Axiomas de probabilidade
Os axiomas da probabilidade ou os axiomas de Kolmogorov são uma definição geralmente usada para se referir para as três propriedades de uma série de subconjuntos de , chamado de -álgebra, denotado por , se satisfaz às propriedades: ∈ ; Se ∈ ; Se A1, A2, ... ∈ ..
Primeiro axioma
A probabilidade de um evento é um número real não negativo: Onde F {\displaystyle {\mathcal {F}}} é o espaço de evento ( σ {\displaystyle \sigma } -álgebra). Em particular, P ( E ) {\displaystyle P(E)} é sempre finito, em contraste com mais geral da Teoria da Medida. As teorias que atribuem probabilidade negativa relaxam o primeiro axioma.
Segundo axioma
Este é o pressuposto da unidade de medida: é que a probabilidade de que algum evento elementar em todo o espaço da amostra irá ocorrer é 1. Mais especificamente, não há eventos elementares fora do espaço amostral. Este é muitas vezes esquecido em alguns cálculos de probabilidade equivocadas, se você não pode definir com precisão todo o espaço amostral, então a probabilidade de qualquer subconjunto não pode ser definido.
Terceiro axioma
Qualquer sequência contável de conjuntos disjuntos (sinônimo de eventos mutuamente exclusivos) E 1 , E 2 , . . . {\displaystyle E_{1},E_{2},...} satisfaz Alguns autores consideram apenas finitamente e aditivos os espaços de probabilidade, caso em que se necessita apenas de uma álgebra de conjuntos, em vez de um σ-álgebra. Na distribuição de quasiprobabilidade, em geral, o terceiro axioma é expandido, permitindo que a função de probabilidade assuma valores negativos.
A partir dos axiomas de Kolmogorov , pode-se deduzir outras regras úteis para cálculo de probabilidades.
O limite numérico
Ele segue imediatamente a partir da propriedade de monotonicidade:
As provas dessas propriedades são interessantes e esclarecedoras. Eles ilustram o poder do terceiro axioma, e sua interação com os restantes dois axiomas. Ao estudar teoria da probabilidade axiomática, muitas consequências profundas seguem a partir desses três meros axiomas. A fim de verificar a propriedade de monotonicidade, partimos: E 1 = A {\displaystyle E_{1}=A} and E 2 = B ∖ A {\displaystyle E_{2}=B\backslash A} ,Quando A ⊆ B and E i = ∅ {\displaystyle \quad A\subseteq B{\text{ and }}E_{i}=\emptyset } for i ≥ 3 {\displaystyle i\geq 3} . É fácil de ver que os conjuntos E i {\displaystyle E_{i}} .São disjuntos dois a dois e E 1 ∪ E 2 ∪ … = B {\displaystyle E_{1}\cup E_{2}\cup \ldots =B} . Assim, obtemos a partir do terceiro axioma de que: Desde a esquerda o lado desta equação é uma série de números não-negativos, e que converge para: A segunda parte da declaração é visto por contradição se: P ( ∅ ) = a {\displaystyle P(\emptyset )=a} em seguida o lado esquerdo não é inferior a:
Esta é a chamada lei além de probabilidade, ou a regra da soma. Ou seja, a probabilidade de que A' ou' B irá acontecer é a soma das probabilidades de que A vai acontecer e que B vai acontecer, menos a probabilidade de que ambos A' e' B vão acontecer. Isso pode ser estendido para o princípio da inclusão-exclusão. Ou seja, a probabilidade de que qualquer evento não acontecer é 1 menos a probabilidade de que isso acontecerá.
Considere um lançamento único de uma moeda, assuma que a moeda será ou cara (H) ou coroa (T) (mas não ambos). A suposição é feita para saber se a moeda é honesta (Isto é, sua distribuição de massa é igualitária e sem deformidades que a faça tender para um dos lados). Podemos definir: A soma da probabilidade de cara e a probabilidade de coroa é 1.
