Hipótese de Riemann
A hipótese de Riemann está relacionada à distribuição dos números primos e, na opinião dos principais matemáticos, é atualmente o mais importante problema não resolvido da matemática pura. Ela foi formulada pela primeira vez em 1859 por Bernhard Riemann em seu artigo Sobre o Número de Primos Menores que uma Dada Grandeza, em uma oração subordinada. A conjectura formulada por Riemann afirma que todos os zeros da função zeta de Riemann são números pares negativos , , …, ou números complexos cuja parte real é . Os primeiros são também chamados de zeros triviais e a hipótese afirma que os não triviais situam-se numa chamada reta crítica.
No centro da Teoria dos números, o ramo da matemática que se dedica às propriedades dos números naturais 1, 2, 3, 4, ..., encontram-se os números primos 2, 3, 5, 7, 11, ... Estes distinguem-se pela propriedade de terem exatamente dois divisores, nomeadamente o 1 e eles próprios. O 1 não é um número primo. Os números primos formam, de certo modo, os átomos dos números inteiros, uma vez que cada número inteiro positivo pode ser decomposto de forma multiplicativa única nestes números. Este resultado é também designado por Teorema fundamental da aritmética. Por exemplo, tem-se 21 = 3 · 7 e 110 = 2 · 5 · 11. Apesar da sua definição simples, e após vários milénios de história da matemática, ainda subsistem muitas questões em aberto sobre os números primos e a sua distribuição. A sua natureza constitui uma das mais importantes questões em aberto na matemática. A hipótese de Riemann implica muitas afirmações sobre a distribuição dos números primos e é motivada pelas seguintes questões:
Ao longo de todo o texto, adotam-se as seguintes notações:
A infinidade dos números primos
Já Euclides havia demonstrado que existem infinitos números primos, motivo pelo qual a lista 2, 3, 5, 7, 11, … de todos os números primos nunca termina, tal como a lista 1, 2, 3, 4, … de todos os números naturais nunca termina. O seu resultado é conhecido como o teorema de Euclides. O teorema de Euclides é um teorema matemático; a sua exatidão deve, portanto, ser demonstrada. Uma demonstração matemática ocorre através de uma sequência de argumentos logicamente verdadeiros, que se baseiam em axiomas ou em teoremas previamente demonstrados. Uma demonstração da infinidade dos números primos pode ser conduzida, a grosso modo, da seguinte forma: Este procedimento pode ser compreendido através do seguinte exemplo: Considerando a lista {2, 5, 11} de números primos, o seu produto 2 · 5 · 11 = 110 é divisível por 2, 5 e 11. Deste modo, 110 + 1 = 111 não pode ser divisível nem por 2, nem por 5, nem por 11; logo, existe um outro número primo que difere de 2, 5 e 11. Concretamente, o número primo 3 divide o número 111, e tem-se 111 = 3 · 37. Obviamente, o tamanho da lista de três números neste exemplo é arbitrário; tem-se, por exemplo,
Uma descoberta de Euler
Ao longo do tempo, foram encontradas numerosas demonstrações da infinidade dos números primos, entre as quais as de Christian Goldbach, Leonhard Euler e Paul Erdös. As descobertas de Euler, em particular, serviram como um guia para a transição futura de uma teoria dos números elementar, na tradição dos antigos gregos, para uma forma moderna da mesma. No ano de 1737, durante a sua primeira estadia em São Petersburgo, Euler investigou uma abordagem inovadora aos números primos e descobriu que eles estão "relativamente densamente" espalhados entre os números naturais. Mais precisamente, ele provou que Somando-se sucessivamente os inversos dos números primos, qualquer limite superior, por maior que seja, acaba por ser ultrapassado. Isso evidencia que os números primos estão espalhados de forma mais "densa" entre os números naturais do que os quadrados perfeitos, pois Euler também mostrou que
O Teorema do Número Primo
A mera infinidade de um subconjunto dos números naturais ainda não diz muito sobre a sua natureza. Por exemplo, existem infinitos números pares 2, 4, 6, 8, … e infinitos quadrados perfeitos 1, 4, 9, 16, …, contudo, observando de perto, ambas as sequências apresentam comportamentos diferentes. Enquanto a diferença entre dois números pares consecutivos é sempre 2, as distâncias entre os quadrados perfeitos aumentam cada vez mais, por exemplo Ambas as sequências partilham, no entanto, um padrão muito regular. Por exemplo, o n-ésimo número par é simplesmente 2n. Em contrapartida, até os dias de hoje, não foi descoberto nenhum padrão simples na sequência dos números primos 2, 3, 5, 7, 11, …, 59, 61, 67, …. Por exemplo, não existe nenhum algoritmo "rápido" para calcular o n-ésimo número primo. Demonstra-se, porém, que existem padrões a serem reconhecidos nos números primos a longo prazo. Se observarmos um grande conjunto de números primos em simultâneo, é possível identificar estruturas regulares através do "cálculo de médias".
A hipótese de Riemann implica um forte aprimoramento do teorema do número primo. Isso significa que ela postula, além da distribuição dos números primos derivada dos logaritmos, uma descrição quantitativa muito exata dos desvios da estimativa integral prevista no teorema do número primo. Ela enquadra o comportamento dos números primos no conceito de pseudoaleatoriedade. Existem algumas perspectivas diferentes e ainda assim equivalentes sobre o problema, que são listadas a seguir.
O erro absoluto no teorema do número primo
Como acima, π ( x ) {\displaystyle \pi (x)} denota o número exato de números primos abaixo do limite x {\displaystyle x} e Li ( x ) {\displaystyle \operatorname {Li} (x)} o Logaritmo integral. O erro absoluto no teorema do número primo denota a diferença | π ( x ) − Li ( x ) | {\displaystyle |\pi (x)-\operatorname {Li} (x)|} . Nesse caso, o valor absoluto (ou módulo) garante que apenas grandezas positivas apareçam no resultado, uma vez que o interesse inicial é apenas no tamanho do erro e não no seu sinal. O erro absoluto, em contraste com o erro relativo não precisa tender a 0 de forma alguma. O quociente de x 2 {\displaystyle x^{2}} por x 2 + x {\displaystyle x^{2}+x} tende a 1 com o crescimento de x {\displaystyle x} , pois quadrados crescem mais rápido que termos lineares, mas a diferença (inclusive ilimitada) x 2 + x − x 2 = x {\displaystyle x^{2}+x-x^{2}=x} dos dois termos não tende. A hipótese de Riemann faz uma declaração detalhada sobre o erro absoluto no teorema do número primo.
Interpretação na teoria das probabilidades
A hipótese de Riemann pode ser interpretada de forma probabilística. Isso remonta ao matemático Arnaud Denjoy. Para entender a relação entre os números primos, por um lado, e a teoria das probabilidades, por outro, é necessário o teorema central do limite. A comparação mais simples de ambos os conceitos surge da observação de um lançamento justo de moeda. Uma moeda justa com os possíveis resultados "cara" e "coroa" é lançada várias vezes seguidas. Na situação ideal, o resultado de cada lançamento em si é absolutamente aleatório e, além disso, os resultados dos lançamentos não dependem uns dos outros. Ou seja, se saiu "cara" inicialmente, isso deve ser irrelevante para a probabilidade de sair novamente "cara" ou "coroa" em seguida. A suposição errônea, nesta situação, de que após uma longa sequência de lançamentos de "cara", lançamentos de "coroa" se tornariam mais prováveis, é conhecida como a Falácia do apostador ("o acaso não tem memória").
O caminho através das séries infinitas
Para conseguir atacar as questões relativas aos números primos com os métodos da análise, as séries infinitas são uma primeira ferramenta. Por série, entende-se visualmente uma soma de números que nunca termina. Estes podem ser números reais ou mesmo complexos. A representação decimal de um número real pode ser entendida como uma série, por exemplo com a constante pi π {\displaystyle \pi } . As somas indicadas pelos pontos nunca terminam, pois a representação decimal de 1 3 {\displaystyle {\tfrac {1}{3}}} é uma dízima periódica e o número pi é irracional. Existem séries que não podem ser representadas de forma fechada como um número, por exemplo
Números primos e os zeros da função zeta
Como Bernhard Riemann já havia reconhecido em 1859, existe uma forte conexão entre os números primos e os zeros (raízes) de uma determinada função. Esta função recebe o nome de função zeta de Riemann e é anotada com a letra grega zeta (minúscula); isto é, ζ ( x ) {\displaystyle \zeta (x)} . No entanto, usar a variável x {\displaystyle x} no contexto da função zeta é incomum, uma vez que ela não apenas recebe e mapeia números reais, mas também números complexos. Ao longo do tempo, a notação adotada por Riemann, s = σ + i t {\displaystyle s=\sigma +it} , consolidou-se, onde σ {\displaystyle \sigma } (Sigma) é a parte real e t {\displaystyle t} é a parte imaginária de s {\displaystyle s} . O símbolo i {\displaystyle i} , como de costume, denota a unidade imaginária e satisfaz i 2 = − 1 {\displaystyle i^{2}=-1} . Um zero (complexo) ϱ {\displaystyle \varrho } da função zeta satisfaz a equação ζ ( ϱ ) = 0 {\displaystyle \zeta (\varrho )=0} .
Observações finais
Os primeiros zeros não triviais com parte imaginária positiva, listados pelo seu tamanho em ordem crescente, são Devido a ζ ( s ¯ ) = ζ ( s ) ¯ {\displaystyle \zeta ({\overline {s}})={\overline {\zeta (s)}}} , é preciso atentar que os zeros também figuram presentes caso se tome uma parte imaginária negativa. Uma questão também não elucidada é determinar as multiplicidades (ordens) dos zeros não triviais da função zeta. Conjectura-se que todos possuem ordem igual a 1, ou seja, de que se trata de zeros simples. Isso também é equivalente à consideração de que a derivada ζ ′ ( s ) {\displaystyle \zeta '(s)} em si não zera no entorno de cada um desses zeros não triviais ρ {\displaystyle \rho } . Algumas averiguações numéricas dão respaldo para tais afirmações empíricas: em sua completude, nenhum dos zeros achados contrariou a conjectura de estar na configuração de ordem simples.
Números primos e funções da teoria dos números
Inúmeras estimativas para grandezas da teoria dos números podem ser provadas ou melhoradas caso a hipótese de Riemann seja verdadeira. Da hipótese de Riemann segue-se, por exemplo, uma estimativa do termo de resto no Teorema do número primo (Helge von Koch 1901): O mesmo se aplica à função de Tchebychev ψ ( x ) {\displaystyle \psi (x)} . Se a hipótese de Riemann for verdadeira, então vale e vice-versa. A distância mínima dos zeros ϱ {\displaystyle \varrho } à reta Re ( s ) = 1 {\displaystyle \operatorname {Re} (s)=1} controla, além disso, exatamente a qualidade do erro no teorema do número primo. De fato, se $\Theta := \sup_{\varrho} (\operatorname{Re}(\varrho))$, então em geral vale
Criptografia e testes de primalidade
Além de inúmeras aplicações em muitas áreas da matemática, a hipótese de Riemann também é de interesse na criptografia. O sistema criptográfico RSA, por exemplo, utiliza grandes números primos para construir tanto uma chave pública quanto uma privada. A sua segurança baseia-se no fato de que ainda não existe, para computadores convencionais, nenhum algoritmo eficiente para decompor um número em seus fatores primos. A teoria por trás do RSA requer apenas resultados da teoria elementar dos números. Ainda com base na teoria elementar dos números e usando o pequeno teorema de Fermat, Miller desenvolveu em 1976 um teste de primalidade determinístico, que funciona sob a suposição da chamada hipótese generalizada de Riemann. No ano de 1980, Michael O. Rabin utilizou os resultados de Miller para desenvolver um teste probabilístico que funciona de forma independente da hipótese generalizada de Riemann. Através do trabalho de Bach no ano de 1990, esse chamado teste de Miller-Rabin pode ser transformado num teste determinístico que roda com velocidade O ( log ( n ) 4 ) {\displaystyle O(\log(n)^{4})} , sendo mais uma vez pressuposta a hipótese generalizada de Riemann.
Conjectura da correlação de pares de Montgomery
A conjectura da correlação de pares, proposta por Hugh Montgomery, faz uma afirmação sobre a distribuição das distâncias (intervalos) entre zeros não triviais consecutivos. Esta questão só faz sentido se todos os zeros também se situarem em uma mesma reta. Montgomery assume a hipótese de Riemann e com isso prova com L = 1 2 π log ( T ) , T → ∞ {\displaystyle L={\tfrac {1}{2\pi }}\log(T),T\to \infty } e δ ( α , β ) = 1 {\displaystyle \delta (\alpha ,\beta )=1} caso 0 ∈ [ α , β ] {\displaystyle 0\in [\alpha ,\beta ]} e 0 caso contrário. Se isso for verdade, quase todos os zeros da função zeta são simples, podendo-se então substituir 2 3 {\displaystyle {\tfrac {2}{3}}} na proposição superior por 1 {\displaystyle 1} .
Física
Uma questão central da matemática, bem como da física, é a seguinte: Se considerarmos um sistema dentro do qual se fazem as observações existe uma maneira de descrever exatamente como elas estão distribuídas ou ordenadas? Nessas medições poderia tratar-se, matematicamente por exemplo, de números primos, das partes imaginárias positivas dos zeros não triviais da função zeta ou, fisicamente, dos níveis de energia de núcleos atômicos. Se houvesse um entendimento abrangente do sistema subjacente, deveria ser possível determinar as distâncias de forma exata. Na prática, no entanto, tenta-se chegar a conclusões sobre o sistema a partir do conhecimento das distâncias entre os valores t k {\displaystyle t_{k}} .
O trabalho original de Riemann de 1859
No ano de 1859, Bernhard Riemann redigiu, em agradecimento por sua admissão na Academia de Ciências de Berlim, um texto de 9 páginas no total que viria a lançar as bases da moderna teoria analítica dos números. O seu trabalho visava provar e aprofundar a conjectura de Gauss sobre o teorema do número primo. Contudo, como o ensaio foi apresentado de forma extremamente esquemática e muitas das afirmações nele contidas não foram provadas rigorosamente, levou tempo até que os matemáticos aceitassem as alegações ali feitas. Todas as afirmações de Riemann em seu trabalho, com a exceção da hipótese de Riemann (formulada ali em uma oração subordinada) e da sua afirmação sobre a frequência dos zeros na reta crítica (que, contudo, seguiria da hipótese de Riemann), são consideradas provadas.
No século XX
No âmbito do 2.º Congresso Internacional de Matemáticos do ano de 1900 em Paris, David Hilbert proferiu uma palestra no dia 8 de agosto. Nela, ele formulou uma lista de 23 problemas matemáticos que, na sua visão, contavam-se entre os mais importantes do século que se iniciava. Hilbert já pertencia, naquela época, à elite dos matemáticos contemporâneos. O problema n.º 8 era a hipótese de Riemann: Na teoria da distribuição dos números primos, avanços substanciais foram feitos recentemente por Hadamard, De La Vallee-Poussin, V. Mangoldt e outros. Para a solução completa dos problemas que o tratado de Riemann "Sobre o número de primos menores que uma dada grandeza" nos apresentou, contudo, ainda é necessário provar a exatidão da afirmação extremamente importante de Riemann de que os zeros da função ζ ( s ) {\displaystyle \zeta (s)} , que é representada pela série ζ ( s ) = 1 + 1 2 s + 1 3 s + 1 4 s + ⋯ {\displaystyle \textstyle \zeta (s)=1+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+{\frac {1}{4^{s}}}+\cdots } , têm todos a parte real 1 2 {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}} – caso abstraiamos dos conhecidos zeros inteiros negativos. Tão logo essa demonstração seja bem-sucedida, a tarefa subsequente consistiria em examinar mais de perto a série infinita de Riemann para o número de números primos e, em particular, decidir se a diferença entre a quantidade de números primos abaixo de uma grandeza e o logaritmo integral de x {\displaystyle x} de fato não se torna infinito em uma ordem superior a 1 2 {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}} em x {\displaystyle x} , e, além disso, se os termos da fórmula de Riemann que dependem dos primeiros zeros complexos da função ζ ( s ) {\displaystyle \zeta (s)} realmente causam a condensação regional dos números primos que foi observada nas contagens dos números primos.
No século XXI: Declaração como Problema do Milênio
Já no ano de 1998, o Instituto Clay de Matemática (Clay Mathematics Institute - CMI) foi fundado pelo empresário Landon T. Clay e pelo matemático Arthur Jaffe, tendo Jaffe assumido a primeira presidência entre 1998 e 2011. O CMI celebrou o centésimo ano após o discurso de Hilbert no Congresso de Paris em 1900 através de uma conferência de dois dias no Collège de France em maio de 2000. Na ocasião, foi apresentado um fundo de 7 milhões de dólares, dos quais 1 milhão de dólares seria concedido para a solução de cada um de sete grandes problemas matemáticos, os chamados Problemas do Milênio. Os prêmios foram finalmente anunciados em junho, de acordo com o CMI, criados para
Tentativas de prova e refutação por matemáticos notáveis
Devido à sua enorme importância, inúmeros pesquisadores já tentaram provar ou refutar a hipótese de Riemann. O matemático Ken Ono afirma que é "difícil" contabilizar todas as tentativas realizadas, estimando que já existam "centenas" até o momento. Contudo, nenhuma das tentativas de prova resistiu a uma verificação até agora, sendo necessário um "nível de matemática completamente diferente" para uma prova bem-sucedida. Além de vários matemáticos pouco conhecidos e amadores, também houve, ao longo do tempo, investidas de pesquisadores de grande renome, algumas das quais são apresentadas a seguir. No ano de 1885, Thomas Jean Stieltjes realizou uma primeira tentativa de solução. Ele alegou que a série ∑ μ ( n ) n s {\displaystyle \textstyle \sum {\tfrac {\mu (n)}{n^{s}}}} converge para todos os valores reais s > 1 2 {\displaystyle s>{\tfrac {1}{2}}} . Em uma carta a Charles Hermite, ele escreveu:
Resultados parciais
O teorema de Hardy, provado em 1914 por Godfrey Harold Hardy, afirma que infinitos zeros não triviais da função zeta de Riemann encontram-se na reta crítica. Com exceção dos trabalhos numéricos de Jørgen Pedersen Gram e R. J. Backlund, este foi o primeiro resultado concreto sobre os zeros da função zeta de Riemann na reta crítica. Em sua prova, revolucionária para a época, Hardy aproveitou o fato de que, para todos os valores reais t {\displaystyle t} , a expressão assume apenas valores reais. Isso reduziu o problema à verificação da existência de infinitos zeros de uma função de valores reais. A prova, feita por redução ao absurdo, demonstra que Ξ ( t ) {\displaystyle \Xi \left(t\right)} para t → ∞ {\displaystyle t\to \infty } deve mudar de sinal infinitas vezes, o que, de acordo com o Teorema do valor intermediário, já mostra que ζ ( s ) {\displaystyle \zeta (s)} possui infinitos zeros em Re ( s ) = 1 2 {\displaystyle \operatorname {Re} (s)={\tfrac {1}{2}}} . Muito crucial nesse sentido é o fato de que tanto a função exponencial quanto a Função gama não possuem zeros: como elas aparecem como fatores π − 1 4 − i t 2 {\displaystyle \pi ^{-{\frac {1}{4}}-{\frac {it}{2}}}} e Γ ( 1 4 + i t 2 ) {\displaystyle \Gamma ({\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {it}{2}})} em Ξ ( t ) {\displaystyle \Xi (t)} ao lado da própria função zeta, isso precisa ser esclarecido para que, pela lei do anulamento do produto, a existência de um zero na função zeta seja uma obrigatoriedade imposta. No entanto, ambos os fatos já eram conhecidos há muito tempo e podem ser demonstrados usando métodos elementares de análise matemática.
Investigações numéricas
Já em 1903, Jørgen Pedersen Gram publicou valores numéricos aproximados para os primeiros 15 zeros situados na faixa crítica. Em 1936, o matemático Edward Charles Titchmarsh, que atuava em Oxford, calculou, com o auxílio de uma máquina originalmente construída para cálculos astronômicos, os primeiros 1 041 zeros não triviais da função zeta. Em 1953, esses cálculos foram continuados por Alan Turing, cujo método é utilizado até hoje. Foi a primeira vez que um computador foi empregado para esse fim. A partir do início da década de 1980, os computadores tornaram-se cada vez mais potentes. Já em 1979, um grupo de Amsterdã liderado por Herman te Riele e Richard P. Brent havia verificado 200 milhões de zeros (ampliando, pouco depois, o cálculo para 300 milhões) — todos situados sobre a reta crítica. Com isso, contrariavam uma previsão de Don Zagier, que havia afirmado ser "um milagre" caso esses zeros continuassem a estar, sem exceção, sobre a reta crítica. Zagier baseava-se em razões teóricas que, embora corroborassem a posição dos primeiros milhares de zeros sobre a reta, tornavam-se menos robustas — e em última análise até contrárias a isso — para valores crescentes.
A busca por proposições equivalentes à hipótese de Riemann foi e continua sendo objeto de intensa pesquisa. Se uma dessas proposições puder ser provada, a hipótese de Riemann segue-se dela. Inversamente, uma prova da hipótese de Riemann também tem como consequência a validade da proposição equivalente. No entanto, até o momento, nenhuma das direções tomadas levou a novas descobertas sobre a função zeta, e não se sabe se elas podem ser consideradas como um avanço real para a solução do problema.
Aritmética
A hipótese de Riemann não traz consequências apenas para a distribuição dos números primos, mas também para o comportamento dos divisores de números inteiros. Isso se aplica, por exemplo, à função divisor ou seja, a soma de todos os divisores positivos de um número n {\displaystyle n} – assim, tem-se, por exemplo, σ 1 ( 6 ) = 1 + 2 + 3 + 6 = 12 {\displaystyle \sigma _{1}(6)=1+2+3+6=12} . Por exemplo, o critério de Ramanujan-Robin (em homenagem a Srinivasa Ramanujan e Guy Robin) afirma que a hipótese de Riemann é verdadeira se, e somente se, a desigualdade for satisfeita para todo n ≥ 5041 {\displaystyle n\geq 5041} . Aqui, γ = 0,577 21 … {\displaystyle \gamma =0{,}57721\ldots } é a Constante de Euler-Mascheroni, e = 2,718 28 … {\displaystyle e=2{,}71828\ldots } é o Número de Euler e log {\displaystyle \log } é o logaritmo natural. O próprio Robin provou a estimativa mais fraca
Análise matemática
Já em 1916, o matemático Marcel Riesz havia demonstrado que a hipótese de Riemann é equivalente à afirmação para todo ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} . Como se pode provar, a série de potências à esquerda é uma função inteira em x {\displaystyle x} . Os coeficientes da série alternam, e por isso é difícil estimar o comportamento exato de crescimento para valores crescentes de x {\displaystyle x} . Este resultado insere-se numa série de critérios que dizem respeito a funções inteiras. Se f {\displaystyle f} for uma função inteira com então a função correspondente f ∗ {\displaystyle f^{*}} é definida por Como ζ ( n ) ⟶ n → ∞ 1 {\displaystyle \zeta (n){\overset {n\to \infty }{\longrightarrow }}1} , as séries de potências de f ∗ {\displaystyle f^{*}} e f {\displaystyle f} têm o mesmo raio de convergência. Supondo que para − 1 2 < σ < 0 {\displaystyle -{\tfrac {1}{2}}<\sigma <0} valha
Hipótese generalizada de Riemann
A hipótese generalizada de Riemann (em inglês, Generalized Riemann Hypothesis (GRH)) estende a afirmação da hipótese de Riemann para o caso das funções L associadas a caracteres de Dirichlet, ou seja, para as chamadas funções L de Dirichlet. Nesse processo, associa-se inicialmente a um caráter de Dirichlet χ {\displaystyle \chi } (uma função aritmética periódica e estritamente multiplicativa) uma série de Dirichlet com produto de Euler por meio de Novamente, essa representação é válida apenas para valores R e ( s ) > 1 {\displaystyle \mathrm {Re} (s)>1} , e as funções s ↦ L ( s , χ ) {\displaystyle s\mapsto L(s,\chi )} podem ser prolongadas analiticamente para todo o C ∖ { 1 } {\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{1\}} , havendo em s = 1 {\displaystyle s=1} um polo de primeira ordem no caso de um caráter principal (isto é, χ {\displaystyle \chi } assume apenas o valor 1 em todos os pontos diferentes de zero) e, caso contrário, uma singularidade removível. Neste último caso, s ↦ L ( s , χ ) {\displaystyle s\mapsto L(s,\chi )} estende-se até mesmo para uma função inteira. A hipótese generalizada de Riemann afirma, então, que todos os zeros (não triviais) de L ( s , χ ) {\displaystyle L(s,\chi )} na faixa 0 < R e ( s ) < 1 {\displaystyle 0<\mathrm {Re} (s)<1} têm a parte real 1 2 {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}} . A hipótese de Riemann com χ = 1 {\displaystyle \chi =1} decorre como um caso especial da hipótese generalizada de Riemann.
Corpos de números
A Função zeta de Dedekind ζ K ( s ) {\displaystyle \zeta _{K}(s)} de um corpo de números K {\displaystyle K} generaliza a função zeta de Riemann. Neste contexto, ζ K ( s ) {\displaystyle \zeta _{K}(s)} lida com a "fatoração em primos" no anel de inteiros O K {\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}} de K {\displaystyle K} . O anel O K {\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}} é o conjunto de todos os elementos x ∈ K {\displaystyle x\in K} que são solução de uma equação polinomial x n + a n − 1 x n − 1 + ⋯ + a 0 = 0 {\displaystyle x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{0}=0} com coeficientes inteiros a n − 1 , … , a 0 {\displaystyle a_{n-1},\dots ,a_{0}} . Por exemplo, tem-se que O Q = Z {\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {Q} }=\mathbb {Z} } e O Q ( − 5 ) = Z + Z − 5 {\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {Q} ({\sqrt {-5}})}=\mathbb {Z} +\mathbb {Z} {\sqrt {-5}}} . A pergunta se existe em geral uma fatoração única em elementos primos em O K {\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}} tem relevância na teoria dos números, e a resposta para ela em geral é "Não". Assim, embora os números 3 , 7 , 1 ± 2 − 5 {\displaystyle 3,7,1\pm 2{\sqrt {-5}}} sejam todos primos e distintos dois a dois em Z + Z − 5 {\displaystyle \mathbb {Z} +\mathbb {Z} {\sqrt {-5}}} , ainda assim vale que
Grande hipótese de Riemann
No escopo da Grand Riemann Hypothesis (em português: "Grande hipótese de Riemann"), a hipótese de Riemann é estendida para uma classe muito ampla das chamadas funções L. Isso se aplica a funções L que estão associadas a representações automórficas. O caso mais simples aqui são as representações de dimensão 1, ou seja, as funções L de Dirichlet, razão pela qual a Grande hipótese de Riemann engloba a hipótese generalizada de Riemann. O caso da dimensão 2 refere-se a funções L relativas a formas modulares, onde o caso das formas parabólicas (cusp forms) é particularmente interessante. Um exemplo é e Δ {\displaystyle \Delta } denota o discriminante, uma forma parabólica de peso 12, e τ {\displaystyle \tau } a função tau de Ramanujan. De maneira bastante geral, a função L associada a uma representação só pode ser compreendida com os conceitos da matemática superior. Começa-se com o Anel de adeles A {\displaystyle \mathbb {A} } dos números racionais e considera-se uma representação cuspidal automórfica de G L m ( A ) {\displaystyle \mathrm {GL} _{m}(\mathbb {A} )} (onde GL denota o grupo linear geral). Esta é, então, equivalente a ⊗ v π v {\displaystyle \otimes _{v}\pi _{v}} com v = ∞ {\displaystyle v=\infty } ( Q ∞ = R {\displaystyle \mathbb {Q} _{\infty }=\mathbb {R} } ) ou v = p {\displaystyle v=p} , onde π v {\displaystyle \pi _{v}} é uma representação unitária irredutível de G L m ( Q v ) {\displaystyle \mathrm {GL} _{m}(\mathbb {Q} _{v})} e p {\displaystyle p} é um número primo. Para cada número primo p {\displaystyle p} , pode-se formar um fator local
Variedades sobre corpos finitos
Enquanto o caso dos corpos globais permanece, em geral, em aberto, progressos significativos foram alcançados no século XX na teoria dos corpos locais, dos corpos de funções e dos corpos finitos. De forma semelhante a como a função zeta de Dedekind codifica em si os dados aritméticos de um corpo de números (global), podem ser atribuídas funções zeta a variedades (isto é, soluções de equações polinomiais) sobre corpos finitos. Os casos mais simples aqui são as curvas, que são construídas a partir das soluções de uma única equação em duas variáveis, como y 2 + y = x 3 − x 2 {\displaystyle y^{2}+y=x^{3}-x^{2}} . Nesse caso, as soluções ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} são consideradas dentro do espaço de coordenadas k 2 {\displaystyle k^{2}} , onde k {\displaystyle k} é um corpo finito. A função zeta associada a uma curva C {\displaystyle C} sobre k {\displaystyle k} com | k | = q {\displaystyle |k|=q} , sendo q {\displaystyle q} uma potência de um número primo, pode ser definida da seguinte maneira:
Nos círculos especializados
Na opinião de muitos matemáticos de renome, a hipótese de Riemann, juntamente com suas generalizações para as funções L, é o problema em aberto mais importante da matemática pura na atualidade. O alemão ganhador da Medalha Fields, Gerd Faltings, chama o problema de "realmente importante" e o considera aquele com "o maior prestígio" na atualidade. Em relação ao papel de Riemann, ele aponta que ele "não o supôs de fato", mas apenas "perguntou se era assim". Peter Borwein, Stephen Choi, Brendan Rooney e Andrea Weirathmueller referem-se à hipótese de Riemann como o "Santo Graal" entre os problemas matemáticos. A solução de um problema desse tipo seria sempre como a primeira escalada do Monte Everest, embora muitos "grandes problemas" fossem mais parecidos com "picos isolados", como, por exemplo, o próprio Problema de Fermat. No entanto, com a hipótese de Riemann, isso seria "diferente", pois uma série de problemas não resolvidos se seguiriam a partir dela.
Cinema e televisão
No episódio Prime Suspect (Temporada 1, Episódio 5) da série Numb3rs – A Lógica do Crime, a filha Emily (Emma Prescott) do matemático Ethan Burdick (Neil Patrick Harris) é sequestrada; ele afirma ter provado a hipótese de Riemann. Ethan Burdick, no entanto, teme "roubo e sabotagem" de seu trabalho por um rival.
Na literatura
Harold Davenport relatou que Godfrey Harold Hardy e John Edensor Littlewood quase romperam relações porque Hardy havia escrito uma história de detetive na qual um matemático tinha provado a hipótese de Riemann, mas depois foi assassinado por um segundo matemático, pois este queria reivindicar a prova para si. Littlewood não estava chateado principalmente pelo fato de publicar muito com Hardy e de um coautor da prova fictícia não ter sido mencionado, mas sim porque o assassino tinha certa semelhança com ele. Ele insistiu para que Hardy nunca publicasse o manuscrito, e este finalmente cedeu. No Romance A Hipótese de Riemann (2006, Roten av minus én, tradução literal: Raiz quadrada de menos um) do escritor norueguês Atle Næss, é feita uma referência parcial ao problema matemático.
