Lei do Inverso do Quadrado
Na ciência, uma lei de quadrado inverso é qualquer lei científica que declare que uma quantidade física especificada é inversamente proporcional ao quadrado da distância da fonte dessa quantidade física. A causa fundamental para isto pode ser entendida como diluição geométrica correspondente à radiação da fonte pontual no espaço tridimensional.
Em notação matemática, a lei do inverso do quadrado pode ser expressa como uma intensidade (I) variando em função da distância (d) de algum centro. A intensidade é proporcional (ver ∝ ) ao inverso multiplicativo do quadrado da distância assim: intensidade ∝ 1 distância 2 {\displaystyle {\text{intensidade}}\ \propto \ {\frac {1}{{\text{distância}}^{2}}}\,} Também pode ser expresso matematicamente como: intensidade 1 intensidade 2 = distância 2 2 distância 1 2 {\displaystyle {\frac {{\text{intensidade}}_{1}}{{\text{intensidade}}_{2}}}={\frac {{\text{distância}}_{2}^{2}}{{\text{distância}}_{1}^{2}}}} ou como a formulação de uma quantidade constante: intensidade 1 × distância 1 2 = intensidade 2 × distância 2 2 {\displaystyle {\text{intensidade}}_{1}\times {\text{distância}}_{1}^{2}={\text{intensidade}}_{2}\times {\text{distância}}_{2}^{2}} A divergência de um campo vetorial que é o resultado de campos de lei do quadrado inverso radial em relação a uma ou mais fontes é proporcional à intensidade das fontes locais e, portanto, a zero fontes externas. A lei da gravitação universal de Newton segue uma lei do quadrado inverso, assim como os efeitos dos fenômenos elétricos, luminosos, sonoros e de radiação .
A lei do quadrado inverso geralmente se aplica quando alguma força, energia ou outra quantidade conservada é irradiada uniformemente para fora de uma fonte pontual no espaço tridimensional. Como a área da superfície de uma esfera (que é 4πr2) é proporcional ao quadrado do raio, pois à medida que a radiação emitida se afasta da fonte, ela se espalha por uma área que aumenta proporcionalmente ao quadrado da distância da fonte. Portanto, a intensidade da radiação que passa por qualquer unidade de área (diretamente voltada para a fonte pontual) é inversamente proporcional ao quadrado da distância até esta fonte pontual. A lei de Gauss para a gravidade é igualmente aplicável e pode ser usada com qualquer quantidade física que atue de acordo com a relação inversa do quadrado.
Gravitação
Gravitação é a atração entre objetos que possuem massa. A lei de Newton afirma: A força de atração gravitacional entre duas massas pontuais é diretamente proporcional ao produto das suas massas e inversamente proporcional ao quadrado da sua distância de separação. A força é sempre atrativa e atua ao longo da linha que as une. Se a distribuição da matéria em cada corpo for esfericamente simétrica, então os objetos podem ser tratados como massas pontuais sem aproximação, conforme mostrado no teorema da casca. Caso contrário, se quisermos calcular a atração entre corpos maciços, precisamos adicionar todas as forças de atração ponto-ponto vetorialmente e a atração líquida pode não ser o quadrado inverso exato. No entanto, se a separação entre os corpos maciços for muito maior em comparação com seus tamanhos, então, para uma boa aproximação, é razoável tratar as massas como uma massa pontual localizada no centro de massa do objeto ao calcular a força gravitacional.
Eletrostática
A força de atração ou repulsão entre duas partículas eletricamente carregadas, além de ser diretamente proporcional ao produto das cargas elétricas, é inversamente proporcional ao quadrado da distância entre elas; isso é conhecido como lei de Coulomb. O desvio do expoente de 2 é menor que uma parte em 1015. F = k e q 1 q 2 r 2 {\displaystyle F=k_{\text{e}}{\frac {q_{1}q_{2}}{r^{2}}}}
Luz e outras radiações eletromagnéticas
A intensidade (ou iluminância ou irradiância ) da luz ou outras ondas lineares que irradiam de uma fonte pontual (energia por unidade de área perpendicular à fonte) é inversamente proporcional ao quadrado da distância da fonte, então um objeto (do mesmo tamanho) duas vezes mais longe recebe apenas um quarto da energia (no mesmo período de tempo). De forma mais geral, a irradiância, ou seja, a intensidade (ou potência por unidade de área na direção de propagação), de uma frente de onda esférica varia inversamente com o quadrado da distância da fonte (supondo que não haja perdas causadas por absorção ou espalhamento) . Por exemplo, a intensidade da radiação do Sol é de 9,126 watts por metro quadrado à distância de Mercúrio (0,387 UA ); mas apenas 1,367 watts por metro quadrado à distância da Terra (1 UA) - um aumento aproximado de três vezes na distância resulta em uma diminuição aproximada de nove vezes na intensidade da radiação.
Som em um gás
Em acústica, a pressão sonora de uma frente de onda esférica que irradia de uma fonte pontual diminui em 50% à medida que a distância r é dobrada; medida em dB, a diminuição ainda é de 6,02 dB, pois dB representa uma relação de intensidade. A relação de pressão (em oposição à relação de potência) não é inversamente quadrada, mas é inversamente proporcional (lei da distância inversa): p ∝ 1 r {\displaystyle p\ \propto \ {\frac {1}{r}}\,} O mesmo é verdade para a componente da velocidade da partícula v {\displaystyle v\,} que está em fase com a pressão sonora instantânea p {\displaystyle p\,} : v ∝ 1 r {\displaystyle v\ \propto {\frac {1}{r}}\ \,} No campo próximo, há um componente de quadratura da velocidade da partícula que está 90° fora de fase com a pressão do som e não contribui para a energia média no tempo ou para a intensidade do som. A intensidade do som é o produto da pressão sonora RMS e o componente em fase da velocidade RMS da partícula, ambos inversamente proporcionais. Consequentemente, a intensidade segue um comportamento de quadrado inverso: I = p v ∝ 1 r 2 . {\displaystyle I\ =\ pv\ \propto \ {\frac {1}{r^{2}}}.\,}
Para um campo vetorial irrotacional no espaço tridimensional, a lei do quadrado inverso corresponde à propriedade de que a divergência é zero fora da fonte. Isso pode ser generalizado para dimensões superiores. Geralmente, para um campo vetorial irrotacional no espaço euclidiano n -dimensional, a intensidade "I" do campo vetorial cai com a distância "r" seguindo o inverso ( n − 1) lei de potência I ∝ 1 r n − 1 , {\displaystyle I\propto {\frac {1}{r^{n-1}}},} dado que o espaço fora da fonte é livre de divergência.
John Dumbleton, das Calculadoras de Oxford do século XIV, foi um dos primeiros a expressar relações funcionais em forma gráfica. Ele deu uma prova do teorema da velocidade média afirmando que "a latitude de um movimento uniformemente difuso corresponde ao grau do ponto médio" e usou esse método para estudar a diminuição quantitativa da intensidade da iluminação em sua Summa logicæ et philosophiæ naturalis (ca. 1349), afirmando que não era linearmente proporcional à distância, mas foi incapaz de expor a lei do quadrado inverso. Na proposição 9 do Livro 1 em seu livro Ad Vitellionem paralipomena, quibus astronomiae pars optica traditur (1604), o astrônomo Johannes Kepler argumentou que a propagação da luz de uma fonte pontual obedece a uma lei do inverso do quadrado: Sicut se habent spharicae superificies, quibus origo lucis pro centro est, amplior ad angustiorem: ita se habet fortitudo seu densitas lucis radiorum in angustiori, ad illamin in laxiori sphaerica, hoc est, conversim. Nam per 6. 7. tantundem lucis est in angustiori sphaerica superficie, quantum in fusiore, tanto ergo illie stipatior & densior quam hic.
