Categoria de homotopia de uma ∞-categoria

Seja C uma ∞-categoria. Se f , g : x → y {\displaystyle f,g:x\to y} são morfismos (1-simplexos) em C, então escrevemos f ∼ g {\displaystyle f\sim g} se existir um 2-simplexo σ : Δ 2 → C {\displaystyle \sigma :\Delta ^{2}\to C} tal que σ ( 0 → 1 ) = f , σ ( 0 → 2 ) = g , σ ( 1 → 2 ) = id y . {\displaystyle \sigma (0\to 1)=f,\,\sigma (0\to 2)=g,\,\sigma (1\to 2)=\operatorname {id} _{y}.} Então, pelo trabalho de Joyal, a relação ∼ {\displaystyle \sim } revela-se ser uma relação de equivalência. Portanto, podemos tomar o quociente: A categoria de homotopia τ ( C ) {\displaystyle \tau (C)} no sentido de Boardman–Vogt é, assim, a categoria onde obj ⁡ ( τ ( C ) ) = obj ⁡ ( C ) {\displaystyle \operatorname {obj} (\tau (C))=\operatorname {obj} (C)} , Hom τ ( C ) ⁡ ( x , y ) = [ x , y ] {\displaystyle \operatorname {Hom} _{\tau (C)}(x,y)=[x,y]} e a composição é dada por [ f ] ∘ [ g ] = [ h ] {\displaystyle [f]\circ [g]=[h]} quando h {\displaystyle h} exibe alguma composição de f , g {\displaystyle f,g} .