Transformada de Fourier de tempo discreto

Dado um conjunto discreto de números reais ou complexos: x [ n ] , n ∈ Z {\displaystyle x[n],\;n\in \mathbb {Z} } (inteiros), a transformada de Fourier de tempo discreto de x [ n ] {\displaystyle x[n]\,} é usualmente escrita: X ( ω ) = ∑ n = − ∞ ∞ x [ n ] e − i ω n . {\displaystyle X(\omega )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\,e^{-i\omega n}.} (Eq.1)

Frequentemente a sequência x [ n ] {\displaystyle x[n]\,} representa os valores de uma função contínua no tempo x ( t ) {\displaystyle x(t)\,} , em instantes discretos (ou seja, amostras): t = n T {\displaystyle t=nT\,} , onde T {\displaystyle T\,} é o intervalo de amostragem, e 1 / T = f s {\displaystyle 1/T=f_{s}\,} é a taxa de amostragem (amostragens por unidade de tempo). Neste caso, a DTFT é uma aproximação da transformada de Fourier: Para entender esse resultado, considere-se a fórmula da soma de Poisson, que indica que uma extensão periódica da função X ( f ) {\displaystyle X(f)\,} pode ser construída a partir das amostras de x ( t ) . {\displaystyle x(t).\,} Com isso, X T ( f ) = d e f ∑ k = − ∞ ∞ X ( f − k f s ) ≡ T ∑ n = − ∞ ∞ x ( n T ) e − i 2 π f T n . {\displaystyle X_{T}(f)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }X\left(f-kf_{s}\right)\equiv T\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(nT)\ e^{-i2\pi fTn}.} (Eq.2)

Amostrar x ( t ) {\displaystyle x(t)\,} faz com que seu espectro de frequências, expresso pela DTFT, torne-se periódica. Em termos da frequência linear f {\displaystyle f\,} , o período é a taxa de amostragem, f s {\displaystyle f_{s}\,} . . Em termos da frequência normalizada f / f s {\displaystyle f/f_{s}\,} , o período é 1 {\displaystyle 1} . . Em termos da frequência angular ω {\displaystyle \omega \,} , o período é 2 π {\displaystyle 2\pi } , o que também se segue diretamente do caráter periódico de e − i ω n {\displaystyle e^{-i\omega n}\,} . Ou seja, onde tanto n quanto k são inteiros arbitrários. Portanto, A notação alternativa popular X ( e i ω ) {\displaystyle X(e^{i\omega })\,} para a DTFT X ( ω ) {\displaystyle X(\omega )\,} Contudo, sua relevância é obscurecida quando a DTFT é formada pelo método do domínio da frequência (superposição), como discutido acima. Por isso a notação X ( ω ) {\displaystyle X(\omega )\,} também é usual.

As transformadas inversas recuperam a sequência no domínio do tempo: As integrais cobrem um período completo da DTFT, o que significa que as amostras x[n] são também os coeficientes de uma expansão em série de Fourier da DTFT. Limites de integração infinitos resultarão numa transformada inversa de Fourier, que produz uma sequência de funções impulso de Dirac. Ou seja:

Para o cálculo numérico da DTFT, requer-se obviamente uma sequência finita. Um meio de fazer isso é modificar uma sequência longa por uma janela retangular, resultando em Esta é frequentemente uma aproximação útil do espectro da sequência não modificada. A diferença é uma perda de resolução, que aumenta conforme L aumenta. É comum calcular X ( ω ) {\displaystyle X(\omega )} em um número arbitrário de ( N ) {\displaystyle (N)} frequências uniformemente espaçadas ao longo de um período (2π): quando N ≥ L {\displaystyle N\geq L\,} , isso pode ser escrito Com esse ajuste, a sequência X [ k ] {\displaystyle X[k]\,} passa a ser reconhecível como a transformada discreta de Fourier (DFT). Enquanto N {\displaystyle N} define a resolução na qual DTFT é amostrada, L {\displaystyle L} limita a resolução inerente da DTFT. Assim, os valores são geralmente similares (ou iguais). E se por um lado é comum escolher N > L {\displaystyle N>L} , a única razão para incluir os termos nulos na soma é tirar vantagem de um algoritmo para cálculo da DFT, a transformada rápida de Fourier (FFT). Quando isso é feito, a DTFT recebe um nome que reflete a presença desses termos (zero-padded DFT ou interpolated DFT). A mesma DFT, contudo, pode ser calculada diretamente sem os termos nulos. Pode-se também calcular a DTFT para o caso de N < L {\displaystyle N<L} (ou para outras taxas de amostragem), onde ela não é equivalente à DFT.

Se acrescentarmos um número infinito de zeros a x[n], a DFT aproxima-se de DTFT do sinal finitos correspondente. Esse preenchimento equivale a ter N → ∞ {\displaystyle N\rightarrow \infty } e k → ∞ {\displaystyle k\rightarrow \infty } à mesma taxa, com a razão entre elas aproximando-se de uma constante ω / 2 π {\displaystyle \omega /2\pi } :

A DTFT é o contrário da série de Fourier, que transforma uma entrada periódica contínua em um espectro discreto. As aplicações das duas transformadas, entretanto, são muito diferentes. A DFT e a DTFT podem ser consideradas o resultado lógico de se aplicar a transformada de Fourier a dados discretos.Sob essa perspectiva, não é a transformada que varia, e sim a forma da entrada. Pode-se resumir esses dados em termos dos domínios original e transformado: onde R é o eixo real (o domínio para funções contínuas), S1 é o círculo (o domínio para funções periódicas), Z é o conjunto dos inteiros (o domínio para funções discretas) e Z/nZ é o conjunto dos inteiros módulo n, o domínio das funções periódicas discretas. Sob o ponto de vista da dualidade de Pontryagin, a transformada de Fourier e a DFT são autoduais, e os domínios original e transformado são isomórficos (os domínios devem ser pensados como duas cópias separadas de R: Z/nZ, respectivamente, não como o mesmo espaço), enquanto que a série de Fourier e a DTFT são duais uma à outra.

A DTFT também pode ser considerada como um caso especial da transformada Z. A transformada Z bilateral é definida como: Assim, o caso especial é: z = e i ω {\displaystyle z=e^{i\omega }\,} . Como | e i ω | = 1 {\displaystyle |e^{i\omega }|=1\,} , a DTFT é a transformada Z computada sobre o círculo de raio unitário no plano complexo.

Alguns pares comuns de transformadas são mostrados abaixo. Foi usada a notação seguinte:

A tabela seguinte mostra a relação entre DTFTs genéricas. Foi usada a notação seguinte: A primeira coluna traz uma descrição da propriedade, a segunda coluna mostra a função no domínio do tempo, a terceira coluna mostra o espectro no domínio da frequência: