Campo espinorial
Um campo espinorial ou espinor é um tipo de campo físico que generaliza os conceitos de campos vetoriais e tensoriais. Se um campo tensorial é um tipo de representação linear do grupo de Lorentz , um campo espinorial é uma representação de seu "recobrimento" universal, o grupo linear especial .
Os vetores e tensores podem ser vistos como espaços vetoriais reais associados a uma certa representação de grupo do grupo de Lorentz, pelo que seus componentes variam de certa maneira peculiar quando se expressam em relação a uma base vetorial ou uma base que sofreu rotação em relação ao anterior, por exemplo. Os espinores são espaços vetoriais complexos associados a representações de grupo do espaço de recobrimento universal do grupo de Lorentz, ou seja, S L ( 2 , C ) {\displaystyle SL(2,\mathbb {C} )} ou mais exatamente de sua álgebra de Lie. Um campo espinorial se caracteriza por duas peculiaridades: Matematicamente os espinores mais simples são vetores cujas componentes são números complexos (a dimensão vetorial sobre os complexos de um espaço de espinores de Weyl é dois, enquanto que para os espinores de Dirac é quatro). A diferença entre um campo vetorial e um campo espinorial é a lei de transformação de componentes segundo diferentes observadores. Tecnicamente um campo espinorial é uma seção do fibrado espinorial do espaço-tempo.
Motivação matemática
As simetrias de um problema físico requerem que certas equações e entidades que representam grandezas físicas sejam invariantes sob a ação de um grupo sobre certo conjunto de entes matemáticos. Em relatividade especial o espaço-tempo de Minkowski tem o grupo de Poincaré como grupo de simetria. Uma vez que o grupo de Lorentz é um subgrupo do grupo de Poincaré, a covariância de uma teoria relativista requer que uma ação do grupo de Lorentz deixe invariantes certas expressões da teoria. Os aspectos quânticos da teoria requerem considerar representações projetivas deste grupo. Um teorema de Wigner leva a que as representações projetivas de um grupo de Lie possam ser obtidas a partir das representações ordinárias de seu recobrimento universal. Os recobrimentos universais do grupo de Lorentz S O ( 3 , 1 , R ) {\displaystyle SO(3,1,\mathbb {R} )} e do grupo de rotações espaciais S O ( 3 , R ) {\displaystyle SO(3,\mathbb {R} )} são, respectivamente, S L ( 2 , C ) {\displaystyle SL(2,\mathbb {C} )} e S U ( 2 , C ) {\displaystyle SU(2,\mathbb {C} )} .
