Estimador

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Um "estimador " ou "ponto estimado" é uma estatística (isto é, uma função dos dados) que é utilizado para inferir o valor de um parâmetro desconhecido em um modelo estatístico. O parâmetro a ser estimado por vezes é chamado estimando.[carece de fontes?] Ele pode ser de dimensão finita (no paramétrico e modelo semi-paramétrico), ou de dimensão infinita (não semi-paramétrico e modelo não paramétrico).[carece de fontes?] Se o parâmetro é denotado θ então o estimador é normalmente escrito pela adição de um circunflexo sobre o símbolo: θ ^ {\displaystyle \scriptstyle {\hat {\theta }}} . Sendo uma função dos dados, o estimador é uma variável aleatória, uma realização particular desta variável aleatória é chamada "estimativa". Às vezes, as palavras "estimador" e "estimativa" são usados ​​alternadamente. A definição coloca, praticamente sem restrições, sobre quais funções dos dados podem ser chamadas de " estimadores ". A atratividade de diferentes estimadores pode ser julgada ao olhar para as suas propriedades, tais como viés, erro quadrático médio, consistência, distribuição assintótica, etc.. A construção e comparação de estimadores são os temas da teoria da estimação. No contexto da teoria da decisão, um estimador é um tipo de regra de decisão, e seu desempenho pode ser avaliado através do uso de funções de perda.

Suponhamos que exista um parâmetro θ {\displaystyle \theta \ } fixo que tem de ser estimado. Em seguida, um "estimador" é uma função que mapeia o espaço amostral de um conjunto de estimativas de amostra. Um estimador de θ {\displaystyle \theta \ } geralmente é representado pelo símbolo θ ^ {\displaystyle {\widehat {\theta }}} . Muitas vezes, é conveniente expressar a teoria utilizando álgebra de variáveis ​​aleatórias: assim, se X é utilizado para denotar uma variável aleatória correspondente aos dados observados, o estimador (se tratado como uma variável aleatória) é simbolizado como uma função da variável aleatória, θ ^ ( X ) {\displaystyle {\widehat {\theta }}(X)} . A estima para um conjunto de dados observados em particular (isto é, para X = x) é então θ ^ ( x ) {\displaystyle {\widehat {\theta }}(x)} , que é um valor fixado. Muitas vezes, uma notação abreviada é usada no qual θ ^ {\displaystyle {\widehat {\theta }}} é interpretado diretamente como uma variável aleatória, mas isso pode causar confusão.

As seguintes definições e atributos aplicam-se: Para uma amostra de dado x {\displaystyle x\ } , o "erro" do estimador θ ^ {\displaystyle {\widehat {\theta }}} é definido como onde θ {\displaystyle \theta \ } é o parâmetro que está sendo estimado. Note que o erro, e, depende não somente do estimador (a fórmula da estimação ou procedimento), mas também sobre a amostra. O erro quadrático médio de θ ^ {\displaystyle {\widehat {\theta }}} é definido como o valor esperado (média ponderada de probabilidade, sobre todas as amostras) dos erros ao quadrado, isto é, Ele é usado para indicar o quão distante, em média, o conjunto de estimativas está do único parâmetro a ser estimado. Considere a seguinte analogia. Suponha que o parâmetro é o centro de um alvo, o estimador é o processo de atirar flechas no alvo, e as flechas individuais são estimativas (amostras). Então, a alta EQM, significa que a distância média das flechas do centro do alvo é alta e baixo EQM significa que a distância média do centro do alvo é baixa. As flechas podem ou não ser agrupadas. Por exemplo, mesmo se todas as flechas baterem no mesmo ponto, mesmo errando grosseiramente o alvo, o EQM ainda é relativamente grande. Observe, contudo, que se o EQM é relativamente baixo, então as flechas estão provavelmente mais altamente agrupadas (do que altamente dispersas).

Uma sequência consistente de estimadores é uma sequência de estimadores que convergem em probabilidade para a quantidade que está sendo estimada como o índice (normalmente o tamanho da amostra) cresce sem limites. Em outras palavras, aumentar o tamanho da amostra aumenta a probabilidade do estimador de estar próximo do parâmetro de população. Matematicamente, uma sequência de estimadores { tn , n ≥ 0} é um estimador consistente para o parâmetro θ se e somente se , para todo ϵ > 0, não importa quão pequena, temos A consistência definida acima pode ser chamada de consistência fraca. A sequência é fortemente consistente, se converge quase certamente para o valor verdadeiro. Um estimador que converge para um múltiplo de um parâmetro pode ser feito dentro de estimador consistente através da multiplicação do estimador de fator de escala, isto é, o valor verdadeiro, dividido pelo valor assintótico do estimador. Isso ocorre com frequência na estimativa de parâmetros de escala de medidas de dispersão estatística.