Inversa de Moore–Penrose
Em matemática, e em particular em álgebra linear, a matriz inversa de Moore-Penrose de uma matriz é a generalização mais conhecida da matriz inversa. Ela foi descrita independentemente por EH Moore em 1920, Arne Bjerhammar em 1951 e Roger Penrose em 1955. Anteriormente, Erik Ivar Fredholm introduziu o conceito de pseudoinversa para operadores integrais em 1903. Ao se referir a uma matriz, o termo pseudoinversa, sem maiores especificações, é frequentemente usado para indicar a inversa de Moore-Penrose. O termo inversa generalizada às vezes é usado como sinônimo de pseudoinversa.
Na discussão a seguir, as seguintes convenções são adotadas:
Para A ∈ K m × n {\displaystyle A\in \mathbb {K} ^{m\times n}} , uma pseudoinversa de A é definida como uma matriz A + ∈ K n × m {\displaystyle A^{+}\in \mathbb {K} ^{n\times m}} satisfazendo todos os quatro critérios a seguir, conhecidos como condições de Moore-Penrose: A pseudoinversa A + {\displaystyle A^{+}} existe para qualquer matriz A ∈ K m × n {\displaystyle A\in \mathbb {K} ^{m\times n}} . Se, além disso, A {\displaystyle A} tem posto completo, ou seja, seu posto é min { m , n } {\displaystyle \min\{m,n\}} , então A + {\displaystyle A^{+}} tem uma expressão algébrica particularmente simples. Em particular, quando A {\displaystyle A} tem colunas linearmente independentes (equivalentemente, A {\displaystyle A} é injetiva e, portanto A ∗ A {\displaystyle A^{*}A} é invertível), A + {\displaystyle A^{+}} pode ser calculado como A + = ( A ∗ A ) − 1 A ∗ . {\displaystyle A^{+}=\left(A^{*}A\right)^{-1}A^{*}.}
Existência e unicidade
Para qualquer matriz A {\displaystyle A} , existe uma, e somente uma pseudoinversa A + {\displaystyle A^{+}} . Uma matriz que satisfaz a primeira condição da definição é conhecida como inversa generalizada. Se a matriz também satisfaz a segunda definição, ela é chamada de inversa generalizada reflexiva. Inversas generalizadas sempre existem, mas em geral não são únicas. A unicidade é uma consequência dessas duas condições.
Propriedades básicas
As seguintes identidades podem ser usadas para simplificar ou expandir expressões envolvendo pseudoinversas:
Como para matrizes invertíveis a pseudoinversa é igual à inversa usual, apenas exemplos de matrizes não invertíveis são apresentados abaixo.
