Elemento inverso
Elemento inverso, em matemática, é aquele cuja utilização numa operação binária matemática bem definida resulta no elemento neutro específico dessa operação — por essa razão simples a justificar a sua inversibilidade operacional. Às vezes costuma ser chamado também de elemento oposto. Não é o mesmo que o elemento simétrico, como é costume afirmar-se. Por exemplo, o elemento inverso de "a" é "1/a" enquanto que o elemento simétrico de "a" é "-a". Também pode ser chamado simplesmente — quando não houver possibilidade de confusão ou pelo uso estrito em domínio específico, inambíguo ou unívoco — de oposto.
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"Elemento inverso" é a expressão preferível para a significação em causa quando não se faz alusão a uma operação binária específica — ou mesmo que se o faça — quando se deseja exprimir a ideia por generalidade. No trato com leis de composição a envolverem conjuntos numéricos, ao se considerarem operações binárias como adição e multiplicação, o conceito de elemento inverso guarda precisamente a significação genérica já apresentada. Contudo, algumas vezes, costumam-se empregar terminologias diferenciadas, como se proprietárias fossem, vinculadas a uma e a outra lei de composição. Assim é que: Essa atribuição de terminologia diferenciada — notadamente a dizer respeito ao par de leis de composição adição e multiplicação, também atinge outros conjuntos e domínios. Assim é que, por exemplo: fala-se em "matriz simétrica", para se referir à matriz inversa aditiva; diz-se "transformação simétrica" (ou simplesmente simetria, quando tal uso for inambíguo, unívoco), para se referir às transformações geométricas que guardem certas propriedades, ditas simetria geométrica, segundo definição precisa. Fala-se em simetria espacial, sistêmica etc..
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Em um grupoide com unidade
Seja S {\displaystyle S} um conjunto munido de uma operação binária ∗ , {\displaystyle *,} isto é, um grupoide ou sistema matemático[carece de fontes?]. Se e {\displaystyle e} é um elemento neutro de ( S , ∗ ) , {\displaystyle (S,*),} ou seja, S {\displaystyle S} é um grupoide com unidade, e a {\displaystyle a} é um elemento qualquer pertencente a S , {\displaystyle S,} chama-se de 'elemento inverso do elemento a {\displaystyle a} a qualquer elemento a − 1 {\displaystyle a^{-1}} tal que: É importante observar aqui que o símbolo a − 1 {\displaystyle a^{-1}} não significa, como pode sugerir uma apreciação ligeira, elevar o elemento a {\displaystyle a} ao expoente um negativo (–1). Trata-se, tão-somente, de recurso de generalidade simbólica, que faz apelo à ideia da inversão multiplicativa — apenas à ideia — convertendo-a em representação genérica para qualquer e toda inversão, segundo o conceito de elemento inverso.
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Para fixação imediata e simples de ideias, ao se tratar de conjuntos numéricos unidimensionais (aqueles definidos sobre um espaço vetorial Rn = R1 = R, em que "R" figura como o conjunto dos números reais e "n" = 1 figura como a dimensão linear do espaço vetorial em exame), por exemplo, qualquer dos conjuntos numéricos que são subconjuntos amplos de R, fala-se mais comumente em: Contudo, é preciso ter em mente que os exemplos relacionados às leis de composição "adição" e "multiplicação", conforme definidas sobre conjuntos numéricos sobre "Rn", não são os únicos, tampouco necessariamente os mais importantes irrestritamente — embora seja certo reconhecer que são muito importantes na prática do dia-a-dia. Com efeito, não apenas o matemático abstrato (o cientista, o pesquisador, o profissional...) lida com muitíssimos outros exemplos de inversos e de neutros, mas, também, o cidadão comum, frequentemente sem o saber sequer. Apenas para fixar ideias nesse domínio, suponha-se o seguinte exemplo simples: (1) alguém dá um passo adiante; (2) a seguir, esse alguém dá um passo atrás, retornando à posição originária; (3) é certo, pois, conhecer o par ("passo adiante" e "passo atrás") como par conjugado de "inversos de passo" (vetores unidimensionais?...) e o resultado (retorno ao ponto de partida) como o "elemento neutro de passo". Este exemplo — extremamente simples — foi citado para salientar a absoluta generalidade da presença de tais estruturas na lida abstrata e também na prática do dia-a-dia. São as estruturas matemáticas, os sistemas matemáticos, mais onipresentes que se imagina.
