Distância
A distância é uma medida numérica ou ocasionalmente qualitativa da distância entre objetos, pontos, pessoas ou ideias. Na física ou no uso cotidiano, a distância pode se referir a um comprimento físico ou a uma estimativa baseada em outros critérios. O termo também é frequentemente usado metaforicamente para significar uma medida da quantidade de diferença entre dois objetos semelhantes ou um grau de separação. A maioria dessas noções de distância, tanto físicas quanto metafóricas, são formalizadas na matemática usando a noção de um espaço métrico.
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A ideia de distância entre dois pontos é formalizada e generalizada pela matemática através do conceito de métrica. Um espaço onde há uma distância ou métrica definida é chamado de espaço métrico. Mais precisamente, se S {\displaystyle \mathbb {S} } é um conjunto, uma métrica em S {\displaystyle \mathbb {S} } é função d : S × S → R {\displaystyle d:\mathbb {S} \times \mathbb {S} \to \mathbb {R} } que associa dois elementos de um conjunto a um número real e deve obedecer aos seguintes axiomas:
A métrica e o universo em que vivemos
A métrica é a regra que define como calcular a separação entre dois eventos. No espaço euclidiano, espaço diretamente associado à mecânica clássica e ao qual estamos acostumados no dia-a-dia, a distância entre dois pontos pode ser calculada, uma vez considerada a métrica deste espaço, através da expressão: δ d = δ x 2 + δ y 2 + δ z 2 {\displaystyle \delta d={\sqrt {\delta x^{2}+\delta y^{2}+\delta z^{2}}}} , Nesta expressão, amplamente conhecida entre os alunos com ensino médio, não figura a grandeza tempo, e a distância espacial mostra-se completamente independente da distância temporal entre os dois pontos (eventos) considerados, que no dia-a-dia traduz-se por:
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Seja ( S , d ) {\displaystyle \left(\mathbb {S} ,d\right)} um espaço métrico, define-se a distância entre dois subconjuntos A {\displaystyle A\,} e B {\displaystyle B\,} não-vazios de S {\displaystyle S\,} como o ínfimo das distâncias entre um ponto do conjunto A {\displaystyle A\,} e um ponto do conjunto B {\displaystyle B\,} :
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Para cálculo da distância entre dois pontos, temos por referencial um triângulo retângulo. O valor da distância entre os pontos é igual ao comprimento da hipotenusa. Sendo a a hipotenusa e b e c os catetos, temos, pelo teorema de Pitágoras, a² = b² + c². Transportando essa ideia para a distância entre os dois pontos A ( x a , y a ) {\displaystyle A(x_{a},y_{a})} e B ( x b , y b ) {\displaystyle B(x_{b},y_{b})} , temos: d A B 2 = ( x b − x a ) 2 + ( y b − y a ) 2 {\displaystyle \left.d_{AB}\right.^{2}=\left(x_{b}-x_{a}\right)^{2}+\left(y_{b}-y_{a}\right)^{2}} Obs: Como a diferença entre as coordenadas é elevada ao quadrado, a ordem dos pontos na fórmula não altera o resultado. Matematicamente, ( x b − x a ) 2 = ( x a − x b ) 2 {\displaystyle \left(x_{b}-x_{a}\right)^{2}=\left(x_{a}-x_{b}\right)^{2}} ( y b − y a ) 2 = ( y a − y b ) 2 {\displaystyle \left(y_{b}-y_{a}\right)^{2}=\left(y_{a}-y_{b}\right)^{2}}
