Functor derivado
Na matemática, especificamente na teoria das categorias, certos functores podem ser derivados para obter outros functores intimamente relacionados aos originais. Esta operação, embora bastante abstrata, unifica várias construções em toda a matemática.
Notou-se em vários contextos bastante diferentes que uma sequência exata curta frequentemente dá origem a uma "sequência exata longa". Os functores derivados esclarecem e generalizam muitas dessas observações. Suponha que nos seja dado um functor covariante exato à esquerda F : A → B {\displaystyle F:\mathbf {A} \to \mathbf {B} } entre duas categorias abelianas A {\displaystyle \mathbf {A} } e B {\displaystyle \mathbf {B} } . Se for uma sequência exata curta em A {\displaystyle \mathbf {A} } , então a aplicação de F {\displaystyle F} produz a sequência exata e poder-se-ia perguntar como continuar esta sequência para a direita para formar uma sequência exata longa. A rigor, esta questão é mal formulada, visto que sempre há inúmeras maneiras diferentes de continuar uma determinada sequência exata para a direita. No entanto, verifica-se que se A {\displaystyle \mathbf {A} } for "suficientemente boa", há uma maneira canônica de fazê-lo, dada pelos functores derivados à direita de F {\displaystyle F} . Para todo i ≥ 1 {\displaystyle i\geq 1} , existe um functor R i F : A → B {\displaystyle R^{i}F:\mathbf {A} \to \mathbf {B} } , e a sequência acima continua da seguinte forma:
A suposição crucial que precisamos fazer sobre nossa categoria abeliana A é que ela possua injetivos suficientes, significando que para todo objeto A em A existe um monomorfismo A → I onde I é um objeto injetivo em A. Os functores derivados à direita do functor covariante exato à esquerda F : A → B são então definidos da seguinte maneira. Comece com um objeto X de A. Como há injetivos suficientes, podemos construir uma sequência exata longa da forma onde os I i são todos injetivos (isto é conhecido como uma resolução injetiva de X). Aplicando o functor F a esta sequência, e cortando o primeiro termo, obtemos o complexo de cocadeias Nota: em geral, esta não é mais uma sequência exata. Mas podemos calcular a sua coomologia na i-ésima posição (o núcleo da aplicação a partir de F(Ii) módulo a imagem da aplicação para F(Ii)); chamamos o resultado de RiF(X). Naturalmente, várias coisas devem ser verificadas: o resultado não depende da resolução injetiva dada de X, e qualquer morfismo X → Y produz naturalmente um morfismo RiF(X) → RiF(Y), de modo que de fato obtemos um functor. Note que a exatidão à esquerda significa que 0 → F(X) → F(I0) → F(I1) é exata, portanto R0F(X) = F(X), então só obtemos algo interessante para i>0.
Se começarmos com um functor covariante exato à direita G {\displaystyle G} , e a categoria A tiver projetivos suficientes (ou seja, para cada objeto A {\displaystyle A} de A existe um epimorfismo P → A {\displaystyle P\rightarrow A} onde P {\displaystyle P} é um objeto projetivo), então podemos definir analogamente os functores derivados à esquerda L i G {\displaystyle L_{i}G} . Para um objeto X {\displaystyle X} de A, primeiro construímos uma resolução projetiva da forma onde os P i {\displaystyle P_{i}} são projetivos. Aplicamos G {\displaystyle G} a esta sequência, cortamos o último termo, e calculamos a homologia para obter L i G ( X ) {\displaystyle L_{i}G(X)} . Como antes, L 0 G ( X ) = G ( X ) {\displaystyle L_{0}G(X)=G(X)} . Neste caso, a sequência exata longa crescerá "para a esquerda" em vez de para a direita: a sequência Functores derivados à esquerda são zero em todos os objetos projetivos.
Homologia e coomologia
Se X {\displaystyle X} for um espaço topológico, então a categoria S h ( X ) {\displaystyle Sh(X)} de todos os feixes de grupos abelianos em X {\displaystyle X} é uma categoria abeliana com injetivos suficientes. O functor Γ : S h ( X ) → A b {\displaystyle \Gamma :Sh(X)\to \mathrm {Ab} } que atribui a cada um desses feixes F {\displaystyle {\mathcal {F}}} o grupo Γ ( F ) := F ( X ) {\displaystyle \Gamma ({\mathcal {F}}):={\mathcal {F}}(X)} de seções globais é exato à esquerda, e os functores derivados à direita são os functores de coomologia de feixes, usualmente escritos como H i ( X , F ) {\displaystyle H^{i}(X,{\mathcal {F}})} . De forma um pouco mais geral: se ( X , O X ) {\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})} for um espaço anelado, então a categoria de todos os feixes de O X {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}} -módulos é uma categoria abeliana com injetivos suficientes, e podemos novamente construir a coomologia de feixes como os functores derivados à direita do functor de seções globais.
Os functores derivados e as sequências exatas longas são "naturais" em diversos sentidos técnicos. Primeiro, dado um diagrama comutativo da forma (onde as linhas são exatas), as duas sequências exatas longas resultantes estão relacionadas por quadrados comutativos: Segundo, suponha que η : F → G seja uma transformação natural do functor exato à esquerda F para o functor exato à esquerda G. Então, transformações naturais Riη : RiF → RiG são induzidas, e de fato Ri torna-se um functor da categoria de functores de todos os functores exatos à esquerda de A para B para a categoria de functores completa de todos os functores de A para B. Além disso, este functor é compatível com as sequências exatas longas no seguinte sentido: se for uma sequência exata curta, então um diagrama comutativo Ambas estas naturalidades seguem da naturalidade da sequência fornecida pelo lema da serpente. Reciprocamente, a seguinte caracterização de functores derivados é válida: dada uma família de functores Ri: A → B, satisfazendo o exposto acima, isto é, mapeando sequências exatas curtas para sequências exatas longas, tal que para cada objeto injetivo I de A, Ri(I)=0 para todo i positivo, então esses functores são os functores derivados à direita de R0.
A abordagem mais moderna (e mais geral) aos functores derivados utiliza a linguagem das categorias derivadas. Em 1968, Daniel Quillen desenvolveu a teoria das categorias de modelos, as quais fornecem um sistema abstrato na teoria das categorias de fibrações, cofibrações e equivalências fracas. Tipicamente, está-se interessado na categoria de homotopia subjacente obtida localizando-se contra as equivalências fracas. Uma Adjunção de Quillen é uma adjunção entre categorias de modelos que descende para uma adjunção entre as categorias de homotopia. Por exemplo, a categoria dos espaços topológicos e a categoria dos conjuntos simpliciais admitem ambas estruturas de modelos de Quillen cuja adjunção de nervo e realização dá origem a uma adjunção de Quillen que é, de fato, uma equivalência de categorias de homotopia. Objetos particulares em uma estrutura de modelos têm "boas propriedades" (concernentes à existência de levantamentos contra morfismos particulares), os objetos "fibrantes" e "cofibrantes", e todo objeto é fracamente equivalente a uma "resolução" fibrante-cofibrante.
