Base ortogonal
Em matemática, na teoria da álgebra linear, uma base ortogonal para um espaço vetorial com produto interno V é uma base para V cujos vetores são mutuamente ortogonais. Se os vetores de uma base ortogonal forem normalizados, a base resultante é uma base ortonormal.
Imagem: Pato Novoa · BY-NC · Openverse
Qualquer base ortogonal pode ser usada para definir um sistema de coordenadas ortogonais V. Bases ortogonais (não necessariamente ortonormais) são importantes devido à sua ocorrência a partir de coordenadas ortogonais curvilíneas nos espaços euclidianos, bem como nas variedades riemannianas e pseudoriemanniana.
Imagem: Jlmarql · BY-SA · Openverse
Em análise funcional, uma base ortonormal é qualquer base obtida a partir de uma base ortonormal (ou base de Hilbert) por meio da multiplicação por escalares não nulos.
Imagem: MuMiCaserta · BY-SA · Openverse
O conceito de base ortogonal (mas não ortonormal) aplica-se a um espaço vetorial V (sobre qualquer corpo) equipado com uma forma bilinear simétrica ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ , {\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle ,} em que a ortogonalidade dos vetores v e w significa ⟨ v , w ⟩ = 0. {\displaystyle \langle v,w\rangle =0.} Para uma base ortogonal {ek} : ⟨ e j , e k ⟩ = { q ( e k ) j = k 0 j ≠ k , {\displaystyle \langle \mathbf {e} _{j},\mathbf {e} _{k}\rangle =\left\{{\begin{array}{ll}q(\mathbf {e} _{k})&j=k\\0&j\neq k\end{array}}\right.\quad ,} em que q é uma forma quadrática associada a ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ : {\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle :} q ( v ) = ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ {\displaystyle q(v)=\langle \cdot ,\cdot \rangle } (em um espaço com produto interno q ( v ) = | v | 2 {\displaystyle q(v)=|v|^{2}} ). Assim, ⟨ v , w ⟩ = ∑ k q ( e k ) v k w k , {\displaystyle \langle \mathbf {v} ,\mathbf {w} \rangle =\sum \limits _{k}q(\mathbf {e} _{k})v^{k}w^{k}\ ,} em que vk e wk são componentes de v e w em {ek} .
