Equação diofantina
Na matemática, uma equação Diofantina é uma equação polinomial que permite a duas ou mais variáveis assumirem apenas valores inteiros. Uma equação linear Diofantina é uma equação entre duas somas de monômios de grau zero ou um.
Diofanto proporcionou um enorme avanço na álgebra e inspirou posteriormente outros matemáticos a investirem na teoria dos números, principalmente por que o mesmo Diofanto tivera reestruturado a álgebra grega através da sincopação, em que se adotam abreviações para algumas as quantidades e operações que se repetem com frequência. A maioria dos historiadores aponta que Diofanto situa-o no século III d.c., apesar de algumas evidencias apontarem que Este tenha sido contemporâneo a Herão. Além do fato de que sua carreira foi construída em Alexandria, nada mais se sabe ao certo sobre ele, embora na Antologia Grega se encontre em uma epigrama mais indícios de sua vida. Entre os trabalhos de Diofanto (Aritmética; Sobre Números Poligonais; Porisma) o que mais tem destaque é Aritmética, pois se constitui como a obra mais intacta do autor, contendo seis livros dos treze escritos por Diofanto. Nela há uma abordagem analítica da teoria da álgebra dos números se dedicando também a resolução de 130 problemas diversos que transcorrem entre equações do 1º e 2º graus. Há também a presença da resolução duma cúbica bem peculiar. Os problemas algébricos indeterminados em que se achem apenas soluções racionais ficaram conhecidos como “problemas diofantinos”, e este termo modernamente restringem as soluções a serem inteiras.
Questões comuns
Perguntas feitas em uma típica analise Diofantina incluem: Estes tipos de problemas tradicionais comumente ficam por séculos sem solução até alguns matemáticos começarem a entender sua profundidade (em alguns casos), ao invés de tratá-los como quebra-cabeças.
Problema comum
Um pai tem 1 ano a menos que o dobro da idade do filho, e que os dígitos AB que formam a idade do pai são revertidos na idade do filho, isto é, BA, leva a equação 19 B − 8 A = 1 {\displaystyle 19B-8A=1} . Resolvendo o problema obtemos 37 anos para o filho e 73 para o pai.
Séculos XVII e XVIII
Em 1637, Pierre de Fermat rasurou no canto da folha de seu livro de Aritmética: “É possível separar um cubo em dois cubos, ou a quarta potência em duas quarta potências, ou qualquer potência maior que dois em duas potências iguais?” Escrito em língua moderna, “A equação a n + b n = c n {\displaystyle a^{n}+b^{n}=c^{n}} não possui soluções para n maior que 2.” E então, ele escreveu, intrigado: “Eu considerei uma prova maravilhosa para esta proposição, porém a margem deste livro é muito pequena para contê-la.” Tal prova foi procurada por matemáticos por anos, sendo apenas encontrada em 1994, pelo matemático britânico Andrew Wiles. A equação ficou conhecida como o Último teorema de Fermat.
O décimo problema de Hilbert
No ano de 1900, David Hilbert propôs a solubilidade de todos os problemas Diofantinos como o décimo de seus celebrados problemas. Em 1970, o teorema de Matiyasevich estabeleceu um resultado negativo: No geral, problemas Diofantinos são insolúveis. A Geometria Diofantina, a qual é uma aplicação dos conceitos da geometria algébrica neste campo, tem continuado a crescer como resultado; já que tentar resolver equações arbitrárias não funciona, deve-se pensar em equações que também possuem significado geométrico. A ideia central da geometria Diofantina é de um ponto racional, dito a solução para um problema polinomial ou para um sistema de equações polinomiais, que é um vetor presente no campo K, quando K não é fechado algebricamente.
Estudos recentes
Uma das soluções é através do princípio de Hasse. A descida infinita é um método tradicional, que vem sendo extensivamente usado. A profundidade do estudo das equações Diofantinas é mostrada pela caracterização de conjuntos Diofantinos, descritos equivalentemente como conjuntos enumeravelmente recursivos. Em outras palavras, o problema geral da análise Diofantina é abençoado ou amaldiçoado com universalidade, e na maioria das vezes não é resolvido caso não expresso de outras maneiras. O campo de estudo da aproximação diofantina lida com o caso de desigualdade Diofantina. Nesta área, as variáveis deveriam ser integrais, porém alguns coeficientes podem vir a ser números irracionais. O sinal de igualdade então é substituído por limites superiores e inferiores.
Equações Diofantinas infinitas
Um exemplo de uma equações diofantina infinita é: a qual pode ser expressada da seguinte forma: "De quantas formas pode um inteiro N ser escrito como a soma de um quadrado mais a soma do dobro de um quadrado mais a soma do triplo de um quadrado e assim sucessivamente?" O número de vezes as quais isso pode ser feito para cada N forma uma sequência de inteiros. Equações Diofantinas infinitas são relacionadas com funções teta e retículos dimensionais infinitos. A equação sempre possui uma solução para qualquer N {\displaystyle N} positivo. Compare isso com: a qual nem sempre possui uma solução para um N {\displaystyle N} positivo.
Equações Diofantinas Lineares
Equações diofantinas lineares assumem a forma a x + b y = c {\displaystyle ax+by=c} . Esse tipo de equações resolve muitos problemas na Aritmética. Os teoremas a seguir nos descrevem condições e possíveis soluções para essas equações. "A equação diofantina m x + n y = c {\displaystyle mx+ny=c} , com m , n {\displaystyle m,n} e c {\displaystyle c} inteiros, admite solução se, e somente se, o m d c ( m , n ) {\displaystyle {mdc(m,n)}} divide c {\displaystyle c} ." Demonstração: Sejam x 0 {\displaystyle x_{0}} e y 0 {\displaystyle y_{0}} soluções particulares da equação m x + n y = c {\displaystyle mx+ny=c} . Como o m d c ( m , n ) {\displaystyle {mdc(m,n)}} divide m {\displaystyle m} e divide n {\displaystyle n} , ele também divide m x 0 + n y 0 {\displaystyle mx_{0}+ny_{0}} , e como x 0 {\displaystyle x_{0}} e y 0 {\displaystyle y_{0}} é uma solução então m x 0 + n y 0 = c {\displaystyle mx_{0}+ny_{0}=c} e m d c ( m , n ) {\displaystyle {mdc(m,n)}} divide c {\displaystyle c} . De mesmo modo, suponha que o m d c ( m , n ) {\displaystyle {mdc(m,n)}} divida c {\displaystyle c} , então c = m d c ( m , n ) . k {\displaystyle c=mdc(m,n).k} , para algum k {\displaystyle k} inteiro. Por outro lado, sabemos que existem inteiros a {\displaystyle a} e b {\displaystyle b} , tais que m d c ( m , n ) . k = m a + n b {\displaystyle mdc(m,n).k=ma+nb} (i). Multiplicando (i) por k {\displaystyle k} , teremos: m d c ( m , n ) . k = m a + n b ⇒ c = m ( a k ) + n ( b k ) {\displaystyle mdc(m,n).k=ma+nb\Rightarrow c=m(ak)+n(bk)} , e então existe ( a k , b k ) {\displaystyle (ak,bk)} que é solução da equação. Há ainda uma quantidade infinita de soluções se c {\displaystyle c} for um múltiplo do maior divisor comum de m {\displaystyle m} e n {\displaystyle n} . Caso contrário, a equação Diofantina m x + n y = c {\displaystyle mx+ny=c} não possui solução.
Equações Diofantinas exponencias
Se uma equação Diofantina possui uma variável adicional ou variáveis ocorrendo como expoentes, ela é classificada como uma equação Diofantina exponencial. Um exemplo é a equação de Ramanujan-Nagell, 2 n − 7 = x 2 {\displaystyle 2^{n}-7=x^{2}} ; Tais equações não possuem uma teoria central; casos particulares como a conjectura de Catalan foram combatidas. Apesar disso, a maioria dos problemas são resolvidos usando-se métodos ad-hoc ou até mesmo através de tentativa e erro.
