em muitos casos, por exemplo: Os axiomas de um grupo formalizam os aspetos essenciais da simetria. As simetrias formam um grupo: são fechadas porque, se tomarmos uma simetria de um objeto e depois aplicarmos outra simetria, o resultado ainda será uma simetria. A identidade, que mantém o objeto fixo, é sempre uma simetria de um objeto. A existência de inversos é garantida por poder desfazer (anular) a simetria, e a associatividade advém do facto de que as simetrias são funções num espaço, e a composição de funções é associativa. O Teorema de Frucht afirma que todo o grupo é o grupo de simetria de algum grafo. Logo, todo o grupo abstrato é, na verdade, as simetrias de algum objeto explícito. A expressão "preservar a estrutura" de um objeto pode tornar-se precisa trabalhando numa categoria. As aplicações que preservam a estrutura são então os morfismos, e o grupo de simetria é o grupo de automorfismos do objeto em questão.
Teoria de Galois
A teoria de Galois usa grupos para descrever as simetrias das raízes de um polinômio (ou, mais precisamente, os automorfismos das álgebras geradas por essas raízes). O teorema fundamental da teoria de Galois fornece uma ligação entre as extensões de corpos algébricos e a teoria dos grupos. Ele fornece um critério efetivo para a solubilidade das equações polinomiais em termos da solubilidade do grupo de Galois correspondente. Por exemplo, S 5 {\displaystyle S_{5}} , o grupo simétrico em 5 elementos, não é solúvel, o que implica que a equação do quinto grau geral não pode ser resolvida por radicais da maneira como as equações de grau inferior o podem. A teoria, sendo uma das raízes históricas da teoria dos grupos, continua a ser aplicada de forma frutuosa para produzir novos resultados em áreas como a teoria de corpos de classes.
Topologia algébrica
A topologia algébrica é outro domínio que associa, de forma proeminente (através de funtores), grupos aos objetos em que a teoria está interessada. Aí, os grupos são usados para descrever certos invariantes de espaços topológicos. Eles são chamados de "invariantes" porque são definidos de forma que não mudem se o espaço for submetido a alguma deformação. Por exemplo, o grupo fundamental "conta" quantos caminhos no espaço são essencialmente diferentes. A Conjectura de Poincaré, provada em 2002/2003 por Grigori Perelman, é uma aplicação proeminente desta ideia. No entanto, a influência não é unidirecional. Por exemplo, a topologia algébrica faz uso de espaços de Eilenberg-MacLane, que são espaços com grupos de homotopia prescritos. De forma semelhante, a teoria K algébrica baseia-se, de certa maneira, nos espaços classificatórios de grupos. Por fim, o próprio nome do subgrupo de torção de um grupo infinito reflete o legado da topologia na teoria dos grupos.
Geometria algébrica
A geometria algébrica também usa a teoria dos grupos de diversas maneiras. As variedades abelianas foram introduzidas acima. A presença da operação de grupo produz informações adicionais que tornam estas variedades particularmente acessíveis. Elas também servem muitas vezes como um teste para novas conjecturas. (Por exemplo, a Conjectura de Hodge (em certos casos).) O caso unidimensional, nomeadamente o das curvas elípticas, é estudado com especial detalhe. Elas são intrigantes tanto do ponto de vista teórico quanto prático. Noutra direção, as variedades tóricas são variedades algébricas nas quais um toro atua. Os mergulhos toroidais levaram recentemente a avanços na geometria algébrica, em particular na resolução de singularidades.
Teoria algébrica dos números
A teoria algébrica dos números usa grupos em algumas das suas aplicações importantes. Por exemplo, a fórmula do produto de Euler, ∑ n ≥ 1 1 n s = ∏ p primo 1 1 − p − s , {\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {1}{n^{s}}}=\prod _{p{\text{ primo}}}{\frac {1}{1-p^{-s}}},} captura o facto de que qualquer número inteiro se decompõe de forma única em números primos. A falha desta afirmação em anéis mais gerais dá origem aos grupos de classes e aos primos regulares, que se destacam no tratamento de Kummer do Último Teorema de Fermat.
Análise harmónica
A análise em grupos de Lie e em certos outros grupos chama-se análise harmónica. As medidas de Haar, isto é, integrais invariantes sob a translação num grupo de Lie, são usadas para o reconhecimento de padrões e noutras técnicas de processamento de imagem.
Combinatória
Na combinatória, a noção de grupo de permutação e o conceito de ação de grupo são frequentemente usados para simplificar a contagem de um conjunto de objetos; veja em particular o Lema de Burnside.
