Del
No cálculo vectorial, o del é um operador diferencial representado pelo símbolo nabla
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Seja um campo escalar diferenciável f {\displaystyle f} em função do vector espaço x → . {\displaystyle {\vec {x}}.} Então: ∀ n ∈ N ∗ D n f = ∂ f ∂ x → n {\displaystyle \forall n\in \mathbb {N_{*}} \quad D_{n}f={\frac {\partial f}{\partial {\vec {x}}_{n}}}}
Em altas ordens
A derivada em função do espaço em alta ordem é representada por uma multiplicação simbólica como no exemplo abaixo (de 2ª ordem): ∀ n , m ∈ N ∗ 2 D n D m f = D n ( D m f ) = ∂ ( ∂ f ∂ x → m ) ∂ x → n = ∂ 2 f ∂ x → n ∂ x → m {\displaystyle \forall n,m\in \mathbb {N_{*}} \!^{2}\quad D_{n}D_{m}f=D_{n}\left(D_{m}\,f\right)={\frac {\partial \left({\frac {\partial f}{\partial {\vec {x}}_{m}}}\right)}{\partial {\vec {x}}_{n}}}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial {\vec {x}}_{n}\partial {\vec {x}}_{m}}}} Essa operação é comutativa de acordo com o teorema de Clairaut-Schwarz, então, do exemplo acima pode-se afirmar que: D n D m f = D m D n f {\displaystyle D_{n}D_{m}f=D_{m}D_{n}f}
Em outras coordenadas ortogonais
Para todo sistema de coordenadas ortogonal q → {\displaystyle {\vec {q}}} temos que: D n f = ∂ f q → n ∂ q → n {\displaystyle D_{n}f={\frac {\partial f}{{\vec {q}}_{n}\partial {\vec {q}}_{n}}}}
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Seja um campo escalar f {\displaystyle f} e um campo vectorial F → {\displaystyle {\vec {F}}} ambos diferenciáveis em função do vector espaço x → . {\displaystyle {\vec {x}}.}
Gradiente
Em cada ponto, o gradiente aponta para o vizinho que representar o maior incremento infinitesimal. O gradiente é um campo vectorial e seu domínio é um campo escalar. ∇ f = ∑ i D i f ⋅ e ^ i {\displaystyle \nabla f=\sum ^{i}D_{i}f\cdot {\hat {e}}_{i}} Portanto o gradiente de f {\displaystyle f} para três dimensões no espaço carteseano x → = ⟨ x , y , z ⟩ {\displaystyle {\vec {x}}=\left\langle x,y,z\right\rangle } é dado por: ∇ f = ⟨ ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y , ∂ f ∂ z ⟩ {\displaystyle \nabla f=\left\langle {\frac {\partial f}{\partial x}},{\frac {\partial f}{\partial y}},{\frac {\partial f}{\partial z}}\right\rangle } O processo de computação do gradiente é revertido pelo integral de linha de acordo com o teorema do gradiente.
Derivada direcional
A derivada direcional é um escalar que representa a derivada dum campo escalar (no caso, f) ao longo de um vector (no caso abaixo, u → {\displaystyle {\vec {u}}} ). ∀ u → ∇ u → f = u → ⋅ ∇ f {\displaystyle \forall {\vec {u}}\quad \nabla \!_{\vec {u}}\,f={\vec {u}}\cdot \nabla f} Em coordenadas cartesianas, u → ⋅ ∇ f = u x ∂ f ∂ x + u y ∂ f ∂ y + u z ∂ f ∂ z {\displaystyle {\vec {u}}\cdot \nabla f=u_{x}\;{\frac {\partial f}{\partial x}}+u_{y}\;{\frac {\partial f}{\partial y}}+u_{z}\;{\frac {\partial f}{\partial z}}} Em coordenadas cilíndricas, u → ⋅ ∇ f = u r ∂ f ∂ r + u θ r ∂ f ∂ θ − u θ 2 r + u z ∂ f ∂ z {\displaystyle {\vec {u}}\cdot \nabla f=u_{r}\;{\frac {\partial f}{\partial r}}+{\frac {u_{\theta }}{r}}\;{\frac {\partial f}{\partial \theta }}-{\frac {u_{\theta }^{2}}{r}}+u_{z}\;{\frac {\partial f}{\partial z}}}
Divergência
A divergência (ou divergente) é um campo escalar igual ao traço (álgebra linear) da matriz jacobiana dum campo vectorial. ∇ ∙ F → = ∑ i D i F → i = Sp J x → F → {\displaystyle \nabla \bullet {\vec {F}}=\sum ^{i}D_{i}{\vec {F}}_{i}={\mbox{Sp}}\mathbf {J} _{\vec {x}}^{\vec {F}}} Portanto a divergência de F → {\displaystyle {\vec {F}}} para três dimensões no espaço carteseano x → = ⟨ x , y , z ⟩ {\displaystyle {\vec {x}}=\left\langle x,y,z\right\rangle } é dada pela seguinte soma: ∇ ∙ F → = ∂ F → x ∂ x + ∂ F → y ∂ y + ∂ F → z ∂ z {\displaystyle \nabla \bullet {\vec {F}}={\frac {\partial {\vec {F}}_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial {\vec {F}}_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial {\vec {F}}_{z}}{\partial z}}}
Rotacional
A rotacional (ou rotor) é o determinante entre três bases padrões, três componentes do vector del e três componentes dum campo vectorial. ∇ × F → = ∑ i D i F → × e ^ i = ∑ i j k ε i j k ⋅ e ^ i ⋅ D j F → k {\displaystyle \nabla \times {\vec {F}}=\sum _{i}D_{i}{\vec {F}}\times {\hat {e}}_{i}=\sum _{ijk}\varepsilon _{ijk}\cdot {\hat {e}}_{i}\cdot D_{j}{\vec {F}}_{k}} Pelo teorema de Laplace o rotor de F → {\displaystyle {\vec {F}}} no espaço carteseano x → = ⟨ x , y , z ⟩ {\displaystyle {\vec {x}}=\left\langle x,y,z\right\rangle } é: ∇ × F → = ⟨ D y F → z − D z F → y , D z F → x − D x F → z , D x F → y − D y F → x ⟩ {\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \times {\vec {F}}={\bigg \langle }&D_{y}{\vec {F}}_{z}-D_{z}{\vec {F}}_{y},\\&D_{z}{\vec {F}}_{x}-D_{x}{\vec {F}}_{z},\\&D_{x}{\vec {F}}_{y}-D_{y}{\vec {F}}_{x}{\bigg \rangle }\\\end{aligned}}}
Operações combinadas
Das nove possíveis simples combinações entre os operadores gradiente, divergente e rotor duas a duas, quatro são impossíveis, duas são triviais nulas (sempre resultam em zero) – restam três operadores dos quais um recebe um nome especial, que é o divergente do gradiente denominado laplaciano. Todas essas três operações definidas e não-triviais são relacionadas pela seguinte identidade: ( ∑ i ∇ 2 F → i ) ⏟ l a p l a c i a n o v e c t o r i a l + ( ∇ × ∇ × F → ) ⏟ r o t o r d o r o t o r = ( ∇ ( ∇ ∙ F → ) ) ⏟ g r a d i e n t e d o d i v e r g e n t e {\displaystyle \underbrace {\left(\sum ^{i}\nabla ^{2}{\vec {F}}_{i}\right)} _{laplaciano\,vectorial}+\underbrace {\left(\nabla \times \nabla \times {\vec {F}}\right)} _{rotor\,do\,rotor}=\underbrace {\left(\nabla \left(\nabla \bullet {\vec {F}}\right)\right)} _{gradiente\,do\,divergente}}
Laplaciano vectorial
Cada componente do laplaciano vectorial representa o laplaciano do componente respectivo do campo vectorial argumento. ∇ 2 F → = ∑ i ∇ 2 F → i ⋅ e ^ i = ∑ i j D j 2 F → i ⋅ e ^ i = ∑ i Sp H x → F → i ⋅ e ^ i {\displaystyle \nabla ^{2}{\vec {F}}=\sum ^{i}\nabla ^{2}{\vec {F}}_{i}\cdot {\hat {e}}_{i}=\sum ^{ij}D_{j}^{2}{\vec {F}}_{i}\cdot {\hat {e}}_{i}=\sum ^{i}{\mbox{Sp}}\mathbf {H} _{\vec {x}}^{{\vec {F}}_{i}}\cdot {\hat {e}}_{i}} D j 2 F → i = D j ( D j F → i ) = ∂ 2 F → i ∂ x → j 2 {\displaystyle D_{j}^{2}{\vec {F}}_{i}=D_{j}\left(D_{j}{\vec {F}}_{i}\right)={\frac {\partial ^{2}{\vec {F}}_{i}}{\partial {\vec {x}}_{j}^{2}}}} Portanto o laplaciano vectorial de F → {\displaystyle {\vec {F}}} para três dimensões no espaço carteseano x → = ⟨ x , y , z ⟩ {\displaystyle {\vec {x}}=\left\langle x,y,z\right\rangle } é:
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Apesar de se tratar dum grave caso de abuso de notação, é muito comum se encontrar a seguinte definição de vector del: ∇ → = ∑ i q ^ i h i ⋅ ∂ ∂ x → i {\displaystyle {\vec {\nabla }}=\sum ^{i}{\frac {{\hat {q}}_{i}}{h_{i}}}\cdot {\frac {\partial }{\partial {\vec {x}}_{i}}}} …onde h i {\displaystyle h_{i}} é o módulo do vetor q ^ i . {\displaystyle {\hat {q}}_{i}.} Daí admitimos outro abuso de notação para definir rotacional: ∇ → × F → = det [ e ^ ∇ F → ] = det [ e ^ x e ^ y e ^ z ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z F → x F → y F → z ] {\displaystyle {\vec {\nabla }}\times {\vec {F}}=\det {\begin{bmatrix}\mathbf {\hat {e}} &\nabla &{\vec {F}}\end{bmatrix}}=\det {\begin{bmatrix}{\hat {e}}_{x}&{\hat {e}}_{y}&{\hat {e}}_{z}\\{\frac {\partial }{\partial x}}&{\frac {\partial }{\partial y}}&{\frac {\partial }{\partial z}}\\{\vec {F}}_{x}&{\vec {F}}_{y}&{\vec {F}}_{z}\\\end{bmatrix}}} Nesse caso, de certa forma, temos sim um produto vectorial entre o vector del e o campo vectorial.
Em coordenadas cartesianas
Em coordenadas cartesianas, em que h i = 1 {\displaystyle h_{i}=1} obtém-se: ∇ → = i ^ ∂ ∂ x + j ^ ∂ ∂ y + k ^ ∂ ∂ z . {\displaystyle {\overrightarrow {\nabla }}={\hat {i}}{\partial \over \partial x}+{\hat {j}}{\partial \over \partial y}+{\hat {k}}{\partial \over \partial z}.}
Em coordenadas cilíndricas
Em coordenadas cilíndricas em que h ρ = h z = 1 , h φ = ρ , {\displaystyle h_{\rho }=h_{z}=1,\ h_{\varphi }=\rho ,} obtém-se: ∇ → = ρ ^ ∂ ∂ ρ + φ ^ ρ ∂ ∂ φ + z ^ ∂ ∂ z {\displaystyle {\overrightarrow {\nabla }}={\hat {\rho }}{\frac {\partial }{\partial \rho }}+{\frac {\hat {\varphi }}{\rho }}{\frac {\partial }{\partial \varphi }}+{\hat {z}}{\frac {\partial }{\partial z}}}
Em coordenadas esféricas
Em coordenadas esféricas, em que h r = 1 , h θ = r , h φ = r s e n θ , {\displaystyle h_{r}=1,\ h_{\theta }=r,\ h_{\varphi }=r{\rm {sen}}\theta ,} obtém-se: ∇ → = r ^ ∂ ∂ r + θ ^ r ∂ ∂ θ + φ ^ r s e n θ ∂ ∂ φ {\displaystyle {\overrightarrow {\nabla }}={\hat {r}}{\frac {\partial }{\partial r}}+{\frac {\hat {\theta }}{r}}{\frac {\partial }{\partial \theta }}+{\frac {\hat {\varphi }}{r\,{\rm {sen}}\,\theta }}{\frac {\partial }{\partial \varphi }}}
Derivada direcional com o vector del
Com o vector del, a derivada direcional pode ser redefinida como a combinação linear de u → {\displaystyle {\vec {u}}} com ∇ → : {\displaystyle {\vec {\nabla }}:} ∇ → u → = ∑ i u → i ⋅ ∂ ∂ x → i = u → ⋅ ∇ → {\displaystyle {\vec {\nabla }}_{\vec {u}}=\sum ^{i}{\vec {u}}_{i}\cdot {\frac {\partial }{\partial {\vec {x}}_{i}}}={\vec {u}}\cdot {\vec {\nabla }}} Em três dimensões no espaço carteseano x → = ⟨ x , y , z ⟩ {\displaystyle {\vec {x}}=\left\langle x,y,z\right\rangle } temos que: ∇ → = ı ^ ⋅ ∂ ∂ x + ȷ ^ ⋅ ∂ ∂ y + k ^ ⋅ ∂ ∂ z = ⟨ ∂ ∂ x , ∂ ∂ y , ∂ ∂ z ⟩ {\displaystyle {\vec {\nabla }}={\hat {\imath }}\cdot {\frac {\partial }{\partial x}}+{\hat {\jmath }}\cdot {\frac {\partial }{\partial y}}+{\hat {k}}\cdot {\frac {\partial }{\partial z}}=\left\langle {\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right\rangle }
Divergência com o vector del
A divergência passa a ser a combinação linear (não o produto escalar! – veja abaixo) entre o vector del e o campo vectorial em questão: ∇ → ⋅ F → = ∑ i ∂ ∂ x → i ⋅ F → i {\displaystyle {\vec {\nabla }}\cdot {\vec {F}}=\sum ^{i}{\frac {\partial }{\partial {\vec {x}}_{i}}}\,\cdot \,{\vec {F}}_{i}}
Laplaciano com o vector del
A combinação linear do vector del consigo mesmo forma o operador laplaciano: ∇ → 2 = ∇ → ⋅ ∇ → {\displaystyle {\vec {\nabla }}^{2}={\vec {\nabla }}\cdot {\vec {\nabla }}} Em três dimensões no espaço carteseano x → = ⟨ x , y , z ⟩ {\displaystyle {\vec {x}}=\left\langle x,y,z\right\rangle } teriamos que: ∇ → 2 = ∂ 2 ∂ x 2 + ∂ 2 ∂ y 2 + ∂ 2 ∂ z 2 {\displaystyle {\vec {\nabla }}^{2}={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}}
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O símbolo nabla foi introduzido por William Hamilton e rapidamente assimilado pela comunidade científica. Ainda assim, alguns autores preferem escrever a sigla de cada operador apresentado acima ao invés de usar o nabla: ∇ f = grad f {\displaystyle \nabla f={\mbox{grad}}f} ∇ u → f = u → ⋅ grad f {\displaystyle \nabla \!_{\vec {u}}\,f={\vec {u}}\cdot {\mbox{grad}}f} ∇ ∙ F → = div F → {\displaystyle \nabla \bullet {\vec {F}}={\mbox{div}}{\vec {F}}} No caso do rotacional as siglas podem fazer referências aos termos anglófonos como "curl" ou "rotor": ∇ × F → = curl F → = rot F → {\displaystyle \nabla \times {\vec {F}}={\mbox{curl}}{\vec {F}}={\mbox{rot}}{\vec {F}}} Já o laplaciano pode ser representado pela letra grega delta maiúscula em vez do tradicional nabla elevado ao quadrado. ∇ 2 f = div grad f = Δ f {\displaystyle \nabla ^{2}f={\mbox{div}}{\mbox{grad}}f=\Delta f} ∇ 2 F → = Δ F → {\displaystyle \nabla ^{2}{\vec {F}}=\mathbf {\Delta {\vec {F}}} }
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Na notação de Einstein substituimos a forma D J {\displaystyle D_{J}} por ∂ J {\displaystyle \partial _{J}} e assumimos o vector del ∇ = [ ∂ J ] . {\displaystyle \mathbf {\nabla } =\left[\partial _{J}\right].} Seja φ {\displaystyle \varphi } um campo escalar e F = [ f J ] {\displaystyle \mathbf {F} =\left[f_{J}\right]} um campo vectorial ambos diferenciaveis em função do espaço X = [ x J ] {\displaystyle \mathbf {X} =\left[x_{J}\right]} A derivada direcional fica denotada por: u ⋅ grad φ {\displaystyle \mathbf {u} \cdot {\mbox{grad}}\,\varphi } upgrade
