Número de Fermat
Em matemática, um número de Fermat é um número inteiro positivo da forma:
Prova por indução: Vale para F 1 {\displaystyle F_{1}} , pois F 1 = F 0 + 2 ( 5 = 3 + 2 ) {\displaystyle F_{1}=F_{0}+2(5=3+2)} . Agora, se ele vale para F ( n − 1 ) {\displaystyle F_{(n-1)}} , então ele vale para F n {\displaystyle F_{n}} :
Números de Fermat e primos de Fermat foram estudadas pela primeira vez por Pierre de Fermat, que conjecturado (mas admitiu que não poderia provar) que todos os números de Fermat são primos. De fato, os primeiros cinco números de Fermat F 0 , ⋅ ⋅ ⋅ , F 4 {\displaystyle F_{0},\cdot \cdot \cdot ,F_{4}} são primos. No entanto, esta conjectura foi refutada por Leonhard Euler em 1732, quando ele mostrou que F 5 = 2 2 5 + 1 = 2 32 + 1 = 4294967297 = 641 × 6700417. {\displaystyle F_{5}=2^{2^{5}}+1=2^{32}+1=4294967297=641\times 6700417.\;} Euler provou que todo o elemento de F n {\displaystyle F_{n}} deve ter a forma que k 2 n + 1 + 1 {\displaystyle k2^{n+1}+1} (depois melhorou para k 2 n + 2 + 1 {\displaystyle k2^{n+2}+1} por Lucas). O fato de que 641 é um fator de F 5 {\displaystyle F_{5}} pode ser facilmente deduzido a partir das igualdades 641 = 2 7 ∗ 5 + 1 {\displaystyle 641=2^{7}*5+1} e 641 = 2 4 + 5 4 {\displaystyle 641=2^{4}+5^{4}} . Segue-se a partir da primeira igualdade que 2 7 ∗ 5 ≡ − 1 ( mod 641 ) {\displaystyle 2^{7}*5\equiv -1{\pmod {641}}} e, portanto, (elevar à quarta potência) que 2 28 ∗ 5 4 ≡ 1 ( mod 641 ) {\displaystyle 2^{28}*5^{4}\equiv 1{\pmod {641}}} . Por outro lado, a segunda igualdade implica que 5 4 ≡ − 2 4 ( mod 641 ) {\displaystyle 5^{4}\equiv -2^{4}{\pmod {641}}} . Estes congruências implica que − 2 32 ≡ 1 ( mod 641 ) {\displaystyle -2^{32}\equiv 1{\pmod {641}}} .
Argumentos heurísticos para a densidade
O seguinte argumento heurístico sugere que há apenas alguns números primos finito de Fermat: de acordo com o teorema de número primo, a "probabilidade" de que um número n {\displaystyle n} ser primo é, no máximo, A ln n {\displaystyle {\frac {A}{\ln {n}}}} , em que A {\displaystyle A} é uma constante fixa. Portanto, o número esperado máximo de números primos Fermat é Ressalte-se que este argumento é de nenhuma maneira uma prova rigorosa. Por um lado, o argumento pressupõe que os números de Fermat se comportam "de forma aleatória", mas já vimos que os fatores de números de Fermat tem propriedades especiais. Se (mais sofisticada) consideramos o condicional probabilidade de que n {\displaystyle n} é primo, uma vez que sabemos todos os seus fatores primos excedem B {\displaystyle B} , como a mais A ln B ln n {\displaystyle A{\frac {\ln {B}}{\ln {n}}}} , em seguida, usando o teorema de Euler que o fator menos nobre de F n {\displaystyle F_{n}} excede 2 n + 1 {\displaystyle 2^{n+1}} , encontraríamos vez
Condições equivalentes de primalidade
Há uma série de condições que são equivalentes para a primalidade de F n {\displaystyle F_{n}} . em seguida, o símbolo de Jacobi acima é sempre igual a − 1 {\displaystyle -1} para a = 3 {\displaystyle a=3} , e neste caso especial do teorema de Proth é conhecido como teste de Pépin. Embora o teste de Pépin e teorema de Proth foram implementados em computadores para provar o grau de composição de alguns números de Fermat, nem o teste dá um fator não trivial específico. Na verdade, não existe fatores primos específicos conhecidos por n = 20 {\displaystyle n=20} e 24 {\displaystyle 24} .
Eis algumas questões em aberto a respeito dos números de Fermat:
