Derivada
No cálculo, a derivada em um ponto de uma função representa a taxa de variação instantânea de em relação a neste ponto. Um exemplo típico é a função velocidade que representa a taxa de variação (derivada) da função espaço. Do mesmo modo, a função aceleração é a derivada da função velocidade. Geometricamente, a derivada no ponto de representa a inclinação da reta tangente ao gráfico desta função no ponto . A função que a cada ponto associa a derivada neste ponto de é chamada de função derivada de f(x).
Duas distintas notações são comumente utilizadas para a derivada, o resultante de Leibniz e o outro a partir de Joseph Louis Lagrange. Na notação de Leibniz, uma mudança infinitesimal em x é denotada por dx, e a derivada de y em relação a x é escrito d y d x {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\,\!} . sugerindo que a razão de duas quantidades infinitesimais (A expressão acima é lido como "a derivada de y em relação a x", "dy por dx", ou "dy sobre dx". A forma oral dydx é usado frequentemente em tom de conversa, embora possa levar à confusão). Na notação de Lagrange, a derivada em relação a x de uma função F(x) é denotada f'(x) ou fx'(x), em caso de ambiguidade da variável implicada pela derivação. A notação de Lagrange é por vezes incorretamente atribuída a Newton.
Seja I {\displaystyle I} um intervalo aberto não-vazio e seja f : I → R {\displaystyle f:I\to \mathbb {R} } , y = f ( x ) {\displaystyle y=f(x)} , uma função de I {\displaystyle I} em R {\displaystyle \mathbb {R} } . Diz-se que função f ( x ) {\displaystyle f(x)} é derivável no ponto a ∈ I {\displaystyle a\in I} se existir o seguinte limite: Se for esse o caso, o número real f ′ ( a ) {\displaystyle f'(a)} é chamado de derivada da função f {\displaystyle f} no ponto a {\displaystyle a} . Notações equivalentes são: f ′ ( a ) = d f d x ( a ) = d f d x | x = a {\displaystyle f'(a)={\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}(a)=\left.{\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}\right|_{x=a}} . f ′ ( a ) = lim h → 0 f ( a + h ) − f ( a ) h {\displaystyle f'(a)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}} o que é obtido fazendo h = x − a {\displaystyle h=x-a} no limite acima. Desta forma, define-se a função derivada de f ( x ) {\displaystyle f(x)} por:
Derivabilidade em um ponto
Em particular, se c {\displaystyle c} ∈ R, então ( c . f ) ′ = c . f ′ {\displaystyle (c.f)'=c.f'} . Resulta daqui e de se ter ( f + g ) ′ = f ′ + g ′ {\displaystyle (f+g)'=f'+g'} que a derivação é uma aplicação linear. Esta propriedade é conhecida por regra da cadeia. Outra maneira de formular este resultado é: se a {\displaystyle a} está na imagem de f {\displaystyle f} e se f {\displaystyle f} for derivável em f − 1 ( a ) {\displaystyle f^{-1}(a)} com derivada não nula, então Assim, por exemplo, se considerarmos a função f de R em R definida por f(x) = x² + x − 1, esta é diferenciável em 0. Podem ver-se na imagem abaixo os gráficos das restrições daquela função aos intervalos [−1,1] e [−1/10,1/10] e é claro que, enquanto que o primeiro é bastante curvo (e, portanto, f(x) − f(0) está aí longe de ser linear), o segundo é praticamente indistinguível de um segmento de reta (de declive 1). De facto, quanto mais se for ampliando o gráfico próximo de (0,f(0)) mais perto estará este de ser linear.
Derivabilidade em todo o domínio
Diz-se que f é derivável ou diferenciável se o for em todos os pontos do domínio. Uma função cuja derivada seja sempre maior que 0 {\displaystyle 0} é estritamente crescente. Uma observação importante é que existem funções estritamente crescentes em que a derivada assume o valor 0 {\displaystyle 0} em alguns pontos. É o que acontece, por exemplo com a função de R em R definida por f ( x ) = x 3 {\displaystyle f(x)=x^{3}} . Naturalmente, existem enunciados análogos para funções decrescentes.
Funções continuamente deriváveis
Seja I {\displaystyle I} um intervalo de R com mais do que um ponto e seja f {\displaystyle f} uma função de I {\displaystyle I} em R. Diz-se que f {\displaystyle f} é continuamente derivável ou de classe C 1 {\displaystyle C^{1}} se f {\displaystyle f} for derivável e, além disso, a sua derivada for contínua. Todas as funções deriváveis que foram vistas acima são continuamente deriváveis. Um exemplo de uma função derivável que não é continuamente derivável é pois o limite lim x → 0 f ′ ( x ) {\displaystyle \lim _{x\rightarrow 0}f'(x)} não existe; em particular, f' não é contínua em 0 {\displaystyle 0} .
Derivadas de ordem superior
Quando obtemos a derivada de uma função o resultado é também uma função de x e como tal também pode ser diferenciada. Calculando-se a derivada novamente obtemos então a segunda derivada da função f. De forma semelhante, a derivada da segunda derivada é chamada de terceira derivada e assim por diante. Podemos nos referir às derivadas subsequentes de f por: e assim sucessivamente. No entanto, a notação mais empregada é: Se, para algum k ∈ N, f for k vezes derivável e, além disso, f(k) for uma função contínua, diz-se que f é de classe Ck. Se a função f tiver derivadas de todas as ordens, diz-se que f é infinitamente derivável ou indefinidamente derivável ou ainda de classe C∞.
Exemplos
Se c {\displaystyle c} ∈ R, a função f {\displaystyle f} de R em R definida por f ( x ) = c {\displaystyle f(x)=c} é derivável em todos os pontos de R e a sua derivada é igual a 0 {\displaystyle 0} em todos os pontos, pois, para cada a {\displaystyle a} ∈ R: Usando a definição alternativa, basta ver que se se definir ϕ a {\displaystyle \phi _{a}} de R em R por ϕ a ( x ) = 0 {\displaystyle \phi _{a}(x)=0} , então ϕ a {\displaystyle \phi _{a}} é contínua e, para cada x {\displaystyle x} e cada a {\displaystyle a} reais, tem-se além disso, f ′ ( a ) = ϕ a ( a ) = 0 {\displaystyle f'(a)=\phi _{a}(a)=0} . A função f {\displaystyle f} de R em R definida por f ( x ) = x {\displaystyle f(x)=x} é derivável em todos os pontos de R e a sua derivada é igual a 1 {\displaystyle 1} em todos os pontos, pois, para cada a {\displaystyle a} ∈ R:
Ponto de inflexão
Um ponto em que a segunda derivada de uma função muda de sinal é chamado de um ponto de inflexão. Em um ponto de inflexão, a segunda derivada pode ser zero, como no caso do ponto de inflexão x = 0 da função y = x³, ou ele pode deixar de existir, como é o caso do ponto de inflexão x = 0 da função y = x 1 3 {\displaystyle x^{\frac {1}{3}}\,\!} . Em um ponto de inflexão, uma função convexa passa a ser uma função côncava, ou vice-versa.
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Pontos onde a derivada da função é igual a 0 {\displaystyle 0} chamam-se normalmente de pontos críticos. Existem cinco tipos de pontos onde isto pode acontecer em uma função. Como a derivada é igual ao declive da tangente em um dado ponto, estes pontos acontecem onde a reta tangente é paralela ao eixo dos x {\displaystyle x} . Estes pontos podem acontecer: Os pontos críticos são ferramentas úteis para examinar e desenhar gráficos de funções.
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A derivada de uma função pode, em princípio, ser calculado a partir da definição, considerando o quociente de diferença, e computar o seu limite. Na prática, uma vez que as derivadas de algumas funções simples são conhecidos, as derivadas de outras funções são mais facilmente calculado usando regras para a obtenção de derivadas de funções mais complicadas das mais simples. A maioria dos cálculos de derivadas, eventualmente, exige a tomada da derivada de algumas funções comuns. A seguinte lista incompleta é de algumas das funções mais frequentemente utilizadas de uma única variável real e seus derivados. Alguns exemplos de derivadas notáveis são: Estes dois fatos não são independentes. De fato, como o logaritmo natural é a inversa da função exponencial, resulta da igualdade d d x e x = e x {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}e^{x}=e^{x}} e da fórmula para a derivada da inversa que
Regras para funções combinadas
Em muitos casos, a aplicação direta do quociente de diferença de Newton pode ser evitado usando regras de diferenciação, evitando complicados cálculos de limite. Algumas das regras mais básicas são as seguintes: ( α f + β g ) ′ = α f ′ + β g ′ {\displaystyle (\alpha f+\beta g)'=\alpha f'+\beta g'\,} para todas as funções f e g e todos os números reais α {\displaystyle \alpha } e b e t a {\displaystyle \ beta} ( f g ) ′ = f ′ g + f g ′ {\displaystyle (fg)'=f'g+fg'\,} para todas as funções f e g. Por conseguinte, isso significa que a derivada de uma constante vezes uma função é a constante vezes a derivada da função d d r π r 2 = 2 π r . {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} r}}\pi r^{2}=2\pi r.\,}
Exemplo de uso
A derivada de f ( x ) = x 4 + sin ( x 2 ) − ln ( x ) e x + 7 {\displaystyle f(x)=x^{4}+\sin(x^{2})-\ln(x)e^{x}+7\,} é f ′ ( x ) = 4 x ( 4 − 1 ) + d ( x 2 ) d x cos ( x 2 ) − d ( ln x ) d x e x − ln x d ( e x ) d x + 0 = 4 x 3 + 2 x cos ( x 2 ) − 1 x e x − ln ( x ) e x . {\displaystyle {\begin{aligned}f'(x)&=4x^{(4-1)}+{\frac {\mathrm {d} \left(x^{2}\right)}{\mathrm {d} x}}\cos(x^{2})-{\frac {d\left(\ln {x}\right)}{dx}}e^{x}-\ln {x}{\frac {\mathrm {d} \left(e^{x}\right)}{\mathrm {d} x}}+0\\&=4x^{3}+2x\cos(x^{2})-{\frac {1}{x}}e^{x}-\ln(x)e^{x}.\end{aligned}}} As derivadas conhecidas de funções elementares x 2 , x 4 , {\displaystyle x^{2},x^{4},} sen(x) e e x p ( x ) = e x {\displaystyle exp(x)=e^{x}} , assim como a constante 7, também foram usadas.
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Se A for um conjunto de números complexos, se f for uma função de A em C e se a for um ponto não isolado de A (isto é, se tão perto quanto se queira de a houver outros elementos de A), então as duas definições da derivada de f no ponto a continuam a fazer sentido. De facto, as propriedades acima descritas para o caso real continuam válidas, excepto, mais uma vez, as que dizem respeito à monotonia de funções.
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Uma das mais importantes aplicações da Análise à Física (senão a mais importante), é o conceito de derivada temporal — a taxa de mudança ao longo do tempo — que é necessária para a definição precisa de vários importantes conceitos. Em particular, as derivadas temporais da posição s de um objeto são importantes na física newtoniana: Por exemplo, se a posição de um objeto é s(t) = −16t² + 16t + 32, então a velocidade do objeto é s′(t) = −32t + 16 e a aceleração do objeto é s′′(t) = −32. Uma forma de enunciar a segunda lei de Newton é F = dp/dt , sendo p o momento linear do objeto.
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Em dimensão 1, as derivadas são pensadas como números pois, nesta dimensão, um número e uma transformação linear são a mesma coisa. Entretanto, para dimensões maiores, as derivadas necessitam ser tratadas como transformações lineares.
Derivadas de funções vetoriais
Uma função vetorial y(t) de uma variável real de uma variável real envia números reais de vetores em R n {\displaystyle R^{n}} algum espaço vetorial. A função vetorial pode ser dividido em suas funções coordenadas y1(t), y2(t),...,yn(t), significando que y(t) = ( y 1 {\displaystyle y_{1}} (t), ..., y n {\displaystyle y_{n}} (t)). Isto inclui, por exemplo, curvas paramétricas em R² ou R³. As funções de coordenadas são funções de valores reais, de modo que a definição acima de derivada aplica-se a eles. A derivada de y (t) é definida como sendo o vetor, chamado o vetor tangente, cujas coordenadas são as derivadas das funções de coordenadas. Isto é,
Derivadas parciais
Quando uma função depende de mais do que uma variável, podemos usar o conceito de derivada parcial. Podemos entender as derivadas parciais como a derivada de uma função para uma determinada variável, enquanto as outras se mantêm fixadas. No gráfico, é usada para determinar a variação da função em um determinado eixo. Derivadas parciais são representadas como, por exemplo, ∂z/∂x, sendo x a variável fixada sobre uma função em z. Suponha que f é uma função que depende mais de uma variável, por exemplo, f ( x , y ) = x 2 + x y + y 2 . {\displaystyle f(x,y)=x^{2}+xy+y^{2}.\,} f pode ser reinterpretado como uma família de funções de uma variável indexada pelas outras variáveis:
Derivadas direcionais
Se f é uma função com valores reais em R n {\displaystyle R^{n}} , então a derivada parcial de f mede a sua variação na direção dos eixos das coordenadas. Por exemplo, se f é uma função de x e y, então sua derivada parcial mede a variação em f na direção x e na direção y. Contudo, elas (derivadas parciais) não medem diretamente a variação de f em qualquer outra direção, tal como aquela ao longo da linha diagonal y=x. Estas são medidas usando-se as derivadas direcionais. Escolha um vetor: v = ( v 1 , … , v n ) . {\displaystyle \mathbf {v} =(v_{1},\ldots ,v_{n}).} A derivada direcional de f na direção de v no ponto x é o limite D v f ( x ) = lim h → 0 f ( x + h v ) − f ( x ) h . {\displaystyle D_{\mathbf {v} }{f}(\mathbf {x} )=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(\mathbf {x} +h\mathbf {v} )-f(\mathbf {x} )}{h}}.}
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Sejam U {\displaystyle U} um aberto de R m {\displaystyle {\mathbb {R} }^{m}} , z 0 ∈ U {\displaystyle z_{0}\in U} e f : U → R n {\displaystyle f:U\rightarrow {\mathbb {R} }^{n}} uma função. Dizemos que f {\displaystyle f} é diferenciável quando existem uma transformação linear T : R m → R n {\displaystyle T:{\mathbb {R} }^{m}\rightarrow {\mathbb {R} }^{n}} e uma função r : { z − z 0 : z ∈ U } → R n {\displaystyle r:\{z-z_{0}:z\in U\}\rightarrow {\mathbb {R} }^{n}} dada por r ( h ) = f ( z 0 + h ) − f ( z 0 ) − T . h {\displaystyle r(h)=f(z_{0}+h)-f(z_{0})-T.h} tais que lim h → 0 r ( h ) | h | = 0 {\displaystyle \lim _{h\rightarrow 0}{\frac {r(h)}{|h|}}=0} . Neste caso, a aplicação T {\displaystyle T} é chamada de derivada da função f {\displaystyle f} no ponto z 0 {\displaystyle z_{0}} e denotada por D f ( z 0 ) {\displaystyle Df(z_{0})} . Em outras palavras D f ( z 0 ) = lim t → 0 f ( x + t z 0 ) − f ( x ) t . {\displaystyle Df(z_{0})=\lim _{t\rightarrow 0}{\frac {f(x+tz_{0})-f(x)}{t}}.}
Exemplos
Nesta definição, podemos considerar a derivada parcial de uma aplicação como sendo ∂ f ∂ x j ( x ) = D f ( x ) e j . {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}(x)=Df(x)e_{j}.} Podemos repensar nessa igualdade. Se observarmos que e j x {\displaystyle e_{j}x} corresponde à j {\displaystyle j} -ésima coordenada de x {\displaystyle x} e que a j {\displaystyle j} -ésima coordenada de ∇ f ( z 0 ) {\displaystyle \nabla f(z_{0})} é ∂ f ∂ x j ( z 0 ) {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}(z_{0})} segue que ∂ f ∂ x j ( z 0 ) = ( ∂ f 1 ∂ x j ( z 0 ) , ⋯ , ∂ f n ∂ x j ( z 0 ) ) {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}(z_{0})=\left({\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{j}}}(z_{0}),\cdots ,{\frac {\partial f_{n}}{\partial x_{j}}}(z_{0})\right)}
