Extensão de Kan
Na teoria das categorias, a extensão de Kan trata do problema de aproximar um functor por outro functor definido em outra categoria. O conceito recebe o nome de Daniel Kan, que começou a estudar casos particulares em 1958. Maiores aplicações da teoria de extensões de Kan surgiram na álgebra homológica, com o estudo de functores derivados.
Sejam functores F : C → E e K : C → D. Uma extensão de Kan esquerda de F ao longo de K é um functor LanK F : D → E junto a um isomorfismo natural em S : D → E. Noutras palavras, existe transformação natural η : F → LanK F ∘ K tal que, para qualquer functor S : D → E e qualquer transformação natural γ : F → S ∘ K, existe única transformação natural γ′ : LanK F → S tal que γ = γ′ K ∘ η. Dualmente, uma extensão de Kan direita de F ao longo de K é um functor RanK F : D → E junto a um isomorfismo natural em S : D → E. Noutras palavras, existe transformação natural ε : RanK F ∘ K → F tal que, para qualquer functor S : D → E e qualquer transformação natural δ : S ∘ K → F, existe única transformação natural δ′ : S → RanK F tal que δ = ε ∘ δ′ K. Se todos os functores F : C → E admitem extensão de Kan esquerda ao longo de K, o functor _ ∘ K : ED → EC admite adjunto esquerdo LanK. Dualmente, se todos os functores F : C → E admitem extensão de Kan direita ao longo de K, o functor _ ∘ K admite adjunto direito RanK.
Fórmula para extensões de Kan
Dados functores F : C → E e K : C → D, tem-se fórmula para a extensão de Kan esquerda (desde que o colimite abaixo exista): L a n K ( F ) ( d ) := c o l i m ( K ↓ d → P C → F E ) {\displaystyle \mathrm {Lan} _{K}(F)(d):=\mathrm {colim} (K\downarrow d\xrightarrow {P} C\xrightarrow {F} E)} onde K ↓ d denota uma categoria vírgula, e P : K ↓ d → C projeção na primeira componente.[nota 1] Dualmente, tem-se fórmula para a extensão de Kan direita (desde que o limite abaixo exista): R a n K ( F ) ( d ) := l i m ( d ↓ K → Q C → F E ) {\displaystyle \mathrm {Ran} _{K}(F)(d):=\mathrm {lim} (d\downarrow K\xrightarrow {Q} C\xrightarrow {F} E)} Alguns exemplos de aplicação da fórmula.
Sejam functores F : C → E e K : C → D. Um functor L : E → E′ é dito preservar uma extensão de Kan esquerda (LanK F, η) quando (L ∘ LanK F, L η) é uma extensão de Kan esquerda de L ∘ F ao longo de K. Adjuntos esquerdos preservam todas as extensões de Kan esquerdas. Similarmente, adjuntos direitos preservam todas as extensões de Kan direitas. Uma extensão de Kan direita (RanK F, ε) é dita ser pontual quando é preservada pelo functor representável hom(e, _) para cada e ∈ E. Já uma extensão de Kan esquerda (LanK F, η) é dita ser pontual quando ((LanK F)op, ηop) é extensão de Kan direita pontual (do functor Fop : Cop → Eop ao longo do functor Kop : Cop → Dop). Uma extensão de Kan direita é pontual se e só se é dada pela fórmula em termos de limite da seção #Fórmula para extensões de Kan acima. Dualmente, uma extensão de Kan esquerda é pontual se e só se é dada pela fórmula em termos de colimite acima.
A seguir, algumas situações nas quais extensões de Kan são usadas.
