Conjetura Oesterlé–Masser
Em matemática, a conjetura Oesterlé–Masser ou conjetura abc é um problema em aberto em teoria dos números. Ela foi primeiramente proposta por Joseph Oesterlé e David Masser respetivamente em 1988 e 1985. A conjectura do ABC teve origem como resultado de tentativas de Oesterlé e Masser de entender a conjectura de Szpiro sobre curvas elípticas, que envolve estruturas mais geométricas em sua afirmação do que a conjectura abc. A conjectura abc mostrou-se equivalente à conjectura modificada de Szpiro.
Em agosto de 2012, o matemático Shinichi Mochizuki disponibilizou uma série de quatro artigos contendo uma séria alegação que ele tinha obtido uma demonstração da conjetura abc. Três anos depois, 2015, a prova de Mochizuki permanece no limbo matemático - nem desmentida nem aceita pela comunidade em geral. Mochizuki estimou que levaria a um estudante de graduação de matemática cerca de 10 anos para ser capaz de entender o seu trabalho, e muitos especialistas acreditam que levaria até mesmo um especialista em geometria aritmética cerca de 500 horas. Até agora, apenas quatro matemáticos dizem terem sido capazes de ler e entender a prova inteira.
Seja a,b,c ∈ N, de tal forma que temos c = b + a, ao fazer as operações necessárias chegaremos em c 2 k = b 2 k + a . ∏ i = 1 k ( b 2 i − 1 + c 2 i − 1 ) {\displaystyle c^{2^{k}}=b^{2^{k}}+a.\prod _{i=1}^{k}(b^{2^{i-1}}+c^{2^{i-1}})} ou c 2 k = b 2 k + a . ∏ i = 0 k − 1 ( b 2 i + c 2 i ) {\displaystyle c^{2^{k}}=b^{2^{k}}+a.\prod _{i=0}^{k-1}(b^{2^{i}}+c^{2^{i}})} , com k ∈ Ne i índice, onde rad[ c . b . a . ∏ i = 1 k ( b 2 i − 1 + c 2 i − 1 ) ] > c 2 k {\displaystyle c.b.a.\prod _{i=1}^{k}(b^{2^{i-1}}+c^{2^{i-1}})]>c^{2^{k}}} ou rad[ c . b . a . ∏ i = 0 k − 1 ( b 2 i + c 2 i ) ] > c 2 k {\displaystyle c.b.a.\prod _{i=0}^{k-1}(b^{2^{i}}+c^{2^{i}})]>c^{2^{k}}} .
Dado a equação c = b + a ao multiplicar ambos os lados por b resulta em c . b = b 2 + a . b {\displaystyle c.b=b^{2}+a.b} , como b = c- a ao substituir no primeiro membro da igualdade temos c . ( c − a ) = b 2 + a . b {\displaystyle c.(c-a)=b^{2}+a.b} ⇒ c 2 − a . c = b 2 + a . b {\displaystyle c^{2}-a.c=b^{2}+a.b} ⇒ c 2 = b 2 + a . b + a . c {\displaystyle c^{2}=b^{2}+a.b+a.c} ⇒ c 2 = b 2 + a . ( b + c ) {\displaystyle c^{2}=b^{2}+a.(b+c)} ( & ). Ao Multiplicar ( & ) por c 2 {\displaystyle c^{2}} temos c 4 = b 2 . c 2 + a . c 2 . ( b + c ) {\displaystyle c^{4}=b^{2}.c^{2}+a.c^{2}.(b+c)} ao substituir o 1ª c 2 {\displaystyle c^{2}} por b 2 + a . ( b + c ) {\displaystyle b^{2}+a.(b+c)} , temos c 4 = b 2 . [ b 2 + a . ( b + c ) ] + a . c 2 . ( b + c ) {\displaystyle c^{4}=b^{2}.[b^{2}+a.(b+c)]+a.c^{2}.(b+c)} ⇒ c 4 = b 4 + a . b 2 . ( b + c ) + a . c 2 . ( b + c ) {\displaystyle c^{4}=b^{4}+a.b^{2}.(b+c)+a.c^{2}.(b+c)} ⇒ c 4 = b 4 + a . ( b + c ) . ( b 2 + c 2 ) {\displaystyle c^{4}=b^{4}+a.(b+c).(b^{2}+c^{2})} ( && ).
Possibilidades seja c=13 , então b + a, há uma finidade de combinação tipo b = 10 e a = 3 , b = 11 e a = 2, b = 9 e a = 4, b = 8 e a = 5, pode ser qualquer combinação nos naturais dede que c = b + a, o mais simples nesse caso é b=12 e a=1. Exemplo(1) dada a igualdade 13 = 7 + 6 então c=13, b=7 e a=6 ou 13 = 6 + 7 então c=13, a=7 e b=6 (Usando qualquer uma será valida), com k variando de 1 até 3, optando por c=13, b=7 e a=6 temos:
Suponhamos que queremos encontrar certos divisores das diferenças de duas potências que tenham essas propriedades descritas anteriormente, exemplo o Pequeno Teorema de Fermat que é a p − 1 {\displaystyle a^{p-1}} ≡ 1 m o d ( p ) {\displaystyle 1mod(p)} , com a ∈ Ζ e p primo, de forma algébrica isso é ∃ t ∈ Z tal que t = a p − 1 − 1 p {\displaystyle t={\frac {a^{p-1}-1}{p}}} . Nesse caso do pequeno teorema de Fermat em relação a formula, temos a seguinte situação particular, transcrevendo a forma algébrica do pequeno teorema de Fermat para se adequar isso é p − 1 = 2 k {\displaystyle p-1=2^{k}} ⇒ p = 2 k + 1 {\displaystyle p=2^{k}+1} , como c = a + b {\displaystyle c=a+b} gerou , então usando as adaptações isso é no lugar de c=a , b=1 , e a=p isso nos dar como fórmula; Portanto os divisores de a p − 1 − 1 {\displaystyle a^{p-1}-1} é p e ∏ i = 1 k ( 1 + a 2 i − 1 ) = t {\displaystyle \prod _{i=1}^{k}(1+a^{2^{i-1}})=t} .
Exemplo(1)
para k=1 então p = 2 k + 1 = 2 1 + 1 = 3 {\displaystyle p=2^{k}+1=2^{1}+1=3}
Exemplo(2)
para k=2 então p = 2 k + 1 = 2 2 + 1 = 5 {\displaystyle p=2^{k}+1=2^{2}+1=5} O que irão ver quando k=3 e k=5, é uma contradição do Pequeno teorema de Fermat, o que o pequeno Teorema de Fermat diz ? seja mdc(a,p)=1 isso é a e p primo entre se, então p / ( a p − 1 − 1 ) {\displaystyle p/(a^{p-1}-1)} ⇔ p {\displaystyle p} for primo, intenda que mdc( p + 1 , p) = 1.
Exemplo(3)
para k=3 então p = 2 k + 1 = 2 3 + 1 = 9 {\displaystyle p=2^{k}+1=2^{3}+1=9} Satisfez a igualdade porém 9 não é primo, note que o mdc(10,9)=1, então a divisão não era para ter resultado em um inteiro porém foi o que ocorreu então é uma falha no pequeno teorema de Fermat.
Exemplo(4)
para k=4 então p = 2 k + 1 = 2 4 + 1 = 17 {\displaystyle p=2^{k}+1=2^{4}+1=17}
Exemplo(5)
para k=5 então p = 2 k + 1 = 2 5 + 1 = 33 {\displaystyle p=2^{k}+1=2^{5}+1=33} Satisfez a igualdade porém 33 não é primo, portanto outra falha do Pequeno Teorema de Fermat.
Sempre que haver uma diferença de duas potências do tipo c 2 k − b 2 k {\displaystyle c^{2^{k}}-b^{2^{k}}} é sempre divisível por a e ∏ i = 1 k ( b 2 i − 1 + c 2 i − 1 ) {\displaystyle \prod _{i=1}^{k}(b^{2^{i-1}}+c^{2^{i-1}})} ou ∏ i = 0 k − 1 ( b 2 i + c 2 i ) {\displaystyle \prod _{i=0}^{k-1}(b^{2^{i}}+c^{2^{i}})} , dito isso é só adaptar as as bases e expoentes necessário como foi feito para o Pequeno teorema de Fermat.
