Série de Taylor

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Toda série de Taylor possui um raio de convergência R {\displaystyle R} com a propriedade que a série converge uniformemente em cada bola (circunferência) | x − a | ≤ r < R {\displaystyle |x-a|\leq r<R} . A fórmula de Hadamard fornece o valor deste raio de convergência: O fato de a série de Taylor convergir não garante que ela convergirá para o valor da função f(x); o exemplo clássico desta patologia é a função definida por:

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A série de Taylor associada a uma função f {\displaystyle f} infinitamente diferenciável (real ou complexa) definida em um intervalo aberto ]a − r, a + r[ é a série de potências dada por Onde, n! é o fatorial de n e f (n)(a) denota a n-ésima derivada de f no ponto a. Com essa ferramenta, podem ser moldadas funções trigonométricas, exponenciais e logarítmicas em polinômios.

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A série de Taylor pode também ser definida para funções de R n → R {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} } . Nesse caso, tem-se que a série de Taylor de f {\displaystyle f} em torno do ponto X 0 = ( x 1 0 , ⋯ , x n 0 ) {\displaystyle X_{0}=(x_{1}^{0},\cdots ,x_{n}^{0})} é dada por: f ( x 1 , ⋯ , x n ) = ∑ k ≥ 0 1 k ! ( ∑ i = 1 n ∂ f ∂ x i ( X 0 ) ( x i − x i 0 ) ) k , {\displaystyle f(x_{1},\cdots ,x_{n})=\sum \limits _{k\geq 0}{\frac {1}{k!}}\left(\sum \limits _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(X_{0})(x_{i}-x_{i}^{0})\right)^{k},} onde ( ∂ f ∂ x i ( X 0 ) ) k {\displaystyle \left({\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(X_{0})\right)^{k}} denota ∂ k f ∂ x i k ( X 0 ) . {\displaystyle {\frac {\partial ^{k}f}{\partial x_{i}^{k}}}(X_{0}).} ( ∑ i = 1 n ∂ f ∂ x i ( X 0 ) ( x i − x i 0 ) ) k = ∑ α i ∈ N , ∑ i = 1 n α i = k ( k ! α 1 ! ⋯ α n ! ⋅ ∂ k f ∂ x 1 α 1 ⋯ ∂ x n α n ( X 0 ) ⋅ ( x 1 − x 1 0 ) α 1 ⋯ ( x n − x n 0 ) α n ) . {\displaystyle \left(\sum \limits _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(X_{0})(x_{i}-x_{i}^{0})\right)^{k}=\sum \limits _{\alpha _{i}\in \mathbb {N} ,\sum \limits _{i=1}^{n}\alpha _{i}=k}\left({\frac {k!}{\alpha _{1}!\cdots \alpha _{n}!}}\cdot {\frac {\partial ^{k}f}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\cdots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}(X_{0})\cdot (x_{1}-x_{1}^{0})^{\alpha _{1}}\cdots (x_{n}-x_{n}^{0})^{\alpha _{n}}\right).}

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As Séries de Maclaurin são um caso especial das Séries de Taylor onde a = 0 {\displaystyle a=0} : f ( x ) = ∑ n = 0 ∞ f ( n ) ( a ) ( x − a ) n n ! {\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{f^{(n)}(a)(x-a)^{n} \over n!}} Dessa forma, a série pode ser expandida como: f ( x ) = f ( 0 ) ( x − 0 ) 0 + f ′ ( 0 ) ( x − 0 ) 1 1 ! + f ″ ( 0 ) ( x − 0 ) 2 2 ! + f ‴ ( 0 ) ( x − 0 ) 3 3 ! + . . . {\displaystyle f(x)=f(0)(x-0)^{0}+{f'(0)(x-0)^{1} \over 1!}+{f''(0)(x-0)^{2} \over 2!}+{f'''(0)(x-0)^{3} \over 3!}+...} f ( x ) = f ( 0 ) + f ′ ( 0 ) x 1 1 ! + f ″ ( 0 ) x 2 2 ! + f ‴ ( 0 ) x 3 3 ! + . . . {\displaystyle f(x)=f(0)+{f'(0)\ x^{1} \over 1!}+{f''(0)\ x^{2} \over 2!}+{f'''(0)\ x^{3} \over 3!}+...} Escrevendo-se a Série da Maclaurin de forma geral: f ( x ) = ∑ n = 0 ∞ f ( n ) ( 0 ) x n n ! {\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{f^{(n)}(0)\ x^{n} \over n!}}