Transformada de Legendre
A transformada de Legendre consiste em uma transformação matemática que, quando aplicada sobre uma função sabidamente diferenciável em relação às suas variáveis independentes , fornece como resultado uma nova equação na qual as derivadas parciais associadas, e não as variáveis em si, figuram como variáveis independentes. A nova equação consiste na "mesma" equação inicial, mas agora "em uma forma reescrita", . A Transformada de Legendre realiza-se sempre de forma que nunca se perca qualquer informação presente na equação original, devendo as mesmas informações estarem sempre contidas na nova equação.
Imagem: Lauro Chieza de Carvalho · BY-SA · Openverse
A Transformada de Legendre encontra enorme aplicação em uma área da Física conhecida por Termodinâmica, área que tem por objetivo o estudo dos sistemas constituídos por "infinitos" entes físicos, moléculas em uma amostra confinada de gás, a exemplo.
Equação fundamental e Equação de estado
Em termodinâmica, cada sistema em estudo é descrito por uma equação matemática conhecida por equação fundamental, uma equação que retém em si todas as informações físicas associadas a este sistema. O conceito de equação fundamental reside no fato de, uma vez estabelecida a fronteira do sistema - o seu volume -, o número de entes que o compõem - o seu conteúdo material -, e a energia interna do sistema - o seu conteúdo em energia -, as condições deste sistema no equilíbrio termodinâmico encontram-se por estas grandezas (e algumas outras em sistemas mais complexos, como os magnéticos) então completamente determinadas, sendo obviamente calculáveis a partir destas.
Representações no Formalismo da Energia
A Transformada de Legendre cumpre exatamente o papel na termodinâmica de permitir que se escreva a equação fundamental de um sistema em função das grandezas intensivas (e/ou extensivas) associadas, e não apenas em função das correspondentes extensivas. Em acordo com a grandeza extensiva "transformada" para a intensiva a ela conjugada, dentro do formalismo da energia, a exemplo, surgem várias representações possíveis para a equação fundamental, a saber: Em função da entropia S ser sempre uma função monótona crescente da energia interna U, a equação fundamental fundamental U = U ( S , V , N ) {\displaystyle U=U_{(S,V,N)}} pode sempre ser "facilmente" reescrita, mediante troca de variáveis, para fornecer a equação, também fundamental, S = S ( U , V , N ) {\displaystyle S=S_{(U,V,N)}} , o que, de forma similar ao feito para o formalismo da energia, dá origem ao que se conhece por formalismo termodinâmico da entropia (ou entrópico), igualmente aplicável ao estudo dos sistemas termodinâmicos e capaz de fornecer os mesmos resultados e informações antes obtidos no formalismo da energia. Transformadas de Legendre podem ser igualmente aplicadas à equação fundamental S = S ( U , V , N ) {\displaystyle S=S_{(U,V,N)}} em acordo com o caso em estudo, fornecendo equações fundamentais que nem sempre recebem nomes especiais, sendo estas genericamente conhecidas por funções de Massieu. No formalismo da energia, a energia interna U ( S , V , N ) {\displaystyle U_{(S,V,N)}} e suas transformadas são geralmente conhecidas por potenciais termodinâmicos.
Descrição
Para a compreensão da transformação de Legendre ir-se-á considerar aqui a interpretação geométrica da Transformada de Legendre, e por comodidade mas sem perda de generalidade, considerar-se-á também uma função Y ( X ) {\displaystyle Y_{(X)}} dependente de apenas uma variável independente, X. Sendo P = ∂ Y ( X ) ∂ x = d Y ( X ) d x {\displaystyle P={\frac {\partial {Y_{(X)}}}{\partial x}}={\frac {d{Y_{(X)}}}{dx}}} no presente caso, à primeira vista pode parecer que para se obter uma função Y ( P ) {\displaystyle Y_{(P)}} onde P e não X desempenha o papel de variável independente bastaria eliminar-se X em Y ( X ) {\displaystyle Y_{(X)}} mediante a relação estabelecida entre P e X por P = d Y ( X ) d x {\displaystyle P={\frac {d{Y_{(X)}}}{dx}}} . Um reflexão um pouco mais aguçada, entretanto, mostrará que neste processo perde-se informação associada à curva inicial visto que, uma vez conhecido Y ( P ) {\displaystyle Y_{(P)}} , não se pode inverter o processo de forma a se obter novamente de forma unívoca a função inicial Y ( X ) {\displaystyle Y_{(X)}} . Na transformação proposta a informação relativa à inclinação associada a um dado ponto da curva inicial Y ( X ) {\displaystyle Y_{(X)}} é preservada para cada ponto da curva, mas a informação sobre qual é exatamente este ponto X, ou seja, a informação de onde a reta tangente em X corta o eixo Y, não. Assim, apesar de ser possível se reconstruir o "formato" da curva inicial Y ( X ) {\displaystyle Y_{(X)}} partindo-se de Y ( P ) {\displaystyle Y_{(P)}} , a determinação da distância exata desta curva ao eixo coordenado Y no gráfico não será possível, podendo a curva que se obtém da reconstrução transladar livremente na horizontal; a informação da posição correta desta se perde na transformação inicial, conforme proposta.
Ao rigor da Matemática
Em matemática, a Transformada de Legendre, em homenagem a Adrien-Marie Legendre, é uma operação que transforma uma função real de variáveis reais em outra. A transformada de Legendre de uma função ƒ é a função ƒ∗ definida por: Se ƒ é diferenciável, então ƒ∗(p) pode ser interpretado como o negativo do intercepto em Y gerado por uma reta de inclinação particular p quando esta encontre-se tangente ao gráfico de ƒ. Em particular, para o valor de x associado ao máximo anterior tem-se a propriedade: Isto é, a derivada da função ƒ torna-se o argumento da função ƒ∗. Em particular, se ƒ é convexa (ou côncava para cima), então ƒ∗ satisfaz a definição de um funcional.
Exemplos
A exemplo, aplicar-se-á a transformada de Legendre à função Y ( X ) = X 2 {\displaystyle Y_{(X)}=X^{2}} Tem-se, seguindo-se os passos da tabela anterior: P = ∂ Y ( X ) ∂ X = 2 X {\displaystyle P={\frac {\partial Y_{(X)}}{\partial X}}=2X} Logo, para a linha 3: X = p 2 {\displaystyle X={\frac {p}{2}}} e Y = X 2 = ( p 2 ) 2 {\displaystyle Y=X^{2}=\left({\frac {p}{2}}\right)^{2}} Da linha 4: Ψ = − P X + Y {\displaystyle \Psi =-PX+Y} Ψ = − P ( P 2 ) + ( P 2 ) 2 {\displaystyle \Psi =-P\left({\frac {P}{2}}\right)+\left({\frac {P}{2}}\right)^{2}} Ψ = − P 2 4 {\displaystyle \Psi ={\frac {-P^{2}}{4}}} Assim, a Transformada de Legendre para Y ( X ) = X 2 {\displaystyle Y_{(X)}=X^{2}} é Ψ ( P ) = − P 2 4 {\displaystyle \Psi _{(P)}={\frac {-P^{2}}{4}}}
Termodinâmica: tabelas de transformadas
No contexto da termodinâmica, dentre todas as possíveis transformadas de Legendre, as seguintes são particularmente muito frequêntes e importantes:
Lagrangianas e Hamiltonianos
No contexto da mecânica clássica o princípio de Lagrange garante que uma função particular, a Lagrangiana do sistema, caracteriza-o completamente no que se refira à sua dinâmica. A Lagrangiana é uma função de 2r variáveis, r coordenadas generalizadas e r velocidades generalizadas, e desempenha em mecânica, de forma similar ao de S ( U , V , N ) {\displaystyle S_{(U,V,N)}} na termodinâmica, o papel de equação fundamental para a dinâmica: L = L ( v 1 , v 2 , . . . , v r , q 1 , q 2 , . . . , q r ) {\displaystyle L=L_{(v_{1},v_{2},...,v_{r},q_{1},q_{2},...,q_{r})}} Sendo uma equação fundamental, aplicando-se o formalismo da mecânica Lagrangiana pode-se então chegar às equações diferenciais e posteriormente às equações horárias que descrevem toda a dinâmica do sistema em questão.
