Desigualdade de Boole
Em teoria da probabilidade, a desigualdade de Boole diz que, para qualquer conjunto de eventos finito ou contável, a probabilidade de que pelo menos um dos eventos aconteça não é maior que a soma das probabilidades dos eventos individuais. A desigualdade de Boole é nomeada em homenagem a George Boole.
Prova usando indução
A desigualdade de Boole pode ser provada para conjuntos de eventos finitos, utilizando o método de indução. Para o caso n = 1 {\displaystyle n=1} , segue-se que Para o caso n {\displaystyle n} , tem-se que Como P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ) − P ( A ∩ B ) {\displaystyle \mathbb {P} (A\cup B)=\mathbb {P} (A)+\mathbb {P} (B)-\mathbb {P} (A\cap B)} , e porque a operação de união é associativa, tem-se que pelo primeiro axioma de probabilidade, tem-se que
Prova sem o uso de indução
Para quaisquer eventos A 1 . . . A i {\displaystyle A_{1}...A_{i}} em um espaço de probabilidade, tem-se que P ( ⋃ i A i ) ≤ ∑ i P ( A i ) {\displaystyle \mathbb {P} (\bigcup _{i}A_{i})\leq \sum _{i}\mathbb {P} (A_{i})} Um dos axiomas de um espaço de probabilidade é que, se B 1 . . . B i {\displaystyle B_{1}...B_{i}} são subconjuntos disjuntos do espaço de probabilidade, então P ( ⋃ i B i ) = ∑ i P ( B i ) {\displaystyle \mathbb {P} (\bigcup _{i}B_{i})=\sum _{i}\mathbb {P} (B_{i})} o que é chamado de aditividade contável. Se B ⊂ A {\displaystyle B\subset A} então P ( B ) ≤ P ( A ) {\displaystyle \mathbb {P} (B)\leq \mathbb {P} (A)} De fato, a partir dos axiomas de uma distribuição de probabilidade,
A desigualdade de Boole pode ser generalizada para encontrar limitantes superiores e inferiores sobre a probabilidade de uniões finitas de eventos. Estes limites são conhecidos como desigualdades de Bonferroni, em homenagem à Carlo Emilio Bonferroni. para todos os números inteiros de k {\displaystyle k} em { 3 , … , n } {\displaystyle \{3,\dots ,n\}} . Então, para k {\displaystyle k} ímpares em { 1 , … , n } {\displaystyle \{1,\dots ,n\}} , e para k {\displaystyle k} pares em { 2 , … , n } {\displaystyle \{2,\dots ,n\}} , A desigualdade de Boole é recuperada definindo k = 1 {\displaystyle k=1} . Quando k = n {\displaystyle k=n} , então a igualdade se mantém e a identidade resultante é o princípio da inclusão–exclusão.
