Consistência
Na lógica clássica dedutiva, uma teoria é chamada de consistente se não contém contradição. A ausência de contradição pode ser definida tanto em termos sintáticos como em termos semânticos. A definição semântica diz que uma teoria é consistente, se e somente se, tem um modelo, i.e. existe uma interpretação sob as quais todas as fórmulas são verdadeiras. Essa é a compreensão usada na lógica aristotélica, embora na lógica matemática contemporânea o termo usado é satisfatível. A definição sintática diz que uma teoria é consistente, se e somente se, não existe nenhuma fórmula P, tal que tanto P como sua negação são demonstráveis a partir dos axiomas da teoria do sistema dedutivo, as quais estão associados.
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Em teorias da aritmética, como a aritmética de Peano, existe uma complexa relação entre a consistência e a completude de uma teoria. Uma teoria é completa se, para toda fórmula φ em um idioma, pelo menos um φ ou ¬ φ é uma consequência lógica dessa teoria. A Aritmética de Presburger é um sistema axiomático para os números naturais sob a adição. Ela é tanto consistente, como completa. Os teoremas da incompletude de Gödel mostram que qualquer teoria efetiva suficientemente forte da aritmética não pode ser completa e consistente ao mesmo tempo. O teorema de Gödel se aplica às teorias da Aritmética de Peano (PA) e à Aritmética primitiva recursiva (PRA), mas não para a aritmética de Presburger. Além disso, o segundo teorema da incompletude de Gödel mostra que a consistência de uma teoria suficientemente eficaz da aritmética pode ser testada de uma maneira particular. Tal teoria é consistente se e somente se ele não prova uma sentença particular, chamada de sentença de Gödel da teoria, que é uma afirmação sustentada no fato de que uma teoria é de fato consistente. Assim a consistência de uma suficientemente forte, efetiva, consistente teoria da aritmética não pode nunca ser provada nesse sistema por si só. O mesmo resultado de teorias efetivas pode se descrever um fragmento suficientemente forte de aritmética – incluindo um conjunto de teorias como os axiomas de Zermelo-Fraenkel(ZF). Esses axiomas não podem provar as suas próprias sentenças de Gödel – fornecendo que elas são consistentes, que é o que se acredita.
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Notação
⊢ (símbolo de catraca) no contexto da lógica matemática, significa “dedutível de”. Ou seja, a ⊢ b é lido como: b é dedutível de a (em algum sistema formal) – veja Lista de símbolos lógicos. Em outros casos, o símbolo de catraca pode ter o significado de inferir; derivável de. Veja Tabela de símbolos matemáticos.
Definição
Um conjunto de fórmulas Φ {\displaystyle \Phi } na lógica de primeira ordem é consistente (escrito como Con Φ {\displaystyle \Phi } ) se e somente se não existe nenhuma fórmula ϕ {\displaystyle \phi } tal que Φ ⊢ ϕ {\displaystyle \Phi \vdash \phi } e Φ ⊢ ¬ ϕ {\displaystyle \Phi \vdash \lnot \phi } . Caso contrário Φ {\displaystyle \Phi } é inconsistente e é escrito com Inc Φ {\displaystyle \Phi } . Φ {\displaystyle \Phi } é dito ser simplesmente consistente se e somente se para nenhuma fórmula ϕ {\displaystyle \phi } de Φ {\displaystyle \Phi } , ambas ϕ {\displaystyle \phi } e a negação de ϕ {\displaystyle \phi } são teoremas de Φ {\displaystyle \Phi } .
Teorema de Henkin
Deixe Φ {\displaystyle \Phi } ser um conjunto de S {\displaystyle S} -fórmulas maximamente consistente contendo testemunhas. Defina uma relação binária ∼ {\displaystyle \sim } no conjunto de S {\displaystyle S} -termos tal que t 0 ∼ t 1 {\displaystyle t_{0}\sim t_{1}} se e somente se t 0 ≡ t 1 ∈ Φ {\displaystyle \;t_{0}\equiv t_{1}\in \Phi } ; e deixe t ¯ {\displaystyle {\overline {t}}\!} denotar a classe de equivalência dos termos que contem t {\displaystyle t\!} ; e deixe T Φ := { t ¯ | t ∈ T S } {\displaystyle T_{\Phi }:=\{\;{\overline {t}}\;|\;t\in T^{S}\}} , onde T S {\displaystyle T^{S}\!} é o conjunto de termos no conjunto de símbolos S {\displaystyle S\!} .
Esboço da prova
Existem diversas coisas para serem verificadas. Primeiro, que ∼ {\displaystyle \sim } é uma relação de equivalência. Depois, é preciso verificar que (1), (2) e (3) são bem definidas. Isso decorre do fato que ∼ {\displaystyle \sim } é uma relação de equivalência e também é necessário uma prova que (1) e (2) são escolhas independentes dos representantes da classe de equivalência de t 0 , … , t n − 1 {\displaystyle t_{0},\ldots ,t_{n-1}} . Finalmente, I Φ ⊨ Φ {\displaystyle {\mathfrak {I}}_{\Phi }\vDash \Phi } pode ser verificado por indução nas fórmulas.
