Identidade trigonométrica
Identidade trigonométrica é uma identidade que envolve funções trigonométricas, sendo, pois, verdadeira para todos os valores das variáveis envolvidas. Com efeito, ela é útil sempre que expressões que contêm expressões trigonométricas devam ser simplificadas, ou, doutra sorte, substituídas com o propósito de conseguir uma nova transformação, mais útil para dada aplicação. Uma importante aplicação, exemplo notável da técnica de substituição, é a integração de funções não-trigonométricas: um recurso comum envolve primeiro usar a integração por substituição com uma função trigonométrica e então simplificar a integral resultante com uma identidade trigonométrica.
Ângulos
Ângulos são entidades geométricas definidas em geometria euclidiana plana ou tridimensional, podendo ser estendidos para geometrias não-euclidianas. Um ângulo, plano ou não, é caracterizado por sua abertura, e essa abertura pode ser medida. Embora sejam entidades distintas, sob o rigor lógico-matemático, costuma-se, por simplicidade de nomenclatura e notação (e de sentenças pertinentes), empregar o termo "ângulo" por "medida de ângulo", sempre que não houver comprometimento de ideias. É usual utilizar letras gregas como alfa (α), beta (β), theta (θ) e phi (φ), ou letras latinas iniciais, como "a", "b", "c" etc., ou medianas ("m", "n", "p" etc.), para representar medidas de ângulos, que sejam conhecidos por generalidade e por princípio (a priori). Contudo, quando expressões matemáticas, que são sentenças lógico-matemáticas, envolverem medidas de ângulo como quantidades variáveis (variáveis matemáticas), devem-se preferir "x", "y", "z" etc., conforme convenção para variáveis. Assim, ao se escreverem expressões que representam relações, funções, igualdades, identidades ou equações com um ou mais argumento variável, os símbolos convencionais adequados a essa aplicação ("x", "y", "z" etc.) devem-se utilizar.
Funções trigonométricas
As funções trigonométricas básicas são o seno e o cosseno de um ângulo, justamente porque se pode escrever qualquer outra função trigonométrica a partir das funções seno e cosseno. A notação utilizada para essas funções é sen ( θ ) {\displaystyle \operatorname {sen} \left(\theta \right)} e cos ( θ ) {\displaystyle \cos \left(\theta \right)} , respectivamente, onde θ {\displaystyle \theta } é o ângulo. Todavia as parênteses podem ser omitidas, ficando da seguinte forma: sen θ {\displaystyle \operatorname {sen} \theta } e cos θ {\displaystyle \cos \theta } . A função tangente (escreve-se " tan θ {\displaystyle {\text{tan}}\ \theta } " ou " tg θ {\displaystyle {\text{tg}}\ \theta } " ) de um ângulo é a razão entre seno e o cosseno do mesmo ângulo:
As funções trigonométricas inversas são funções inversas parciais. Por exemplo a função inversa de seno é a função arco seno, denotada por arcsen {\displaystyle {\text{arcsen}}} ou por sen − 1 {\displaystyle \operatorname {sen} ^{-1}} (essa ultima notação é pouco utilizada, pois costuma gerar confusão entre a função arcoseno e cossecante). Essas funções são utilizadas quando temos uma relação trigonométrica conhecida e deseja-se descobrir o ângulo que resulta em tal relação. Por exemplo: sabendo-se que o sen 60 ∘ = sen ( π 3 ) = 3 2 {\displaystyle \operatorname {sen} 60^{\circ }=\operatorname {sen} \left({\frac {\pi }{3}}\right)={\frac {\sqrt {3}}{2}}} , podemos dizer que arcsen ( 3 2 ) = π 3 {\displaystyle {\text{arcsen}}\left({\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)={\frac {\pi }{3}}} . Assim observa-se que, para essas funções, deve valer: sen ( arcsen ) = x para | x | ≤ 1 {\displaystyle \operatorname {sen}(\operatorname {arcsen} )=x\quad {\text{para}}\quad |x|\leq 1} e arcsen ( sen x ) = x para | x | ≤ π / 2 {\displaystyle \operatorname {arcsen} (\operatorname {sen} x)=x\quad {\text{para}}\quad |x|\leq \pi /2} A tabela a seguir mostra as funções trigonométricas e suas respectivas inversas:
Existem diversas relações entre as funções trigonométricas. Essas relações são conhecidas como identidades trigonométricas ou identidades pitagóricas, justamente porque todas elas partem das relações estabelecidas pelo teorema de pitágoras. A relação básica entre seno e cosseno é cos 2 θ + sen 2 θ = 1 , {\displaystyle \cos ^{2}\theta +\operatorname {sen} ^{2}\theta =1,} conhecida como Identidade Trigonométrica Fundamental, pois é a mais básica identidade pitagórica. Esta identidade pode ser deduzida através do Teorema de Pitágoras, o que será demonstrado adiante. Também existem outras duas identidades: tan 2 α + 1 = sec 2 α {\displaystyle \tan ^{2}\alpha +1=\sec ^{2}\alpha } e cot 2 α + 1 = csc 2 α , {\displaystyle \cot ^{2}\alpha +1=\csc ^{2}\alpha ,} que são corolários da identidade trigonométrica fundamental. Assim, existem três identidades pitagóricas:
Relação fundamental
Vamos demonstração a relação fundamental: sen 2 α + cos 2 α = 1 {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sen} ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha &=1\end{aligned}}} Seja o triângulo retângulo ACH, com catetos A C ¯ {\displaystyle {\overline {AC}}} e C H ¯ {\displaystyle {\overline {CH}}} e hipotenusa A H ¯ , {\displaystyle {\overline {AH}},} observa-se, como já foi demonstrado anteriormente que: A C ¯ = cos α , {\displaystyle {\overline {AC}}\,\!=\cos \alpha ,} C H ¯ = sen α {\displaystyle {\overline {CH}}\,\!=\operatorname {sen} \alpha } e A H ¯ = 1. {\displaystyle {\overline {AH}}\,\!=1.} ( A C ¯ ) 2 + ( C H ¯ ) 2 = ( A H ¯ ) 2 ⇒ ( cos α ) 2 + ( sen α ) 2 = 1 2 . {\displaystyle ({\overline {AC}})^{2}+({\overline {CH}})^{2}=({\overline {AH}})^{2}\Rightarrow (\cos \alpha )^{2}+(\operatorname {sen} \alpha )^{2}=1^{2}.}
Corolários
tan 2 α + 1 = sec 2 α {\displaystyle \tan ^{2}\alpha +1=\sec ^{2}\alpha } Seja o triângulo retângulo ADF, com catetos A D ¯ {\displaystyle {\overline {AD}}} e D F ¯ {\displaystyle {\overline {DF}}} e hipotenusa A F ¯ , {\displaystyle {\overline {AF}},} observa-se, como já foi demonstrado anteriormente que: A D ¯ = 1 , {\displaystyle {\overline {AD}}\,\!=1,} D F ¯ = tan α {\displaystyle {\overline {DF}}\,\!=\tan \alpha } e A F ¯ = sec α . {\displaystyle {\overline {AF}}\,\!=\sec \alpha .} ( A D ¯ ) 2 + ( D F ¯ ) 2 = ( A F ¯ ) 2 ⇒ 1 2 + ( tan α ) 2 = ( sec α ) 2 . {\displaystyle ({\overline {AD}})^{2}+({\overline {DF}})^{2}=({\overline {AF}})^{2}\Rightarrow 1^{2}+(\tan \alpha )^{2}=(\sec \alpha )^{2}.}
Na tabela a seguir temos as relações de simetria entre diferentes tipos de ângulos e suas funções trigonométricas e em seguida suas devidas explicações e demonstrações.
Simetria entre ângulos replementares
Chamamos de ângulo replementar o ângulo que, somado a outro, resulta em 360 ∘ {\displaystyle 360^{\circ }} ou 2 π rad {\displaystyle 2\pi \ {\text{rad}}} . A seguir temos as explicações dessas relações e ao lado temos as verificações geométricas. Para seno e cosseno de ângulos replementares temos as relações: Na figura ao lado temos a verificação geométrica dessas propriedades e a abaixo as demonstrações. A demonstração de cos ( − θ ) = + cos θ {\displaystyle \cos(-\theta )=+\cos \theta } é trivial, pois ambos são coincidentes (ambos são o mesmo segmento) o que pode ser observado na figura ao lado. Para demonstrar que sen ( − θ ) = − sen θ {\displaystyle \operatorname {sen}(-\theta )=-\operatorname {sen} \theta } partiremos de congruência de triângulos.
Simetria entre ângulos complementares
Chamamos o ângulo complementar um ângulo que, quando somado a outro, resulta em 90 ∘ {\displaystyle 90^{\circ }} ou π 2 rad {\displaystyle {\frac {\pi }{2}}\ {\text{rad}}} . A seguir temos as explicações e demonstrações dessas relações e suas verificações geométricas. Para seno e cosseno de ângulos complementares temos as seguintes relações: sen ( π 2 − θ ) = cos θ {\displaystyle \operatorname {sen} \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)=\cos \theta } , ou seja, o cosseno de um ângulo é igual ao seno do seu complementar (ou vice-versa); cos ( π 2 − θ ) = sen θ {\displaystyle \cos \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)=\operatorname {sen} \theta } , ou seja, o seno de um ângulo é igual ao cosseno de seu complementar (ou vice versa).
Simetria entre ângulos suplementares
Chamamos de ângulos suplementares dois ângulos que, somados, resultam em 180 ∘ {\displaystyle 180^{\circ }} ou π rad {\displaystyle \pi \ {\text{rad}}} . A seguir temos as explicações dessas relações e suas respectivas demonstrações. Para a relação de simetria entre seno e cosseno de ângulos suplementares temos as seguintes relações: A seguir temos a demonstração para essas duas propriedades e suas verificações geométricas. Queremos demonstrar que sen ( π − θ ) = sen θ {\displaystyle \operatorname {sen} \left(\pi -\theta \right)=\operatorname {sen} \theta } e cos ( π − θ ) = − cos θ {\displaystyle \cos \left(\pi -\theta \right)=-\cos \theta } .
Trocando-se valores de certos ângulos, é possível obter equivalências entre as funções trigonométricas. Funções trigonométricas são periódicas, e portanto, valores específicos de ângulo para as funções trigonométricas denotam um mesmo valor.
É possível deduzir fórmulas para calcular as funções trigonométricas da soma e da diferença de números reais, se conhecermos as funções circulares desses números. A seguir há uma tabela que contém todas as fórmulas para adições e subtrações de arcos e, abaixo, suas demonstrações.
Demonstrações
Para descobrir o cosseno da soma de dois arcos (ou ângulos) segue a seguinte fórmula: cos ( a + b ) = cos a . cos b − sen a . sen b {\displaystyle \cos({\text{a}}+{\text{b}})=\cos {\text{a}}.\cos {\text{b}}-\operatorname {sen} {\text{a}}.\operatorname {sen} {\text{b}}} Sejam os pontos A , {\displaystyle {\text{A}},} B , {\displaystyle {\text{B}},} C {\displaystyle {\text{C}}} da figura ao lado, associados aos arcos a , {\displaystyle a,} − b {\displaystyle -b} e a + b , {\displaystyle a+b,} respectivamente. Assim, conforme já fora demonstrado, as coordenadas cartesianas dos pontos A , {\displaystyle {\text{A}},} B , {\displaystyle {\text{B}},} C {\displaystyle {\text{C}}} e E {\displaystyle {\text{E}}} são as seguintes:
A função geral é uma representação das funções trigonométricas criada a fim de simplificar e tornar mais intuitivas suas propriedades e relações. Ela é definida do seguinte modo: V 0 ( θ ) = cos ( θ ) {\displaystyle V_{0}(\theta )=\cos(\theta )} e D θ n V x ( θ ) = V n + x ( θ ) {\displaystyle D_{\theta }^{n}V_{x}(\theta )=V_{n+x}(\theta )} , em que D x n {\displaystyle D_{x}^{n}} é a notação de Euler para diferenciação. Exemplificam-se as abaixo as representações tradicionais na forma generalizada : Detalhes de notação: V a = V a ( 0 ) {\displaystyle V_{a}=V_{a}(0)} V a ( x ) + V b ( y ) = 2 V a + b 2 ( x + y 2 ) V a − b 2 ( x − y 2 ) {\displaystyle V_{a}(x)+V_{b}(y)=2V_{\tfrac {a+b}{2}}\left({\tfrac {x+y}{2}}\right)V_{\tfrac {a-b}{2}}\left({\tfrac {x-y}{2}}\right)} É também possível transformar produto de gerais em soma de gerais. Isto é feito da seguinte forma: Repare a sequência binária nos sinais '+' e '-'. Para 3 termos, por exemplo, note que os sinais entre 'a', 'b' e 'c' se comportam da seguinte maneira: ++, +-, -+, --. O comportamento binário é observado para qualquer quantidade de termos. Tal formulação é bastante vantajosa para um alto número de termos, encontrados, entre outros, no estudo de máquinas elétricas (como no cálculo do torque eletromagnético, que demanda 3 termos) - a qual seria de difícil obtenção através dos meios tradicionais.
É possível obter as funções trigonométricas quando temos um ângulo sendo multiplicado ou divido, conforme as fórmulas da tabela abaixo. A seguir temos as demonstrações dessas propriedades.
Fórmulas da duplicação de ângulos
Para calcular o seno de um arco do tipo 2. a {\displaystyle 2.{\text{a}}} utiliza-se a fórmula: sen ( 2 a ) = 2. sen a . cos a {\displaystyle \operatorname {sen}(2{\text{a}})=2.\operatorname {sen} {\text{a}}.\cos {\text{a}}} Seja sen ( 2. a ) = sen ( a + a ) , {\displaystyle \operatorname {sen}(2.{\text{a}})=\operatorname {sen}({\text{a}}+{\text{a}}),} podemos aplicar a fórmula do seno da soma, de modo que: sen ( a + a ) = sen a . cos a + sen a . cos a {\displaystyle \operatorname {sen}({\text{a}}+{\text{a}})=\operatorname {sen} {\text{a}}.\cos {\text{a}}+\operatorname {sen} {\text{a}}.\cos {\text{a}}} sen ( 2 a ) = 2. sen a . cos a {\displaystyle \operatorname {sen}(2{\text{a}})=2.\operatorname {sen} {\text{a}}.\cos {\text{a}}}
Fórmulas da divisão do ângulo em dois
Para calcular o seno da metade de um arco, utiliza-se a seguinte fórmula: sen ( a 2 ) = ± 1 − cos a 2 {\displaystyle \operatorname {sen} \left({\frac {\text{a}}{2}}\right)=\pm {\sqrt {\frac {1-\cos {\text{a}}}{2}}}} Sabendo que cos ( 2. x ) = 1 − 2. sen 2 x , {\displaystyle \cos(2.{\text{x}})=1-2.\operatorname {sen} ^{2}{\text{x}},} podemos definir x = a 2 {\displaystyle x={\frac {\text{a}}{2}}} de modo a reescrever: cos ( a ) = 1 − 2. sen 2 ( a 2 ) {\displaystyle \cos({\text{a}})=1-2.\operatorname {sen} ^{2}\left({\frac {\text{a}}{2}}\right)} Logo, isolando sen ( a 2 ) {\displaystyle \operatorname {sen} \left({\frac {\text{a}}{2}}\right)} temos:
Resolve-se com as fórmulas de duplo ângulo, isolando-se: cos 2 θ e sen 2 θ . {\displaystyle \cos ^{2}\theta \,{\text{e}}\operatorname {sen} ^{2}\theta \,{\text{.}}} cos 2 θ = ( 1 + cos ( 2 θ ) 2 ) {\displaystyle \cos ^{2}\theta =\left({\frac {1+\cos(2\theta )}{2}}\right)} sen 2 θ = ( 1 − cos ( 2 θ ) 2 ) {\displaystyle \operatorname {sen} ^{2}\theta =\left({\frac {1-\cos(2\theta )}{2}}\right)}
