Reductio ad absurdum
Reductio ad absurdum é um tipo de argumento lógico no qual alguém assume uma ou mais hipóteses e, a partir destas, deriva uma consequência absurda ou ridícula, e então conclui que a suposição original deve estar errada. O argumento se vale do princípio da não-contradição e da lei do terceiro excluído.
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Na lógica formal, reductio ad absurdum é usado quando uma contradição formal pode ser derivada de uma premissa, o que permite que alguém possa concluir que a premissa é falsa. Se uma contradição é derivada de uma série de premissas, isso mostra que pelo menos uma das premissas é falsa, mas outros meios devem ser utilizados para determinar qual delas. Um exemplo de raciocínio dedutivo por redução ao absurdo foi a elegante prova matemática da irracionalidade da raiz quadrada de 2 apresentada por Aristóteles em Analytica Priora. Supondo que exista uma raiz racional de 2, e que ela possa ser expressa na forma a/b irredutível, é possível demonstrar que b deve ser par e também que a deve ser par. Se a fração a/b é irredutível, então a e b não podem ser par simultaneamente, pois, isso geraria uma fração redutível. Conclui-se, portanto, que a raiz quadrada de 2 não pode ser expressa por um número racional.
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A tabela de verdade da implicação é descrita da seguinte forma numa lógica binária (em que 1 = verdade, 0 = falso): Na implicação a ⇒ b usam-se as designações: A demonstração da tese é fundamentada pela hipótese, por uma sequência de passos lógicos. Se a hipótese for falsa, então qualquer tese pode ser demonstrada, porque por definição, a implicação é verdadeira sempre que se usa uma premissa falsa. No entanto a hipótese falsa pode servir para as "demonstrações por absurdo". Com efeito partindo de uma hipótese a e deduzindo uma tese falsa b=0 (por contradição é ¬a, porque (a∧¬a)≡0) isso significa e aqui aplica-se a regra Modus tollens. Ou seja, admite-se que a dedução foi correta, logo a implicação é verdadeira, ou seja, mas consultando a tabela, vemos que a ⇒ 0 é 1 só quando a=0. Portanto, deduzindo uma contradição de a, resulta que a negação de a é verdadeira, em lógica binária.
Hipótese com várias hipóteses
Por abuso de linguagem, falam-se em hipóteses quando a hipótese a resulta de conjunção de duas (ou mais) partes onde as hipóteses s são as regras assumidas axiomaticamente, ou por aí deduzidas, e apenas a parte h é a nova hipótese a ser testada. Nesse caso, sabemos que a=0 se e só se s = 0 ou h = 0. Portanto, assumindo que s = 1, então é a nova hipótese que é necessariamente falsa, h = 0.
Cálculo proposicional
No cálculo proposicional da lógica matemática, a redução ao absurdo pode expressar-se da seguinte forma: o que significa que se de um sistema s {\displaystyle s} (lista de axiomas, ou suas deduções) ao juntar a hipótese h {\displaystyle h} , deduzimos b {\displaystyle b} e também ¬ b {\displaystyle \lnot b} , então nesse sistema infere-se ¬ h {\displaystyle \lnot h} (o que corresponde ao mesmo descrito anteriormente).
