Conjunto perfeito
Na matemática, em especial, na topologia, um conjunto perfeito é um conjunto fechado formado apenas por pontos de acumulação. Equivalentemente, um conjunto é dito perfeito se for fechado e não possui pontos isolados. Com isto temos que todo ponto de um conjunto perfeito pode ser aproximado por outros pontos deste mesmo conjunto perfeito, isto é, dados um ponto e uma vizinhança deste, existe um outro ponto nesta vizinhança.
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Conjunto dos reais
O conjunto R {\displaystyle \mathbb {R} } dos números reais é um conjunto perfeito. É sabido que R {\displaystyle \mathbb {R} } é um conjunto fechado, portanto, basta mostrarmos que este não contém pontos isolados. Para tal, considere x ∈ R {\displaystyle x\in \mathbb {R} } e ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} , temos que x + ϵ 2 ∈ R {\displaystyle {\frac {x+\epsilon }{2}}\in \mathbb {R} } e x + ϵ 2 {\displaystyle {\frac {x+\epsilon }{2}}} está na vizinhança de x {\displaystyle x} com raio ϵ {\displaystyle \epsilon } . Logo, temos que x {\displaystyle x} não é um ponto isolado. Portanto, R {\displaystyle \mathbb {R} } é um conjunto perfeito.
Intervalos fechados
Todo intervalo fechado I ⊆ R {\displaystyle I\subseteq \mathbb {R} } é um conjunto perfeito. Dado um intervalo fechado I ⊆ R {\displaystyle I\subseteq \mathbb {R} } , temos que I {\displaystyle I} não contém pontos isolados, pois caso contrário R {\displaystyle \mathbb {R} } conteria pontos isolados. Logo, I {\displaystyle I} é um conjunto perfeito.
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Dado um ponto x {\displaystyle x} de um conjunto perfeito P {\displaystyle P} , temos que existe uma sequência { x n } n = 1 ∞ {\displaystyle \{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }} tal que, x n ∈ P ∖ { x } {\displaystyle x_{n}\in P\setminus \{x\}} , para todo n {\displaystyle n} inteiro positivo e x n ⟶ x {\displaystyle x_{n}\longrightarrow x} .
Demonstração
Como todo ponto de P {\displaystyle P} é ponto limite, o resultado segue imediatamente. Porém, podemos construir tal sequência da seguinte forma. Dado ϵ 1 {\displaystyle \epsilon _{1}} , temos que existe x 1 ∈ V ϵ 1 ( x ) ∩ P ∖ { x } {\displaystyle x_{1}\in V_{\epsilon _{1}}(x)\cap P\setminus \{x\}} . Indutivamente, dado um inteiro positivo k {\displaystyle k} , seja ϵ k = ϵ k − 1 2 {\displaystyle \epsilon _{k}={\frac {\epsilon _{k-1}}{2}}} , temos que existe x k ∈ V ϵ k ( x ) ∩ P ∖ { x } {\displaystyle x_{k}\in V_{\epsilon _{k}}(x)\cap P\setminus \{x\}} . Note que a sequência { ϵ n } n = 1 ∞ {\displaystyle \{\epsilon _{n}\}_{n=1}^{\infty }} converge para zero, o que implica que, para dado ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} , existe um inteiro positivo N {\displaystyle N} tal que, para todo n > N {\displaystyle n>N} , ϵ n < ϵ {\displaystyle \epsilon _{n}<\epsilon } . Porém, como ‖ x n − x ‖ < ϵ n {\displaystyle \|x_{n}-x\|<\epsilon _{n}} , temos que ‖ x n − x ‖ < ϵ {\displaystyle \|x_{n}-x\|<\epsilon } , o que garante que x n ⟶ x {\displaystyle x_{n}\longrightarrow x} .
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Se um conjunto P {\displaystyle P} é perfeito em R k {\displaystyle \mathbb {R} ^{k}} e não é um conjunto vazio, então P {\displaystyle P} não é enumerável.
Demonstração
Como P {\displaystyle P} é perfeito, temos que P {\displaystyle P} é formado por pontos limites, de modo que P {\displaystyle P} é um conjunto infinito. Suponhamos, por absurdo, que P {\displaystyle P} seja um conjunto enumerável. Considere, portanto, x 1 , x 2 , … {\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots } , seus elementos. Considere V 1 = { y ∈ R k : ‖ y − x 1 ‖ < r } {\displaystyle V_{1}=\{y\in \mathbb {R} ^{k}:\|y-x_{1}\|<r\}} , de modo que o fecho de V 1 {\displaystyle V_{1}} é V ¯ 1 = { y ∈ R k : ‖ y − x 1 ‖ ≤ r } {\displaystyle {\bar {V}}_{1}=\{y\in \mathbb {R} ^{k}:\|y-x_{1}\|\leq r\}} . Considere, para os inteiros n ≥ 1 {\displaystyle n\geq 1} , as vizinhanças V n + 1 {\displaystyle V_{n+1}} satisfazendo o seguinte.
