Função gama
Em matemática, a função gama (representada pela letra maiúscula grega ) é uma extensão da função factorial para o conjunto dos números reais e complexos, com o argumento subtraído em 1. Se n é um inteiro positivo define-se da seguinte forma: ou
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A função gama pode ser vista como solução do seguinte problema de interpolação: "Encontrar uma curva suave que conecta os pontos (x , y) dados por y = (x − 1)! em que x é um inteiro positivo." Esboçando em um gráfico os primeiros números fatoriais fica claro que a curva pode ser desenhada, mas seria preferível ter um expressão analítica que descreve precisamente a curva, na qual o número de operações não dependa do tamanho de x. A simples fórmula recursiva para o fatorial x! = x × ... × 2 × 1, não pode ser usada para obter valores fracionários, pois é válida apenas quando x é um número natural. No entanto, foi demonstrado por Euler que não há uma expressão analítica convencional para fatorial, no sentido que não pode ser a combinação finita (com um número finito de termos) de somas, potências, produtos, funções exponenciais e logaritmos, demonstrado em seu artigo intitulado "Sobre progressões transcendentais, nas quais o termo geral não pode ser expresso algebricamente", ("De progressionibus transcendentibus seu quarum termini generales algebraice dari nequeunt"). A função gama é uma solução que não só resolve este problema, mas também possuí distinguíveis propriedades entre as candidatas, como é mostrado no Teorema de Bohr-Mollerup.
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É fácil perceber, através da regra da cadeia e de recursos da integração imprópria, que Usando o método da substituição, de modo que r = s t , d r = t d s {\displaystyle r=st,dr=tds} , (t>0 e fixo), obtém-se: Derivando-se em relação a t {\displaystyle t} e aplicando a fórmula de Leibniz: Derivando sucessivas vezes em relação a t {\displaystyle t} : Dessa forma, tem-se uma função fatorial definida para quaisquer valores reais positivos x {\displaystyle x} , de modo que: Contudo, consagrou-se o uso de uma definição levemente destoante, a Função Gama de Euler, tal que Com isso, acabamos de provar que a função gama funciona como uma representação do Fatorial, quando é aplicada em números inteiros, isso permite a idealização de afirmarmos que quando calculamos a função gama para outros números em seu domínio (Números fracionários ou irracionais) estamos obtendo o "fatorial" desses números. Um exemplo disso, é a seguinte relação, da qual omitiremos a demonstração:
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Propriedade Fundamental
A propriedade mais importante da função gama é dada por Que pode ser obtida pela integração por partes da definição da função gama O lado esquerdo do resultado é igual a zero. A integral do lado direito do resultado é a própria definição da função gama. Para números inteiros, a recursividade da propriedade cai na definição do fatorial. Esta propriedade é válida também para números no domínio dos complexos. Além delas, existe a importante propriedade abaixo encontrada por Hamilton Brito de forma independente, com a {\displaystyle a} e b {\displaystyle b} ∈ N {\displaystyle \in \mathbb {N} } sendo a ≥ 2 {\displaystyle a\geq 2} e b ≥ 1 {\displaystyle b\geq 1} :
Representação em produto
A função gama pode ser escrita por um produto de Hadamard: Γ ( z ) = e − γ z z ∏ n = 1 ∞ ( 1 + z n ) − 1 e z n {\displaystyle \Gamma (z)={\frac {e^{-\gamma z}}{z}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{-1}e^{\frac {z}{n}}}
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A integral que define a função gama converge para todo Assim um intervalo de definição da função é: A segunda integral converge muito rápido pelo fator e − t {\displaystyle e^{-t}} que tende a zero quando t {\displaystyle t} tende a infinito, neutralizando qualquer crescimento que o termo t x − 1 {\displaystyle t^{x-1}} apresente. Na primeira integral para 0 < t < 1 {\displaystyle 0<t<1} a função e − t {\displaystyle e^{-t}} fica controlada. Logo a convergência dessa integral vai depender apenas do termo t x − 1 {\displaystyle t^{x-1}} . Para x < 0 {\displaystyle x<0} temos que x − 1 < − 1 {\displaystyle x-1<-1} , então: Pela propriedade fundamental, pode-se estender o domínio da função gama em intervalos que contém números negativos. Define-se então que Para números no intervalo z ∈ (-1, 0), como z < 0, vê-se que Continuando com o mesmo processo, o domínio da função gama passa a ser Um resultado de interesse em algumas aplicações calculado pela Função é Γ ( 1 2 ) = π {\displaystyle \Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }}}
