Limites e colimites
Na teoria das categorias, limites e colimites generalizam diversas construções, sendo produtos e coprodutos uns de seus mais simples casos particulares.
Sejam J , C {\displaystyle J,C} categorias, a primeira chamada categoria de índices, e functor F : J → C {\displaystyle F:J\to C} . Aqui, para cada c ∈ C {\displaystyle c\in C} , denota-se por Δ ( c ) : J → C {\displaystyle \Delta (c):J\to C} o functor constante, definido por: Δ ( c ) ( i ) = c {\displaystyle \Delta (c)(i)=c} para cada i ∈ J {\displaystyle i\in J} ; Δ ( c ) ( u : i → j ) = 1 c {\displaystyle \Delta (c)(u:i\to j)=1_{c}} para cada u {\displaystyle u} morfismo em J {\displaystyle J} .
Cones
Um cone do vértice c ∈ C {\displaystyle c\in C} ao functor F {\displaystyle F} é uma transformação natural Δ ( c ) → ˙ F {\displaystyle \Delta (c){\dot {\to }}F} , e, dualmente, um cone de F {\displaystyle F} ao vértice c {\displaystyle c} é uma transformação natural F → ˙ Δ ( c ) {\displaystyle F{\dot {\to }}\Delta (c)} . Em símbolos: C o n e ( c , F ) = N a t ( Δ ( c ) , F ) , {\displaystyle \mathrm {Cone} (c,F)=\mathrm {Nat} (\Delta (c),F),} C o n e ( F , c ) = N a t ( F , Δ ( c ) ) . {\displaystyle \mathrm {Cone} (F,c)=\mathrm {Nat} (F,\Delta (c)).} A condição de naturalidade para cones de c {\displaystyle c} a F {\displaystyle F} é F ( k ) ∘ λ i = λ j {\displaystyle F(k)\circ \lambda _{i}=\lambda _{j}} para cada k : i → j {\displaystyle k:i\to j} em J {\displaystyle J} , ou seja, λ i ↗ F ( i ) c ↓ F ( k ) λ j ↘ F ( j ) , {\displaystyle {\begin{matrix}{}^{\lambda _{i}}&{}_{\nearrow }&F(i)\\c&&\downarrow &\scriptstyle {F(k)}\\{}_{\lambda _{j}}&{}^{\searrow }&F(j)\end{matrix}},} e cones de F {\displaystyle F} a c {\displaystyle c} satisfazem a condição dual.
Limites e colimites
Em cada representação hom C o p ( a , − ) = hom C ( − , a ) ≅ C o n e ( − , F ) , {\displaystyle \hom _{C^{\mathrm {op} }}(a,-)=\hom _{C}(-,a)\cong \mathrm {Cone} (-,F),} o objeto a {\displaystyle a} é chamado de limite de F {\displaystyle F} ; o correspondente elemento universal λ ∈ C o n e ( a , F ) {\displaystyle \lambda \in \mathrm {Cone} (a,F)} é chamado cone limitante. Noutras palavras, λ : Δ ( a ) → ˙ F {\displaystyle \lambda :\Delta (a){\dot {\to }}F} é cone limitante se e só se, para cada outro cone μ : Δ ( b ) → ˙ F {\displaystyle \mu :\Delta (b){\dot {\to }}F} , há precisamente uma seta f : b → a {\displaystyle f:b\to a} tal que μ j = λ j ∘ f {\displaystyle \mu _{j}=\lambda _{j}\circ f} para cada j ∈ J {\displaystyle j\in J} .
Um limite para um functor F : J → C {\displaystyle F:J\to C} é chamado: Dualmente, um colimite para F : J → C {\displaystyle F:J\to C} é chamado: Quando a categoria C {\displaystyle C} é uma pré-ordem,
Categorias completas e cocompletas
Uma categoria C {\displaystyle C} é dita (pequeno-)completa se e só se, para cada categoria pequena J {\displaystyle J} , todo functor F : J → C {\displaystyle F:J\to C} tem limite. Dualmente, C {\displaystyle C} é (pequeno-)cocompleta se e só se todo functor F : J → C {\displaystyle F:J\to C} tal que J {\displaystyle J} é categoria pequena tem colimite. Se C {\displaystyle C} tem todos os produtos pequenos e todos os equalizadores (de duplas de morfismos), então C {\displaystyle C} é completa. Com efeito, um limite de F : J → C {\displaystyle F:J\to C} é o domínio d {\displaystyle d} do equalizador: f d → e ∏ i ∈ J F ( i ) ⇉ ∏ u : j → k F ( k ) , g {\displaystyle {\begin{array}{c c c}&{}_{f}&\\d{\xrightarrow {e}}\prod _{i\in J}{F(i)}&\rightrightarrows &\prod _{u:j\to k}{F(k)},\\&{}^{g}&\end{array}}} em que as duas setas paralelas são definidas por (abaixo, p ( − ) {\displaystyle p_{(-)}} denota as projeções dos produtos): p u ∘ f = p k p u ∘ g = F ( u ) ∘ p j para cada seta u : j → k , {\displaystyle {\begin{array}{l}p_{u}\circ f=p_{k}\\p_{u}\circ g=F(u)\circ p_{j}\end{array}}{\text{ para cada seta }}u:j\to k,} e o cone limitante tem componentes p i ∘ e : d → F ( i ) {\displaystyle p_{i}\circ e:d\to F(i)} para cada i ∈ J {\displaystyle i\in J} .
Na categoria dos conjuntos
A categoria S e t {\displaystyle {\mathsf {Set}}} dos conjuntos pequenos é pequeno-completa e pequeno-cocompleta. Há fórmulas explícitas para os limites e os colimites de um functor F : J → S e t {\displaystyle F:J\to {\mathsf {Set}}} : lim F ≅ C o n e ( ⋆ , F ) ≅ { f ∈ ∏ i ∈ J F ( i ) ∣ ∀ ( j , k ∈ J ) ∀ ( u : j → k ) F ( u ) ( f ( j ) ) = f ( k ) } , {\displaystyle \lim F\cong \mathrm {Cone} (\star ,F)\cong \left\{f\in \prod _{i\in J}{F(i)}\mid \forall (j,k\in J)\forall (u:j\to k)F(u)(f(j))=f(k)\right\},} colim F ≅ ( ∐ i ∈ J F ( i ) ) / ∼ , {\displaystyle \operatorname {colim} F\cong \left(\coprod _{i\in J}{F(i)}\right)/\sim ,} onde ∼ {\displaystyle \sim } é a menor relação de equivalência satisfazendo (abaixo, ι j : F ( j ) → ∐ i ∈ I F ( i ) {\displaystyle \iota _{j}:F(j)\to \coprod _{i\in I}{F(i)}} denota as inclusões no coproduto): ι j ( x ) ∼ ι k ( F ( u ) ( x ) ) {\displaystyle \iota _{j}(x)\sim \iota _{k}(F(u)(x))} para cada x ∈ F ( j ) {\displaystyle x\in F(j)} e u : j → k {\displaystyle u:j\to k} .
Adjunção com o functor diagonal Δ
O functor Δ : C → C J {\displaystyle \Delta :C\to C^{J}} tem adjunto direito se e só se C {\displaystyle C} admite todos os limites indexados por J {\displaystyle J} , e tem adjunto esquerdo se e só se C {\displaystyle C} admite todos os limites indexados por J {\displaystyle J} : hom C J ( Δ ( c ) , F ) ≅ hom C ( c , lim F ) {\displaystyle \hom _{C^{J}}(\Delta (c),F)\cong \hom _{C}(c,\operatorname {lim} F)} , hom C ( colim F , c ) ≅ hom C J ( F , Δ ( c ) ) {\displaystyle \hom _{C}(\operatorname {colim} F,c)\cong \hom _{C^{J}}(F,\Delta (c))} . Neste caso, colim ⊣ Δ ⊣ lim {\displaystyle \operatorname {colim} \dashv \Delta \dashv \operatorname {lim} } , isto é, os operadores limite e colimite podem ser estendidos a functores C J → C {\displaystyle C^{J}\to C} .
Um functor U : C → D {\displaystyle U:C\to D} : (Mac Lane usa o termo cria em vez de estritamente cria.) Há definições análogas para a preservação, reflexão e criação de colimites. Um functor U : C → D {\displaystyle U:C\to D} é dito (pequeno-)contínuo (respectivamente cocontínuo) quando preserva todos os limites pequenos (respectivamente colimites pequenos). Os functores hom C ( c , − ) : C → S e t {\displaystyle \hom _{C}(c,-):C\to {\mathsf {Set}}} são sempre contínuos. Assim, têm-se isomorfismos: hom C ( c , lim F ) ≅ lim ( hom C ( c , F ( − ) ) ) {\displaystyle \hom _{C}(c,\lim F)\cong \lim(\hom _{C}(c,F(-)))} hom C ( colim F , c ) ≅ lim ( hom C ( F ( − ) , c ) ) {\displaystyle \hom _{C}(\operatorname {colim} F,c)\cong \lim(\hom _{C}(F(-),c))}
Limites pontualmente
Um limite de um functor F : J → CA existe precisamente quando cada functor Ea ∘ F : J → C tem limite (onde Ea : CA → C é a aplicação em a), e neste caso o limite é um functor L : A → C tal que L(a) é limite de Ea ∘ F para cada a ∈ A.
Limites comutam
Seja functor F : I × J → C tal que, para cada i ∈ I, F(i, –) : J → C tem limite. Então, esses limites formam um functor que tem limite precisamente quando F : I × J → C tem limite. Em particular, quando os limites abaixo existem, há isomorfismo
Troca de limite com colimite
Para cada functor F : I × J → C, há uma seta "canônica" quando existem os limites e colimites adequados. Se C é a categoria dos conjuntos, uma das situações nas quais essa seta é isomorfismo é quando J é categoria finita e I é categoria filtrada (isto é, cada functor K → I com K finita tem cone a algum objeto de I); brevemente, limites finitos comutam com colimites filtrados na categoria dos conjuntos.
