Modelagem matemática

A modelagem de um fenômeno via equações diferenciais é, normalmente, feita da seguinte forma: através da simples observação conseguem-se informações sobre as taxas de variação do fenômeno (que do ponto de vista matemático são derivadas), escreve-se a equação que relaciona as taxas de variação e a função, isto é, a equação diferencial associada e, a partir da solução desta equação tem-se uma possível descrição do fenômeno. Então, tal modelo matemático será também composto por parâmetros (constantes), que são intrínsecas ao sistema a ser estudado; variáveis que afetam o sistema, porém o modelo não foi designado para estudar seu comportamento (variáveis independentes) e as variáveis as quais o modelo foi designado para estudar (variáveis dependentes). Quando o sistema em questão busca retratar um fenômeno que consiste na interação entre duas ou mais entidades, então a modelagem é feita através de um sistema de equações diferenciais . O modelo Lotka-Volterra (ou presa-predador), por exemplo, desenvolvido na década de 1920, é dado por:

Os modelos matemáticos apresentam uma série de aspectos úteis do ponto de vista científico. Além de apresentar naturalmente uma linguagem concisa, que pode vir a facilitar sua manipulação, um modelo matemático traz também aspectos como a possibilidade de confirmar ou rejeitar determinadas hipóteses relacionadas a complexos sistemas, revelar contradições em dados obtidos e/ou hipóteses formuladas, prever o comportamento de um sistema sob condições não testadas ou ainda não “testáveis”, dentre outros . Por outro lado, quanto maior é a proximidade do modelo com a realidade, mais complexo será o modelo. Isto significa um maior numero de parâmetros e conseqüentemente uma maior dificuldade tanto na obtenção de dados a partir do modelo quanto na interpretação desses dados gerados pelo modelo em questão. Modelos simples são mais fáceis de lidar, porém modelos mais sofisticados são frequentemente necessários. É importante ressaltar que as previsões do comportamento de um determinado modelo matemático, caso se faça necessário dependendo de sua complexidade, se dão através de simulações computacionais do mesmo. Caso o modelo seja suficientemente simples, teorias matemáticas são eficientes ferramentas para se obter conclusões gerais. Então, pode-se dizer que ao desenvolver um modelo matemático busca-se um ponto ótimo entre a representação da realidade e a complexidade do modelo, para que a obtenção de resultados coerentes seja possível, bem como sua interpretação. Segundo Howard Emmons, “o desafio em modelagem matemática não é produzir os modelos descritivos mais compreensíveis, mas sim produzir modelos suficientemente simples que incorporam as principais características do fenômeno em questão”. Portanto, a modelagem matemática ajuda a evitar ou reduzir a necessidade de gastos excessivos em experimentos, ou até mesmo simular experimentos impossíveis de serem realizados na prática.

Vamos estudar, neste exemplo o comportamento do sistema Lotka-Volterra. O sistema Lotka-Volterra apresenta uma tendência de oscilar, como tem sido observado a mais de um século atrás. Antes de chegar às equações do modelo, é interessante levantar algumas considerações feitas por Volterra de modo a simplificar o sistema: Feitas essas considerações, o modelo é dado por: Visto isso, podemos começar o estudo do comportamento do modelo: Então, os pontos de equilíbrio serão: ( x 1 , y 1 ) = ( c / d , a / b ) {\displaystyle \,\!(x_{1},y_{1})=(c/d,a/b)} e ( x 2 , y 2 ) = ( 0 , 0 ) {\displaystyle \,\!(x_{2},y_{2})=(0,0)} Para o ponto ( x 1 , y 1 ) = ( c / d , a / b ) {\displaystyle \,\!(x_{1},y_{1})=(c/d,a/b)} , temos: Os autovalores são: r 1 = ( a c ) i {\displaystyle \,\!r_{1}={\sqrt {(ac)}}i} . e r 2 = − ( a c ) i {\displaystyle \,\!r_{2}=-{\sqrt {(ac)}}i} . Portanto, o ponto ( x 1 , y 1 ) {\displaystyle \,\!(x_{1},y_{1})} é um centro. Para o ponto ( x 2 , y 2 ) = ( 0 , 0 ) {\displaystyle \,\!(x_{2},y_{2})=(0,0)} , temos: