Desigualdade de Hölder
Em matemática, sobretudo no estudo dos espaços funcionais, a desigualdade de Hölder é uma desigualdade fundamental no estudo dos espaços Lp. A desigualdade tem esse nome em homenagem ao matemático alemão Otto Hölder.
Sejam 1 < p , q < ∞ {\displaystyle 1<p,q<\infty \,} conjugados de Lebesgue, ou seja: Sejam a n {\displaystyle a_{n}\,} e b n {\displaystyle b_{n}\,} seqüências se números reais ou complexos Então:
Sejam 1 < p , q < ∞ {\displaystyle 1<p,q<\infty \,} conjugados de Lebesgue, ou seja: E ainda, a n ∈ ℓ p {\displaystyle a_{n}\in \ell ^{p}\,} e b n ∈ ℓ q {\displaystyle b_{n}\in \ell ^{q}\,} (veja espaço lp), vale:
Sejam 1 < p , q < ∞ {\displaystyle 1<p,q<\infty \,} conjugados de Lebesgue, ou seja: Sejam f : D → R {\displaystyle f:D\to \mathbb {R} \,} e g : D → R {\displaystyle g:D\to \mathbb {R} \,} funções f ∈ L p {\displaystyle f\in L^{p}\,} , g ∈ L q {\displaystyle g\in L^{q}\,} e V ⊆ D {\displaystyle V\subseteq D\,} , então: Observe que a desigualdade implica f g ∈ L 1 ( V ) {\displaystyle fg\in L^{1}(V)}
Demonstração
A desigualdade é trivialmente válida alguma das integrais à direita for nula. Podemos então supor que cada uma das integrais à direito é finita e não-nula, defina ainda: Então estimemos pela desigualdade triangular: Da definição de f ~ ( x ) {\displaystyle {\tilde {f}}(x)\,} e g ~ ( x ) {\displaystyle {\tilde {g}}(x)\,} , temos:
Na linguagem dos espaços lp, a desigualdade toma a forma: Observe que em ambos os casos, a desigualdade é válida no caso extremo (e trivial) p = 1 {\displaystyle p=1\,} ou p = ∞ {\displaystyle p=\infty \,} .
