Função afim
Uma função afim, também conhecida como função polinomial de grau 1 ou função polinomial de primeiro grau é uma função do tipo cujo gráfico é uma reta não perpendicular ao eixo Tal função também pode ser entendida como uma transformação linear seguida por uma translação.
Uma função f : R → R {\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} } chama-se função afim quando existe dois números reais a {\displaystyle a} e b {\displaystyle b} tal que f ( x ) = a x + b {\displaystyle f(x)=ax+b} e a ≠ 0 , {\displaystyle a\neq 0,} para todo x ∈ R . {\displaystyle x\in \mathbb {R} .}
Coeficientes
Para facilitar a análise dessas funções, dizemos que o coeficiente "a" da função é o coeficiente angular ou declividade da reta. Esse coeficiente determina a tangente do ângulo da inclinação da reta que representa a função, no sentido anti-horário em relação do eixo das abcissas. O coeficiente "b" determina o deslocamento da reta em relação à origem, por isso ele é conhecido como coeficiente linear da reta.
Uma função linear é um caso particular da função afim onde a ≠ 0 {\displaystyle a\neq 0} e b = 0 , {\displaystyle b=0,} sendo, portanto, expressa como: f ( x ) = a x . {\displaystyle f(x)=ax.} Veja na figura ao lado um exemplo de gráfico de função linear. Um caso específico da função linear é a função identidade, onde a = 1. {\displaystyle a=1.} Logo a função identidade é expressa como: Observe na figura ao lado um exemplo de gráfico de função identidade.
Função linear e proporcionalidade
Uma das principais aplicações da função linear é a relação de proporção existente entre os elementos do domínio e da imagem, pois observamos que conforme variam os elementos do domínio, suas respectivas imagens variam na mesma proporção, sendo essa proporção o coeficiente angular da função, nesse caso chamado de taxa de variação. Assim, seja a função linear f ( x ) = a x , {\displaystyle f(x)=ax,} vemos que o conjunto dos pontos que representa a reta dessa função são os pontos do tipo ( x , a x ) , {\displaystyle (x,ax),} onde a {\displaystyle a} é a razão entre y {\displaystyle y} e x . {\displaystyle x.} Essa relação será diretamente proporcional se a função for crescente e inversamente proporcional se a função for decrescente.
Uma função afim pode ser crescente, decrescente, dependendo do valor do coeficiente angular. Uma função pode ainda ser constante, se a=0 e aí ela terá grau 0.
Crescente
Uma função afim é crescente quando seu coeficiente angular for positivo, ou seja, a > 0. {\displaystyle a>0.} Por definição, dizemos que uma função f : A → B {\displaystyle f:A\rightarrow {B}} definida por y = f ( x ) {\displaystyle y=f(x)} é crescente no conjunto A 1 ⊂ A {\displaystyle A_{1}\subset {A}} se, para dois valores quaisquer x 1 {\displaystyle x_{1}} e x 2 {\displaystyle x_{2}} pertencentes a A 1 , {\displaystyle A_{1},} com x 1 < x 2 , {\displaystyle x_{1}<x_{2},} tivermos f ( x 1 ) < f ( x 2 ) . {\displaystyle f(x_{1})<f(x_{2}).} Sintetizando: f {\displaystyle f} é crescente quanto: ( ∀ x 1 , x 2 ) ( x 1 < x 2 ⇒ f ( x 1 ) < f ( x 2 ) ) {\displaystyle (\forall {x_{1}},x_{2})(x_{1}<x_{2}\Rightarrow {f(x_{1})<f(x_{2})})}
Decrescente
Uma função afim é decrescente quando seu coeficiente angular for negativo,ou seja, a < 0. {\displaystyle a<0.} De forma similar à função crescente, uma função é decrescente se obedecer à seguinte restrição: ( ∀ x 1 , x 2 ) ( x 1 < x 2 ⇒ f ( x 1 ) > f ( x 2 ) ) {\displaystyle (\forall {x_{1}},x_{2})(x_{1}<x_{2}\Rightarrow {f(x_{1})>f(x_{2})})} ( ∀ x 1 < x 2 ) ( x 1 ≠ x 2 ⇒ f ( x 1 ) − f ( x 2 ) x 1 − x 2 < 0 ) {\displaystyle (\forall {x_{1}}<x_{2})(x_{1}\neq {x_{2}}\Rightarrow {\frac {f(x_{1})-f(x_{2})}{x_{1}-x_{2}}}<0)} Então, dada a função afim f ( x ) = a x + b , {\displaystyle f(x)=ax+b,} dizemos que f ( x ) {\displaystyle f(x)} é decrescente quando:
Constante
Uma função é constante (neste caso dizemos que ela não é afim) quando seu coeficiente angular for nulo, ou seja a = 0. {\displaystyle a=0.} Nesse caso a equação que define a função é dada por f ( x ) = b {\displaystyle f(x)=b} e seu gráfico é uma reta paralela ao eixo O x {\displaystyle Ox} .
O zero de uma função afim (ou raízes da função) é o valor de x {\displaystyle x} para o qual a função é igual a zero. Geometricamente o zero de uma função afim é o ponto de corte no eixo das abcissas. Para definir este ponto basta resolver a equação a x + b = 0 : {\displaystyle ax+b=0:} a x + b = 0 ⇒ x = − b a . {\displaystyle ax+b=0\Rightarrow {x=-{\frac {b}{a}}}.} Logo o ponto de corte no eixo das abcissas é ( − b a , 0 ) . {\displaystyle \left(-{\frac {b}{a}},0\right).} Qualquer função afim intersecta o eixo das ordenadas (eixo o y {\displaystyle oy} ), também denominado ordenada na origem. Para definir esse ponto de interseção basta calcular f ( 0 ) : {\displaystyle f(0):} f ( 0 ) = a .0 + b = b . {\displaystyle f(0)=a.0+b=b.} Logo o ponto de corte no eixo y é ( 0 , b ) . {\displaystyle (0,b).}
As funções afins possuem diversas aplicações, em situações que apresentam crescimento ou decrescimento linear.
Relação com a progressão aritmética
Uma progressão aritmética é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual à soma do termo anterior com uma constante. Logo, por ter essa característica, vemos que o crescimento de uma P.A é linear e pode, portanto, ser representado por uma função afim. Para chegar até a função afim de uma P.A. partiremos da fórmula do termo geral, que é: a n = a 1 + ( n − 1 ) . r . {\displaystyle a_{n}=a_{1}+(n-1).r.} Como buscamos conhecer um termo em função da sua posição em uma P.A., podemos reescrever a fórmula como: a ( n ) = a 1 + ( n − 1 ) . r {\displaystyle a(n)=a_{1}+(n-1).r} Temos, aplicando a propriedade distributiva e organizando os termos:
Relação com o movimento retilíneo uniforme
Situações que envolvem movimento em linha reta e com velocidade fixa podem ser estudadas utilizando funções afins. Para isso é preciso analisar a posição do objeto que se movimenta em função do tempo. A física define a velocidade de um objeto como a razão entre a variação da distância pela variação do tempo, como observamos na fórmula abaixo: v = Δ s Δ t = s f − s i t f − t i {\displaystyle v={\frac {\Delta s}{\Delta t}}={\frac {s_{f}-s_{i}}{t_{f}-t_{i}}}} , s f {\displaystyle s_{f}} é a distância final; s i {\displaystyle s_{i}} é a distância inicial; t f {\displaystyle t_{f}} a distância final e s i {\displaystyle s_{i}} a distância inicial.
