Equações de Navier-Stokes
As equações de Navier-Stokes expressam matematicamente o balanço de momento para fluidos newtonianos e fazem uso da conservação de massa. Às vezes, elas são acompanhadas por uma equação de estado relacionando pressão, temperatura e densidade. Elas surgem da aplicação da segunda lei de Newton ao movimento dos fluidos, juntamente com a premissa de que a tensão no fluido é a soma de um termo viscoso difusivo e um termo de pressão — descrevendo, assim, o escoamento viscoso. As equações de Navier-Stokes generalizam as equações de Euler, na medida em que o modelo destas últimas considera apenas o escoamento invíscido.
A solução das equações é uma velocidade do escoamento. Trata-se de um campo vetorial — para cada ponto em um fluido, em qualquer momento em um intervalo de tempo, ele fornece um vetor cuja direção e magnitude são aquelas da velocidade do fluido naquele ponto no espaço e naquele instante de tempo. É estudado em três dimensões espaciais e uma dimensão temporal, e análogos de dimensões superiores são estudados tanto na matemática pura quanto na aplicada. Uma vez calculado o campo de velocidade, outras quantidades de interesse, como a pressão ou a temperatura, podem ser encontradas utilizando equações e relações dinâmicas. Isso é diferente do que normalmente se vê na mecânica clássica, onde as soluções são tipicamente trajetórias da posição de uma partícula ou deflexão de um contínuo. Estudar a velocidade em vez da posição faz mais sentido para um fluido, embora para propósitos de visualização seja possível computar várias trajetórias. Em particular, as linhas de corrente de um campo vetorial, interpretadas como velocidade de escoamento, são os caminhos ao longo dos quais uma partícula de fluido sem massa viajaria. Esses caminhos são as curvas integrais cuja derivada em cada ponto é igual ao campo vetorial, e elas podem representar visualmente o comportamento do campo vetorial em um determinado momento.
A equação do momento de Navier-Stokes pode ser derivada como uma forma particular da equação do momento de Cauchy, cuja forma convectiva geral é: D u D t = 1 ρ ∇ ⋅ σ + a . {\displaystyle {\frac {\mathrm {D} \mathbf {u} }{\mathrm {D} t}}={\frac {1}{\rho }}\nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma }}+\mathbf {a} .} Ao definir o tensor de tensão de Cauchy σ {\textstyle {\boldsymbol {\sigma }}} como sendo a soma de um termo de viscosidade τ {\textstyle {\boldsymbol {\tau }}} (a tensão desviadora) e um termo de pressão − p I {\textstyle -p\mathbf {I} } (tensão volumétrica), chegamos a: ρ D u D t = − ∇ p + ∇ ⋅ τ + ρ a {\displaystyle \rho {\frac {\mathrm {D} \mathbf {u} }{\mathrm {D} t}}=-\nabla p+\nabla \cdot {\boldsymbol {\tau }}+\rho \,\mathbf {a} } Nesta forma, é aparente que na premissa de um fluido invíscido — sem tensão desviadora — as equações de Cauchy se reduzem às equações de Euler. Assumindo a conservação da massa, com as propriedades conhecidas de divergência e gradiente, podemos usar a equação da continuidade de massa, que representa a massa por unidade de volume de um fluido homogêneo em relação ao espaço e ao tempo (isto é, a derivada material D D t {\displaystyle {\frac {\mathbf {D} }{\mathbf {Dt} }}} ) de qualquer volume finito (V) para representar a mudança de velocidade em meios fluidos: D m D t = ∭ V ( D ρ D t + ρ ( ∇ ⋅ u ) ) d V D ρ D t + ρ ( ∇ ⋅ u ) = ∂ ρ ∂ t + ( ∇ ρ ) ⋅ u + ρ ( ∇ ⋅ u ) = ∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ ( ρ u ) = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\mathbf {D} m}{\mathbf {Dt} }}=\iiint \limits _{V}\left({\frac {\mathbf {D} \rho }{\mathbf {Dt} }}+\rho (\nabla \cdot \mathbf {u} )\right)\,dV\\[5pt]&{\frac {\mathbf {D} \rho }{\mathbf {Dt} }}+\rho (\nabla \cdot \mathbf {u} )={\frac {\partial \rho }{\partial t}}+(\nabla \rho )\cdot \mathbf {u} +\rho (\nabla \cdot \mathbf {u} )={\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} )=0\end{aligned}}} onde
Aceleração convectiva
Uma característica significativa da equação de Cauchy e, consequentemente, de todas as outras equações do contínuo (incluindo Euler e Navier-Stokes) é a presença da aceleração convectiva: o efeito da aceleração de um escoamento em relação ao espaço. Embora partículas de fluido individuais de fato experimentem aceleração dependente do tempo, a aceleração convectiva do campo de escoamento é um efeito espacial, sendo um exemplo a aceleração do fluido em um bocal.
Observação: aqui, o tensor de tensão desviadora é denotado por τ {\textstyle {\boldsymbol {\tau }}} assim como estava nas equações gerais do contínuo e na seção de escoamento incompressível. A equação de momento de Navier-Stokes compressível resulta das seguintes premissas sobre o tensor de tensão de Cauchy: σ ( ε ) = − p I + λ tr ( ε ) I + 2 μ ε {\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}({\boldsymbol {\varepsilon }})=-p\mathbf {I} +\lambda \operatorname {tr} ({\boldsymbol {\varepsilon }})\mathbf {I} +2\mu {\boldsymbol {\varepsilon }}} onde I {\textstyle \mathbf {I} } é o tensor identidade, e tr ( ε ) {\textstyle \operatorname {tr} ({\boldsymbol {\varepsilon }})} é o traço do tensor taxa de deformação. Assim, essa decomposição pode ser explicitamente definida como: σ = − p I + λ ( ∇ ⋅ u ) I + μ ( ∇ u + ( ∇ u ) T ) . {\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=-p\mathbf {I} +\lambda (\nabla \cdot \mathbf {u} )\mathbf {I} +\mu \left(\nabla \mathbf {u} +(\nabla \mathbf {u} )^{\mathrm {T} }\right).}
A equação de momento de Navier-Stokes incompressível resulta das seguintes premissas sobre o tensor de tensão de Cauchy: onde ε = 1 2 ( ∇ u + ∇ u T ) {\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}={\tfrac {1}{2}}\left(\mathbf {\nabla u} +\mathbf {\nabla u} ^{\mathrm {T} }\right)} é o tensor taxa de deformação. Assim, essa decomposição pode ser explicitada como: Esta equação constitutiva também é chamada de lei da viscosidade de Newton. A viscosidade dinâmica μ não precisa ser constante – em escoamentos incompressíveis ela pode depender da densidade e da pressão. Qualquer equação que torne explícito um desses coeficientes de transporte nas variáveis conservativas é chamada de equação de estado. A divergência da tensão desviadora no caso de viscosidade uniforme é dada por: ∇ ⋅ τ = 2 μ ∇ ⋅ ε = μ ∇ ⋅ ( ∇ u + ∇ u T ) = μ ∇ 2 u {\displaystyle \nabla \cdot {\boldsymbol {\tau }}=2\mu \nabla \cdot {\boldsymbol {\varepsilon }}=\mu \nabla \cdot \left(\nabla \mathbf {u} +\nabla \mathbf {u} ^{\mathrm {T} }\right)=\mu \,\nabla ^{2}\mathbf {u} } porque ∇ ⋅ u = 0 {\textstyle \nabla \cdot \mathbf {u} =0} para um fluido incompressível.
Forma fraca das equações incompressíveis de Navier-Stokes
Considere as equações de Navier-Stokes incompressíveis para um fluido newtoniano de densidade constante ρ {\textstyle \rho } num domínio Ω ⊂ R d ( d = 2 , 3 ) {\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{d}\quad (d=2,3)} com contorno ∂ Ω = Γ D ∪ Γ N , {\displaystyle \partial \Omega =\Gamma _{D}\cup \Gamma _{N},} sendo Γ D {\textstyle \Gamma _{D}} e Γ N {\textstyle \Gamma _{N}} porções do contorno onde, respectivamente, aplica-se uma condição de contorno de Dirichlet e uma condição de contorno de Neumann ( Γ D ∩ Γ N = ∅ {\textstyle \Gamma _{D}\cap \Gamma _{N}=\emptyset } ): { ρ ∂ u ∂ t + ρ ( u ⋅ ∇ ) u − ∇ ⋅ σ ( u , p ) = f em Ω × ( 0 , T ) ∇ ⋅ u = 0 em Ω × ( 0 , T ) u = g sobre Γ D × ( 0 , T ) σ ( u , p ) n ^ = h sobre Γ N × ( 0 , T ) u ( 0 ) = u 0 em Ω × { 0 } {\displaystyle {\begin{cases}\rho {\dfrac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+\rho (\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} -\nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma }}(\mathbf {u} ,p)=\mathbf {f} &{\text{ em }}\Omega \times (0,T)\\\nabla \cdot \mathbf {u} =0&{\text{ em }}\Omega \times (0,T)\\\mathbf {u} =\mathbf {g} &{\text{ sobre }}\Gamma _{D}\times (0,T)\\{\boldsymbol {\sigma }}(\mathbf {u} ,p){\hat {\mathbf {n} }}=\mathbf {h} &{\text{ sobre }}\Gamma _{N}\times (0,T)\\\mathbf {u} (0)=\mathbf {u} _{0}&{\text{ em }}\Omega \times \{0\}\end{cases}}} u {\textstyle \mathbf {u} } é a velocidade do fluido, p {\textstyle p} é a pressão do fluido, f {\textstyle \mathbf {f} } é um termo de força dada, n ^ {\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}} é o vetor unitário normal apontando para fora para Γ N {\textstyle \Gamma _{N}} , e σ ( u , p ) {\textstyle {\boldsymbol {\sigma }}(\mathbf {u} ,p)} é o tensor de tensão viscosa definido como: σ ( u , p ) = − p I + 2 μ ε ( u ) . {\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}(\mathbf {u} ,p)=-p\mathbf {I} +2\mu {\boldsymbol {\varepsilon }}(\mathbf {u} ).} Seja μ {\textstyle \mu } a viscosidade dinâmica do fluido, I {\textstyle \mathbf {I} } o tensor identidade de segunda ordem e ε ( u ) {\textstyle {\boldsymbol {\varepsilon }}(\mathbf {u} )} o tensor taxa de deformação definido como: ε ( u ) = 1 2 ( ( ∇ u ) + ( ∇ u ) T ) . {\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}(\mathbf {u} )={\frac {1}{2}}\left(\left(\nabla \mathbf {u} \right)+\left(\nabla \mathbf {u} \right)^{\mathrm {T} }\right).} As funções g {\textstyle \mathbf {g} } e h {\textstyle \mathbf {h} } são dados de contorno de Dirichlet e Neumann prescritos, enquanto u 0 {\textstyle \mathbf {u} _{0}} é a condição inicial. A primeira equação é a equação do balanço de momento, enquanto a segunda representa a conservação da massa, isto é, a equação da continuidade. Assumindo uma viscosidade dinâmica constante, usando a identidade vetorial ∇ ⋅ ( ∇ f ) T = ∇ ( ∇ ⋅ f ) {\displaystyle \nabla \cdot \left(\nabla \mathbf {f} \right)^{\mathrm {T} }=\nabla (\nabla \cdot \mathbf {f} )} e explorando a conservação de massa, a divergência do tensor total de tensões na equação do momento também pode ser expressa como: ∇ ⋅ σ ( u , p ) = ∇ ⋅ ( − p I + 2 μ ε ( u ) ) = − ∇ p + 2 μ ∇ ⋅ ε ( u ) = − ∇ p + 2 μ ∇ ⋅ [ 1 2 ( ( ∇ u ) + ( ∇ u ) T ) ] = − ∇ p + μ ( Δ u + ∇ ⋅ ( ∇ u ) T ) = − ∇ p + μ ( Δ u + ∇ ( ∇ ⋅ u ) ⏟ = 0 ) = − ∇ p + μ Δ u . {\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma }}(\mathbf {u} ,p)&=\nabla \cdot \left(-p\mathbf {I} +2\mu {\boldsymbol {\varepsilon }}(\mathbf {u} )\right)\\&=-\nabla p+2\mu \nabla \cdot {\boldsymbol {\varepsilon }}(\mathbf {u} )\\&=-\nabla p+2\mu \nabla \cdot \left[{\tfrac {1}{2}}\left(\left(\nabla \mathbf {u} \right)+\left(\nabla \mathbf {u} \right)^{\mathrm {T} }\right)\right]\\&=-\nabla p+\mu \left(\Delta \mathbf {u} +\nabla \cdot \left(\nabla \mathbf {u} \right)^{\mathrm {T} }\right)\\&=-\nabla p+\mu {\bigl (}\Delta \mathbf {u} +\nabla \underbrace {(\nabla \cdot \mathbf {u} )} _{=0}{\bigr )}=-\nabla p+\mu \,\Delta \mathbf {u} .\end{aligned}}} Além disso, note que as condições de contorno de Neumann podem ser rearranjadas como: σ ( u , p ) n ^ = ( − p I + 2 μ ε ( u ) ) n ^ = − p n ^ + μ ∂ u ∂ n ^ . {\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}(\mathbf {u} ,p){\hat {\mathbf {n} }}=\left(-p\mathbf {I} +2\mu {\boldsymbol {\varepsilon }}(\mathbf {u} )\right){\hat {\mathbf {n} }}=-p{\hat {\mathbf {n} }}+\mu {\frac {\partial {\boldsymbol {u}}}{\partial {\hat {\mathbf {n} }}}}.}
Velocidade discreta
Com o particionamento do domínio do problema e a definição de funções de base no domínio particionado, a forma discreta da equação governante é ( w i , ∂ u j ∂ t ) = − ( w i , ( u ⋅ ∇ ) u j ) − ν ( ∇ w i : ∇ u j ) + ( w i , f S ) . {\displaystyle \left(\mathbf {w} _{i},{\frac {\partial \mathbf {u} _{j}}{\partial t}}\right)=-{\bigl (}\mathbf {w} _{i},\left(\mathbf {u} \cdot \nabla \right)\mathbf {u} _{j}{\bigr )}-\nu \left(\nabla \mathbf {w} _{i}:\nabla \mathbf {u} _{j}\right)+\left(\mathbf {w} _{i},\mathbf {f} ^{S}\right).} É recomendável escolher funções de base que reflitam a característica essencial do escoamento incompressível – os elementos devem ser livres de divergência. Embora a velocidade seja a variável de interesse, a existência da função de corrente ou potencial vetor é necessária pelo teorema de Helmholtz. Além disso, para determinar o escoamento de fluido na ausência de um gradiente de pressão, pode-se especificar a diferença dos valores da função de corrente através de um canal 2D, ou a integral de linha da componente tangencial do potencial vetor ao redor do canal em 3D, sendo o escoamento dado pelo teorema de Stokes. A discussão se restringirá a 2D a seguir.
Recuperação de pressão
A recuperação da pressão a partir do campo de velocidade é fácil. A equação fraca discreta para o gradiente de pressão é, ( g i , ∇ p ) = − ( g i , ( u ⋅ ∇ ) u j ) − ν ( ∇ g i : ∇ u j ) + ( g i , f I ) {\displaystyle (\mathbf {g} _{i},\nabla p)=-\left(\mathbf {g} _{i},\left(\mathbf {u} \cdot \nabla \right)\mathbf {u} _{j}\right)-\nu \left(\nabla \mathbf {g} _{i}:\nabla \mathbf {u} _{j}\right)+\left(\mathbf {g} _{i},\mathbf {f} ^{I}\right)} onde as funções de teste/peso são irrotacionais. Pode-se utilizar qualquer elemento finito escalar conforme. No entanto, o campo do gradiente de pressão também pode ser de interesse. Neste caso, pode-se usar elementos de Hermite escalares para a pressão. Para as funções de teste/peso g i {\textstyle \mathbf {g} _{i}} , optaríamos por elementos vetoriais irrotacionais obtidos a partir do gradiente do elemento de pressão.
O referencial rotativo introduz algumas pseudo-forças interessantes nas equações por meio do termo da derivada material. Considere um referencial inercial estacionário K {\textstyle K} , e um referencial não inercial K ′ {\textstyle K'} , o qual translada com velocidade U ( t ) {\textstyle \mathbf {U} (t)} e rotaciona com velocidade angular Ω ( t ) {\textstyle \Omega (t)} em relação ao referencial estacionário. A equação de Navier-Stokes observada do referencial não inercial então se torna ρ ( ∂ u ∂ t + ( u ⋅ ∇ ) u ) = − ∇ p + ∇ ⋅ { μ [ ∇ u + ( ∇ u ) T − 2 3 ( ∇ ⋅ u ) I ] } + ∇ [ ζ ( ∇ ⋅ u ) ] + ρ f − ρ [ 2 Ω × u + Ω × ( Ω × x ) + d U d t + d Ω d t × x ] . {\displaystyle \rho \left({\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} \right)=-\nabla p+\nabla \cdot \left\{\mu \left[\nabla \mathbf {u} +(\nabla \mathbf {u} )^{\mathrm {T} }-{\tfrac {2}{3}}(\nabla \cdot \mathbf {u} )\mathbf {I} \right]\right\}+\nabla [\zeta (\nabla \cdot \mathbf {u} )]+\rho \mathbf {f} -\rho \left[2\mathbf {\Omega } \times \mathbf {u} +\mathbf {\Omega } \times (\mathbf {\Omega } \times \mathbf {x} )+{\frac {\mathrm {d} \mathbf {U} }{\mathrm {d} t}}+{\frac {\mathrm {d} \mathbf {\Omega } }{\mathrm {d} t}}\times \mathbf {x} \right].}
As equações de Navier-Stokes consistem, rigorosamente, numa formulação do balanço do momento. A fim de descrever o escoamento de fluidos de maneira completa, são necessárias mais informações; a quantidade de informações dependerá das suposições feitas. Esta informação adicional pode englobar dados de contorno (não escorregamento, superfície capilar, etc.), conservação da massa, balanço de energia e/ou uma equação de estado.
Equação de continuidade para fluido incompressível
Sem importar as premissas de escoamento, é em geral necessário estabelecer uma condição de conservação da massa. Consegue-se isto mediante a equação de continuidade da massa, conforme foi discutido antes no presente artigo (ver em "Equações gerais do contínuo"), da seguinte maneira: D m D t = ∭ V ( D ρ D t + ρ ( ∇ ⋅ u ) ) d V D ρ D t + ρ ( ∇ ⋅ u ) = ∂ ρ ∂ t + ( ∇ ρ ) ⋅ u + ρ ( ∇ ⋅ u ) = ∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ ( ρ u ) = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathbf {D} m}{\mathbf {Dt} }}&={\iiint \limits _{V}}({{\frac {\mathbf {D} \rho }{\mathbf {Dt} }}+\rho (\nabla \cdot \mathbf {u} )})dV\\{\frac {\mathbf {D} \rho }{\mathbf {Dt} }}+\rho (\nabla \cdot {\mathbf {u} })&={\frac {\partial \rho }{\partial t}}+({\nabla \rho })\cdot {\mathbf {u} }+{\rho }(\nabla \cdot \mathbf {u} )={\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot ({\rho \mathbf {u} })=0\end{aligned}}} Um meio fluido em que a densidade ( ρ {\displaystyle \rho } ) é constante recebe o nome de incompressível. Diante disso, a taxa de alteração da densidade ( ρ {\displaystyle \rho } ) a respeito do tempo ( ∂ ρ ∂ t ) {\displaystyle ({\frac {\partial \rho }{\partial t}})} e o gradiente de densidade ( ∇ ρ ) {\displaystyle (\nabla \rho )} igualam-se a zero ( 0 ) {\displaystyle (0)} . Nesta hipótese a equação geral de continuidade, ∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ ( ρ u ) = 0 {\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot ({\rho \mathbf {u} })=0} , simplifica-se para: ρ ( ∇ ⋅ u ) = 0 {\displaystyle \rho (\nabla {\cdot }{\mathbf {u} })=0} . Além do mais, por se supor que a densidade ( ρ {\displaystyle \rho } ) é uma constante que não é igual a zero ( ρ ≠ 0 ) {\displaystyle (\rho \neq 0)} , implica que o lado direito da equação ( 0 ) {\displaystyle (0)} é divisível pela densidade ( ρ {\displaystyle \rho } ). Assim, a equação de continuidade de um fluido incompressível reduz-se ainda mais até chegar a: ( ∇ ⋅ u ) = 0 {\displaystyle (\nabla {\cdot {\mathbf {u} }})=0} Esta expressão, ( ∇ ⋅ u ) = 0 {\textstyle (\nabla {\cdot {\mathbf {u} }})=0} , estabelece que a divergência do vetor da velocidade de escoamento ( u {\displaystyle \mathbf {u} } ) iguala a zero ( 0 ) {\displaystyle (0)} , querendo dizer que num fluido incompressível o campo vetorial do escoamento se trata de um campo vetorial solenoidal ou um campo vetorial livre de divergência. Vale frisar que há a possibilidade de ampliação desta relação, haja vista a sua singularidade no âmbito do operador laplaciano vetorial ( ∇ 2 u = ∇ ( ∇ ⋅ u ) − ∇ × ( ∇ × u ) ) {\displaystyle (\nabla ^{2}\mathbf {u} =\nabla (\nabla \cdot \mathbf {u} )-\nabla \times (\nabla \times \mathbf {u} ))} , e a vorticidade ( ω → = ∇ × u ) {\displaystyle ({\vec {\omega }}=\nabla \times \mathbf {u} )} que se manifesta presentemente assim, em um fluido incompressível: ∇ 2 u = − ( ∇ × ( ∇ × u ) ) = − ( ∇ × ω → ) {\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {u} =-(\nabla \times (\nabla \times \mathbf {u} ))=-(\nabla \times {\vec {\omega }})}
Tomar o rotacional da equação de Navier-Stokes incompressível resulta na eliminação da pressão. Isso é especialmente fácil de ver se um escoamento cartesiano 2D for assumido (como no caso 3D degenerado com u z = 0 {\displaystyle u_{z}=0} e sem dependência de nada em relação a z), onde as equações se reduzem a: ρ ( ∂ u x ∂ t + u x ∂ u x ∂ x + u y ∂ u x ∂ y ) = − ∂ p ∂ x + μ ( ∂ 2 u x ∂ x 2 + ∂ 2 u x ∂ y 2 ) + ρ g x ρ ( ∂ u y ∂ t + u x ∂ u y ∂ x + u y ∂ u y ∂ y ) = − ∂ p ∂ y + μ ( ∂ 2 u y ∂ x 2 + ∂ 2 u y ∂ y 2 ) + ρ g y . {\displaystyle {\begin{aligned}\rho \left({\frac {\partial u_{x}}{\partial t}}+u_{x}{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}+u_{y}{\frac {\partial u_{x}}{\partial y}}\right)&=-{\frac {\partial p}{\partial x}}+\mu \left({\frac {\partial ^{2}u_{x}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u_{x}}{\partial y^{2}}}\right)+\rho g_{x}\\\rho \left({\frac {\partial u_{y}}{\partial t}}+u_{x}{\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}+u_{y}{\frac {\partial u_{y}}{\partial y}}\right)&=-{\frac {\partial p}{\partial y}}+\mu \left({\frac {\partial ^{2}u_{y}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u_{y}}{\partial y^{2}}}\right)+\rho g_{y}.\end{aligned}}}
Não linearidade
As equações de Navier-Stokes são equações diferenciais parciais não lineares no caso geral e assim permanecem em quase todas as situações reais. Em alguns casos, como no escoamento unidimensional e no escoamento de Stokes (ou escoamento rastejante), as equações podem ser simplificadas para equações lineares. A não linearidade torna a maioria dos problemas difíceis ou impossíveis de resolver e é a principal contribuinte para a turbulência que as equações modelam. A não linearidade deve-se à aceleração convectiva, que é uma aceleração associada à mudança na velocidade ao longo da posição. Portanto, qualquer escoamento convectivo, seja turbulento ou não, envolverá não linearidade. Um exemplo de escoamento convectivo, mas laminar (não turbulento), seria a passagem de um fluido viscoso (por exemplo, óleo) através de um pequeno bocal convergente. Tais escoamentos, sejam exatamente resolvíveis ou não, podem frequentemente ser exaustivamente estudados e compreendidos.
Turbulência
A turbulência é o comportamento caótico dependente do tempo visto em muitos escoamentos de fluidos. Acredita-se geralmente que isso se deva à inércia do fluido como um todo: a culminação da aceleração dependente do tempo e convectiva; portanto, escoamentos onde os efeitos inerciais são pequenos tendem a ser laminares (o número de Reynolds quantifica o quanto o escoamento é afetado pela inércia). Acredita-se, embora não se saiba com certeza, que as equações de Navier-Stokes descrevam a turbulência adequadamente. A solução numérica das equações de Navier-Stokes para o escoamento turbulento é extremamente difícil, e devido às escalas de comprimento de mistura significativamente diferentes que estão envolvidas no escoamento turbulento, a solução estável disso requer uma resolução de malha tão fina que o tempo computacional se torna significativamente inviável para o cálculo ou para a simulação numérica direta. Tentativas de resolver o escoamento turbulento usando um solucionador laminar normalmente resultam em uma solução instável no tempo, que falha em convergir adequadamente. Para contornar isso, equações com médias de tempo, como as Equações de Navier-Stokes com médias de Reynolds (RANS), suplementadas com modelos de turbulência, são usadas em aplicações práticas de dinâmica dos fluidos computacional (CFD) ao modelar escoamentos turbulentos. Alguns modelos incluem os modelos de Spalart-Allmaras, k–ω, k–ε e SST (Menter's Shear Stress Transport), que adicionam uma variedade de equações adicionais para trazer fechamento às equações RANS. A simulação de grandes turbilhões (LES) também pode ser usada para resolver essas equações numericamente. Essa abordagem é computacionalmente mais cara — em tempo e em memória de computador — do que RANS, mas produz resultados melhores porque resolve explicitamente as escalas turbulentas maiores.
Aplicabilidade
Juntamente com equações suplementares (por exemplo, conservação da massa) e condições de contorno bem formuladas, as equações de Navier-Stokes parecem modelar o movimento do fluido com precisão; mesmo escoamentos turbulentos parecem (em média) concordar com observações do mundo real. As equações de Navier-Stokes assumem que o fluido sendo estudado é um contínuo (é infinitamente divisível e não é composto de partículas como átomos ou moléculas), e não está se movendo a velocidades relativísticas. Em escalas muito pequenas ou sob condições extremas, fluidos reais feitos de moléculas discretas produzirão resultados diferentes dos fluidos contínuos modelados pelas equações de Navier-Stokes. Por exemplo, a capilaridade de camadas internas em fluidos aparece para escoamento com altos gradientes. Para um grande número de Knudsen do problema, a equação de Boltzmann pode ser uma substituta adequada. Na falta disso, pode-se ter que recorrer à dinâmica molecular ou a vários métodos híbridos.
As equações de Navier-Stokes, mesmo quando escritas explicitamente para fluidos específicos, são de natureza bastante genérica e a sua aplicação adequada a problemas específicos pode ser muito diversa. Isso se deve em parte porque há uma enorme variedade de problemas que podem ser modelados, variando desde algo tão simples quanto a distribuição de pressão estática até algo tão complicado quanto o escoamento multifásico impulsionado pela tensão superficial. Geralmente, a aplicação a problemas específicos começa com algumas premissas de escoamento e a formulação de condições iniciais/de contorno; isso pode ser seguido por uma análise de escala para simplificar ainda mais o problema.
Escoamento paralelo
Assuma um escoamento permanente, paralelo, unidimensional, não convectivo, impulsionado por pressão entre placas paralelas; o problema de valor de contorno escalonado (adimensional) resultante é: d 2 u d y 2 = − 1 ; u ( 0 ) = u ( 1 ) = 0. {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} y^{2}}}=-1;\quad u(0)=u(1)=0.} A condição de contorno é a condição de não escorregamento. Este problema é facilmente resolvido para o campo de velocidade: u ( y ) = y − y 2 2 . {\displaystyle u(y)={\frac {y-y^{2}}{2}}.} A partir deste ponto, mais grandezas de interesse podem ser facilmente obtidas, como a força de arrasto viscoso ou a taxa de vazão líquida.
Escoamento radial
Dificuldades podem surgir quando o problema se torna um pouco mais complicado. Uma reviravolta aparentemente modesta no escoamento paralelo acima seria o escoamento radial entre placas paralelas; isso envolve convecção e, portanto, não linearidade. O campo de velocidade pode ser representado por uma função f(z) que deve satisfazer: d 2 f d z 2 + R f 2 = − 1 ; f ( − 1 ) = f ( 1 ) = 0. {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}f}{\mathrm {d} z^{2}}}+Rf^{2}=-1;\quad f(-1)=f(1)=0.} Esta equação diferencial ordinária é o que se obtém quando as equações de Navier-Stokes são escritas e as premissas de escoamento são aplicadas (adicionalmente, o gradiente de pressão é resolvido). O termo não linear torna este um problema muito difícil de resolver analiticamente (uma longa solução implícita pode ser encontrada, a qual envolve integrais elípticas e raízes de polinômios cúbicos). Problemas com a existência real de soluções surgem para R > 1,41 (aproximadamente; isso não é a √2), sendo o parâmetro R o número de Reynolds com escalas apropriadamente escolhidas. Este é um exemplo de premissas de escoamento perdendo sua aplicabilidade, e um exemplo da dificuldade em escoamentos de "alto" número de Reynolds.
Convecção
Um tipo de convecção natural que pode ser descrito pela equação de Navier-Stokes é a convecção de Rayleigh-Bénard. É um dos fenômenos de convecção mais comumente estudados devido à sua acessibilidade analítica e experimental.
Existem algumas soluções exatas para as equações de Navier-Stokes. Exemplos de casos degenerados — com os termos não lineares nas equações de Navier-Stokes iguais a zero — são o escoamento de Poiseuille, o escoamento de Couette e a camada limite de Stokes oscilatória. Mas também existem exemplos mais interessantes, soluções para as equações não lineares completas, como o escoamento de Jeffery-Hamel, o escoamento em redemoinho de von Kármán, o escoamento de ponto de estagnação, o jato de Landau-Squire e o vórtice de Taylor-Green. Soluções autossimilares dependentes do tempo das equações de Navier-Stokes tridimensionais incompressíveis em coordenadas cartesianas podem ser dadas com a ajuda das funções de Kummer com argumentos quadráticos. Para as equações de Navier-Stokes compressíveis, as soluções autossimilares dependentes do tempo são, no entanto, as funções de Whittaker novamente com argumentos quadráticos quando a equação de estado politrópica é usada como uma condição de fechamento. Note que a existência dessas soluções exatas não implica que elas sejam estáveis: a turbulência pode se desenvolver em números de Reynolds mais altos.
