Curva de Bézier
A curva de Bézier é uma curva polinomial expressa como a interpolação linear entre alguns pontos representativos, chamados de pontos de controle. É uma curva utilizada em diversas aplicações gráficas como o Illustrator, Freehand, Fireworks, GIMP, Photoshop, Processing, Inkscape, Krita e CorelDRAW, e formatos de imagem vetorial como o SVG. Esse tipo de curva também pode originar Superfícies de Bézier, bastante utilizadas em modelagem tridimensional, animações, design de produtos, engenharia, arquitetura entre outras aplicações.
A curva simplesmente baseia seu cálculo no Binômio de Newton para a resolução de seus coeficientes e é resolvida facilmente através de: ( x + y ) n = ∑ k = 0 n ( n k ) x n − k y k . x = t , y = ( 1 − t ) {\displaystyle {\left(x+y\right)}^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{n-k}y^{k}\,\!.\;\;x=t\;,\;y=(1-t)} O índice t é um valor de parametrização para percorrer a curva e pode ser qualquer valor entre zero e um, n é o grau do Binômio, tal que usamos n + 1 {\displaystyle n+1} pontos de controle para cada curva que desejamos desenhar. ( n k ) {\displaystyle \scriptstyle {n \choose k}} são coeficientes binomiais. Por exemplo, para a resolução de ( t + ( 1 − t ) ) 2 {\displaystyle (t+(1-t))^{2}} usaríamos 3 pontos de controle e obteríamos curvas quadráticas, com o uso do binômio ( t + ( 1 − t ) ) 3 {\displaystyle (t+(1-t))^{3}} usaríamos 4 pontos de controle e obteríamos curvas cúbicas. Os pontos de controle B i {\displaystyle B_{i}} podem ser escolhidos aleatoriamente, e devem ser multiplicados cada um por uma das parcelas do binômio resolvido. O i-ésimo coeficiente da interpolação é obtido através do Binômio de Newton e é um polinômio da forma:
Curva de Bézier Linear
B ( t ) = ( 1 − t ) B 0 + t B 1 , t ∈ [ 0 , 1 ] {\displaystyle \mathbf {B} (t)=(1-t)\mathbf {B} _{0}+t\mathbf {B} _{1}{\mbox{ , }}t\in [0,1]}
Curva de Bézier Quadrática
B ( t ) = ( 1 − t ) 2 B 0 + 2 t ( 1 − t ) B 1 + t 2 B 2 , t ∈ [ 0 , 1 ] . {\displaystyle \mathbf {B} (t)=(1-t)^{2}\mathbf {B} _{0}+2t(1-t)\mathbf {B} _{1}+t^{2}\mathbf {B} _{2}{\mbox{ , }}t\in [0,1].}
Curva de Bézier Cúbica
B ( t ) = ( 1 − t ) 3 B 0 + 3 t ( 1 − t ) 2 B 1 + 3 t 2 ( 1 − t ) B 2 + t 3 B 3 , t ∈ [ 0 , 1 ] . {\displaystyle \mathbf {B} (t)=(1-t)^{3}\mathbf {B} _{0}+3t(1-t)^{2}\mathbf {B} _{1}+3t^{2}(1-t)\mathbf {B} _{2}+t^{3}\mathbf {B} _{3}{\mbox{ , }}t\in [0,1].}
