Convergência de variáveis aleatórias
Em teoria das probabilidades, existem várias noções diferentes de convergência de variáveis aleatórias. A convergência de sequências de variáveis aleatórias a alguma variável aleatória limite é um importante conceito em teoria das probabilidades e tem aplicações na estatística e nos processos estocásticos. Os mesmos conceitos são conhecidos em matemática geral como convergência estocástica e formalizam a ideia de que é possível esperar que uma sequência de eventos essencialmente aleatórios ou imprevisíveis às vezes mantenha um comportamento essencialmente imutável quando itens suficientemente distantes na sequência são estudados. As possíveis noções diferentes de convergência se relacionam a como tal comportamento pode ser caracterizado: dois comportamentos prontamente entendidos são que a sequência eventualmente assume um valor constante e que os valores na sequência continuam mudando, mas podem ser descritos por uma distribuição de probabilidade imutável.
A expressão "convergência estocástica" formaliza a ideia de que é possível esperar que uma sequência de eventos essencialmente aleatórios ou imprevisíveis siga eventualmente um padrão. Este padrão pode ser, por exemplo, Alguns padrões teóricos, menos óbvios, podem ser: Estes outros tipos de padrões que podem surgir estão refletidos em diferentes tipos de convergência estocástica que têm sido estudados. Enquanto a discussão acima diz respeito à convergência de uma única série a um valor limitante, a noção de convergência de duas séries uma em direção a outra também é importante. No entanto, é fácil lidar com isto estudando a sequência definida como a diferença ou como a razão das duas séries. Por exemplo, se a média de n {\displaystyle n} variáveis aleatórias independentes Y i {\displaystyle Y_{i}} , i = 1 , . . . , n {\displaystyle i=1,...,n} , todas tendo média e variância iguais e finitas, é dada por
Conforme a fábrica é melhorada, os dados se tornam cada vez menos viesados e os valores observados ao jogar um dado recentemente produzido seguirão cada vez mais proximamente a distribuição uniforme. Conforme n fica maior, a distribuição começará a ficar cada vez mais parecida com a distribuição normal. Se mudarmos e reescalonarmos Xn apropriadamente, então Z n = n σ ( X n − μ ) {\displaystyle \scriptstyle Z_{n}={\frac {\sqrt {n}}{\sigma }}(X_{n}-\mu )} estará convergindo em distribuição à normal padrão, o resultado que se segue do conhecido teorema central do limite. Com este modo de convergência, nós esperamos ver o próximo valor observado em uma sequência de experimentos aleatórios cada vez mais bem modelado por uma dada distribuição de probabilidade. A convergência em distribuição é a forma mais fraca de convergência, já que é implicada por todos os outros tipos de convergência mencionados nesta página. Entretanto, a convergência em distribuição é usada com muita regularidade na prática. Mais frequentemente, ela surge da aplicação do teorema central do limite.
Definição
Uma sequência X1, X2, ... de variáveis aleatórias de valores reais converge em distribuição, converge fracamente ou converge em lei a uma variável aleatória X {\displaystyle X} se para todo número x ∈ R no qual F {\displaystyle F} é contínua. Aqui, Fn e F são as funções distribuição acumulada das variáveis aleatórias Xn e X respectivamente. A exigência de que apenas os pontos de continuidade de F sejam considerados é essencial. Por exemplo, se Xn for distribuída uniformemente nos intervalos, (0, 1/n), então, esta sequência converge em distribuição a uma variável aleatória degenerada X = 0. De fato, Fn(x) = 0 para todo n {\displaystyle n} quando x ≤ 0 e Fn(x) = 1 para todo x ≥ 1/n quando n > 0. Entretanto, para esta variável aleatória limitante, F(0) = 1, ainda que Fn(0) = 0 para todo n {\displaystyle n} . Assim, a convergência das funções distribuição acumulada falha no ponto x = 0 {\displaystyle x=0} , em que F {\displaystyle F} é descontínua.
Entretanto, note que Xn não converge quase certamente. Não importa quão profissional o arqueiro se torne, haverá sempre uma pequena probabilidade de cometer um erro. Assim, a sequência { X n } {\displaystyle \{X_{n}\}} nunca ficará estacionária. Haverá sempre pontuações não perfeitas, ainda que se tornem cada vez menos frequentes. A ideia básica por trás deste tipo de convergência é que a probabilidade de um valor observado "incomum" se torna cada vez menor conforme a sequência progride. O conceito de convergência em probabilidade é usado muito frequentemente em estatística. Por exemplo, um estimador é considerado consistente se convergir em probabilidade à quantidade sendo estimada. A convergência em probabilidade é também o tipo de convergência estabelecido pela lei fraca dos grandes números.
Definição
Uma sequência { X n } {\displaystyle \{X_{n}\}} de variáveis aleatórias converge em probabilidade em direção à variável aleatória X {\displaystyle X} se para todo ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} Formalmente, considere qualquer ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} e qualquer δ > 0 {\displaystyle \delta >0} . Considere P n {\displaystyle P_{n}} a probabilidade de que X n {\displaystyle X_{n}} esteja fora de um intervalo de confiança de raio ε {\displaystyle \varepsilon } e em torno de X {\displaystyle X} . Então, para que X n {\displaystyle X_{n}} convirja em probabilidade a X {\displaystyle X} , deve existir um número N {\displaystyle N} (que dependerá de ε {\displaystyle \varepsilon } e δ {\displaystyle \delta } ) tal que, para todo n ≥ N {\displaystyle n\geq N} , P n < δ {\displaystyle P_{n}<\delta } .
Considere X 1 , X 2 , . . . {\displaystyle X_{1},X_{2},...} as quantidades diárias que a caridade recebe dele. Podemos ficar quase certos de que um dia esta quantidade será zero e permanecerá zero para sempre a partir de então. Entretanto, se considerarmos qualquer número finito de dias, há uma probabilidade não nula de que ele não pare de doar à caridade. Este é o tipo de convergência estocástica mais semelhante à convergência pontual conhecida a partir da análise real elementar.
Definição
Dizer que a sequência Xn converge quase certamente, quase em todo lugar, com probabilidade 1 ou fortemente em direção a X {\displaystyle X} significa que Isto significa que os valores de Xn se aproximam do valor de X {\displaystyle X} no sentido de que os eventos para os quais Xn não converge a X {\displaystyle X} têm probabilidade zero. Usando o espaço de probabilidade ( Ω , F , Pr ) {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {Pr} )} e o conceito da variável aleatória como uma função de Ω {\displaystyle \Omega } a R, isto equivale à afirmação Usando a noção do limite inferior de uma sequência de conjuntos, a convergência quase certa pode ser definida como:
Dizer que a sequência de variáveis aleatórias X n {\displaystyle X_{n}} definida ao longo do mesmo espaço de probabilidade (isto é, um processo aleatório) converge certamente, em todo lugar ou pontualmente a X {\displaystyle X} significa que em que Ω {\displaystyle \Omega } é o espaço amostral do espaço de probabilidade subjacente sobre o qual as variáveis aleatórias são definidas. Esta é a noção de convergência pontual de uma sequência de funções estendida a uma sequência de variáveis aleatórias, lembrando que as variáveis aleatórias são elas mesmas funções. A convergência certa de uma variável aleatória implica todos os outros tipos de convergência descritos acima. A diferença entre a convergência quase certa e a convergência certa está nos conjuntos com probabilidade zero. Por isso, o conceito de convergência certa de variáveis aleatórias é muito raramente usado.
Dado um número real r ≥ 1, dizemos que a sequência Xn converge na r {\displaystyle r} -ésima média ou na norma Lr à variável aleatória X {\displaystyle X} se os r {\displaystyle r} -ésimos momentos absolutos E ( | X n | r ) {\displaystyle \mathrm {E} (|X_{n}|^{r})} e E ( | X | r ) {\displaystyle \mathrm {E} (|X|^{r})} de X n {\displaystyle X_{n}} e X {\displaystyle X} existem e em que o operador E {\displaystyle \mathrm {E} } denota o valor esperado. A convergência na r {\displaystyle r} -ésima média nos diz que o valor esperado da r {\displaystyle r} -ésima potência da diferença entre X n {\displaystyle X_{n}} e X {\displaystyle X} converge a zero. Este tipo de convergência é frequentemente denotado colocando-se Lr sobre uma seta indicando convergência: Os casos mais importantes de convergência na r {\displaystyle r} -ésima média são: A convergência na na r {\displaystyle r} -ésima média, para r ≥ 1 {\displaystyle r\geq 1} , implica convergência em probabilidade pela desigualdade de Markov. Além disso, se r > s ≥ 1 {\displaystyle r>s\geq 1} , a convergência na r {\displaystyle r} -ésima média implica convergência na s {\displaystyle s} -ésima média. Assim, a convergência em média quadrática implica a convergência em média.
Se o espaço de probabilidade for completo: A cadeia de implicações entre as várias noções de convergências estão notadas em suas respectivas seções. Elas são, usando notação de setas: Estas propriedades, unidas a uma série de outros casos especiais, estão resumidas na lista abaixo:
