Reta
A noção de reta ou linha reta foi introduzida por matemáticos antigos para representar objetos retos com largura e profundidade desprezíveis. As retas são uma idealização de tais objetos. Até o século XVII, as retas eram definidas como "[...] a primeira espécie de quantidade, que possui apenas uma dimensão: comprimento, sem largura nem profundidade, e nada mais é do que o fluxo ou a passagem do ponto que [...] partirá de seu imaginário movendo algum vestígio de comprimento, isento de qualquer largura. […] A linha reta é aquela que se estende igualmente entre seus pontos".
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Todas as definições são, em última análise, de natureza circular, pois dependem de conceitos que devem ter definições, uma dependência que não pode ser continuada indefinidamente sem retornar ao ponto de partida. Para evitar esse círculo vicioso, certos conceitos devem ser tomados como conceitos primitivos; termos que não têm definição. Na geometria, é frequente o conceito de reta ser tomado como primitivo. Nas situações em que uma reta é um conceito definido, como na geometria analítica, algumas outras ideias fundamentais são consideradas primitivas. Quando o conceito de reta é primitivo, o comportamento e as propriedades das retas são ditados pelos axiomas que eles devem satisfazer. Em um tratamento axiomático simplificado ou não-axiomático da geometria, o conceito de uma noção primitiva pode ser abstrato demais para ser tratado. Nessa circunstância, é possível que seja fornecida uma descrição ou imagem mental de uma noção primitiva para fundamentar a construção da noção sobre a qual formalmente se basearia nos axiomas (não declarados). Descrições deste tipo podem ser referidas, por alguns autores, como definições neste estilo informal de apresentação. Essas não são definições verdadeiras e não podem ser usadas em provas formais de declarações. A "definição" da reta n'Os Elementos de Euclides se enquadra nessa categoria. Mesmo no caso em que uma geometria específica está sendo considerada (por exemplo, geometria euclidiana), não há concordância geralmente aceita entre os autores sobre o que deve ser uma descrição informal de uma reta quando o assunto não está sendo tratado formalmente.
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Quando a geometria foi formalizada pela primeira vez por Euclides n'Os Elementos, ele definiu uma reta geral (reta ou curva) como "comprimento sem largura", com uma linha reta sendo uma linha "que se encontra uniformemente com os pontos em si". Essas definições têm pouca finalidade, pois usam termos que não são, eles próprios, definidos. De fato, Euclides não usou essas definições neste trabalho e provavelmente as incluiu apenas para deixar claro ao leitor o que estava sendo discutido. Na geometria moderna, uma reta é simplesmente tomada como um objeto indefinido com propriedades dadas por axiomas, mas às vezes é definida como um conjunto de pontos que obedecem a uma relação linear quando algum outro conceito fundamental é deixado indefinido. Em uma formulação axiomática da geometria euclidiana, como a de Hilbert (os axiomas originais de Euclides continham várias falhas que foram corrigidas pelos matemáticos modernos), afirma-se que uma reta tem certas propriedades que a relacionam a outras linhas e pontos. Por exemplo, para quaisquer dois pontos distintos, existe uma reta única que os contém e quaisquer duas retas distintas se cruzam no máximo em um ponto. Em duas dimensões, ou seja, o plano euclidiano, duas retas que não se cruzam são chamadas paralelas. Em dimensões mais altas, duas retas que não se cruzam são paralelas se estiverem contidas em um plano ou reversas se não estiverem.
No plano cartesiano
Retas em um plano cartesiano ou, mais geralmente, em coordenadas afins, podem ser descritas algebricamente por equações lineares. Em duas dimensões, a equação para retas não verticais é geralmente dada na forma de interceptação de inclinação: A inclinação da reta através dos pontos A ( x a , y a ) {\displaystyle A(x_{a},y_{a})} e B ( x b , y b ) {\displaystyle B(x_{b},y_{b})} , quando x a ≠ x b {\displaystyle x_{a}\neq x_{b}} , é dado por m = ( y b − y a ) / ( x b − x a ) {\displaystyle m=(y_{b}-y_{a})/(x_{b}-x_{a})} e a equação desta reta pode ser escrita como y = a ( x − x a ) + y a {\displaystyle y=a(x-x_{a})+y_{a}} . No R 2 {\displaystyle \mathbb {R^{2}} } , cada reta L {\displaystyle L} (incluindo retas verticais) é descrito por uma equação linear da forma
Em coordenadas polares
Nas coordenadas polares no plano euclidiano, a forma intercepto-inclinação da equação de uma reta é expressa como: r = a r cos θ + b sin θ , {\displaystyle r={\frac {ar\cos \theta +b}{\sin \theta }},} onde a {\displaystyle a} é a inclinação da reta e b {\displaystyle b} é o intercepto em y {\displaystyle y} . Quando θ = 0 {\displaystyle \theta =0} , o gráfico será indefinido. A equação pode ser reescrita para eliminar descontinuidades desta maneira: r sin θ = a r cos θ + b . {\displaystyle r\sin \theta =ar\cos \theta +b.} Nas coordenadas polares no plano euclidiano, a forma de interceptação da equação de uma reta que não é horizontal, não vertical e que não passa pelo polo pode ser expressa como
Como uma equação vetorial
A equação vetorial da reta através dos pontos A {\displaystyle A} e B {\displaystyle B} é dada por r = O A + λ A B {\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {OA} +\lambda \,\mathbf {AB} } (onde λ {\displaystyle \lambda } é escalar). Se a {\displaystyle a} é o vetor O A {\displaystyle OA} e b {\displaystyle b} é o vetor O B {\displaystyle OB} , então a equação da reta pode ser escrita como: r = a + λ ( b − a ) {\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {a} +\lambda (\mathbf {b} -\mathbf {a} )} . Um raio começando no ponto A {\displaystyle A} é descrito pela limitação de λ {\displaystyle \lambda } . Um raio é obtido se λ ≥ 0 {\displaystyle \lambda \geq 0} , e o raio oposto vem de λ ≤ 0 {\displaystyle \lambda \leq 0} .
No espaço euclidiano
No espaço tridimensional, uma equação de primeiro grau nas variáveis x {\displaystyle x} , y {\displaystyle y} e z {\displaystyle z} define um plano; portanto, duas dessas equações, desde que os planos que eles originam não sejam paralelos, definem uma reta que é a interseção dos planos. De maneira mais geral, no espaço n {\displaystyle n} -dimensional n − 1 {\displaystyle n-1} , as equações de primeiro grau nas variáveis de coordenadas n {\displaystyle n} definem uma reta sob condições adequadas. De um modo mais geral espaço euclidiano, R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} (e, analogamente, em todos os outros espaço afim), a reta L {\displaystyle L} passando através de dois pontos diferentes A {\displaystyle A} e B {\displaystyle B} (considerado como vetores) é o subconjunto
Tipos de retas
De certo modo,[a] todas as retas da geometria euclidiana são iguais, pois, sem coordenadas, não se pode diferenciá-las uma da outra. No entanto, as retas podem desempenhar papéis especiais em relação a outros objetos na geometria e ser divididas em tipos de acordo com esse relacionamento. Por exemplo, em relação a uma cônica (uma circunferência, elipse, parábola ou hipérbole), as retas podem ser: No contexto da determinação do paralelismo na geometria euclidiana, uma transversal é uma reta que cruza duas outras retas que podem ou não ser paralelas uma à outra. Para curvas algébricas mais gerais, as retas também podem ser: Para um quadrilátero convexo com no máximo dois lados paralelos, a reta de Newton é a linha que conecta os pontos médios das duas diagonais.
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Em muitos modelos de geometria projetiva, a representação de uma reta raramente se ajusta à noção de "curva reta", como é visualizada na geometria euclidiana. Na geometria elíptica, vemos um exemplo típico disso. Na representação esférica da geometria elíptica, as retas são representadas por círculos máximos de uma esfera com pontos diametralmente opostos identificados. Em um modelo diferente de geometria elíptica, as retas são representadas por planos euclidianos que passam pela origem. Embora essas representações sejam visualmente distintas, elas satisfazem todas as propriedades (como dois pontos que determinam uma reta única) que as tornam representações adequadas para as retas nessa geometria.
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Semirreta
Dada uma reta e qualquer ponto A {\displaystyle A} nela, podemos considerar A {\displaystyle A} como decompondo essa reta em duas partes. Cada uma dessas partes é chamada de semirreta e o ponto A {\displaystyle A} é chamado de ponto inicial. O ponto A {\displaystyle A} é considerado como parte da semirreta.[b] Intuitivamente, uma semirreta consiste nos pontos de uma reta que passa por A {\displaystyle A} e prossegue indefinidamente, começando em A {\displaystyle A} , em uma direção apenas ao longo da reta. No entanto, para usar esse conceito de semirreta nas provas, é necessária uma definição mais precisa. Dados os pontos A {\displaystyle A} e B {\displaystyle B} distintos, eles determinam uma semirreta único com o ponto inicial A {\displaystyle A} . Como dois pontos definem uma reta única, essa semirreta consiste em todos os pontos entre A {\displaystyle A} e B {\displaystyle B} (incluindo A {\displaystyle A} e B {\displaystyle B} ) e todos os pontos C {\displaystyle C} na reta através de A {\displaystyle A} e B {\displaystyle B} , de modo que B {\displaystyle B} esteja entre A {\displaystyle A} e C {\displaystyle C} . Às vezes, isso também é expresso como o conjunto de todos os pontos C {\displaystyle C} , de modo que A {\displaystyle A} não esteja entre B {\displaystyle B} e C {\displaystyle C} . Um ponto D {\displaystyle D} , na reta determinada por A {\displaystyle A} e B {\displaystyle B} , mas não na semirreta com o ponto inicial A {\displaystyle A} determinado por B {\displaystyle B} , determinará outra semirreta com o ponto inicial A {\displaystyle A} . Com relação à semirreta A B {\displaystyle AB} , a semirreta A D {\displaystyle AD} é chamado de semirreta oposta.
Segmento de reta
Um segmento de reta é uma parte de uma reta que é delimitada por dois pontos finais distintos e contém todos os pontos na reta entre seus pontos finais. Dependendo de como o segmento de reta é definido, um dos dois pontos finais pode ou não fazer parte do segmento de reta. Dois ou mais segmentos de reta podem ter algumas das mesmas relações que as retas, como paralelas, cruzadas ou inclinadas, mas, diferentemente das linhas, elas podem não ser uma delas, se são coplanares e não se cruzam ou são colineares.
Geodésica
A "falta" e a "retidão" de uma reta, interpretadas como a propriedade de que a distância ao longo da reta entre dois de seus pontos é minimizada (ver desigualdade triangular), pode ser generalizada e leva ao conceito de geodésica em espaços métricos.
