Volume
Volume é uma medida de regiões do espaço tridimensional. A unidade derivada do Sistema Internacional usada para expressá-lo é o metro cúbico, de símbolo m3. O litro, equivalente a um decímetro cúbico, é uma unidade não pertencente ao SI. Também se utilizam unidades imperiais e unidades usuais nos Estados Unidos, como o galão, o quarto e a polegada cúbica. O volume tem dimensão física igual ao cubo do comprimento. O volume interno de um recipiente corresponde à sua capacidade, isto é, à quantidade de fluido, gasoso ou líquido, que pode conter. Essa capacidade não deve ser confundida com o volume ocupado pelo material do recipiente. Por metonímia, o termo "volume" também pode designar a própria região tridimensional, como em volume delimitador.
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Antiguidade
No Antigo Egito, problemas matemáticos abordavam o cálculo de volumes. O problema 14 do Papiro de Moscou apresenta um procedimento correto para obter o volume de um tronco de pirâmide de base quadrada. O Papiro Reisner contém uma tabela com comprimento, largura, profundidade e volume de blocos de material. Os egípcios usavam suas unidades de comprimento, o côvado, a palma e o dedo, para estabelecer unidades de volume. O côvado de volume correspondia a 1 côvado × 1 côvado × 1 côvado. A palma de volume equivalia a 1 côvado × 1 côvado × 1 palma, e o dedo de volume, a 1 côvado × 1 côvado × 1 dedo. A palma de volume não era, portanto, uma palma cúbica.
Cálculo e padronização das unidades
Na Idade Média, empregavam-se unidades de capacidade como o sester, o amber, o coomb e o seam. Na Inglaterra, os regulamentos reunidos sob o nome Assize of Bread and Ale fixavam relações entre os preços dos cereais, o peso do pão e o preço de determinadas quantidades de cerveja. Esses regulamentos circularam em versões diferentes, separados ou reunidos em um mesmo texto. Em 1618, a London Pharmacopoeia, um catálogo de preparações medicinais, adotou o galão romano como medida básica para líquidos e apresentou uma tabela de conversão entre medidas de capacidade e pesos dos boticários. O galão romano também recebia o nome de côngio. No século XVII, Bonaventura Cavalieri desenvolveu o método dos indivisíveis para estudar áreas e volumes. O princípio de Cavalieri estabelece que dois sólidos têm o mesmo volume se suas seções por planos paralelos, tomadas em alturas correspondentes ao longo de toda a extensão dos sólidos, têm áreas iguais. Os trabalhos de Pierre de Fermat, Isaac Barrow, Isaac Newton e Gottfried Wilhelm Leibniz levaram ao desenvolvimento do cálculo diferencial e integral. John Wallis estudou quadraturas por métodos aritméticos, e James Gregory trabalhou na relação entre quadraturas e tangentes. No século XVIII, Maria Gaetana Agnesi reuniu métodos de cálculo em Instituzioni analitiche ad uso della gioventù italiana.
Adoção do sistema métrico e redefinições
Em 7 de abril de 1795, a legislação francesa estabeleceu unidades do sistema métrico, entre elas o estere, equivalente a 1 m3, para lenha, e o litro, equivalente a 1 dm3, para líquidos e materiais secos. O grama foi definido a partir da massa de um centímetro cúbico de água pura à temperatura de fusão do gelo. Em 1824, o galão imperial foi definido a partir do volume ocupado por aproximadamente 4,536 kg de água a 16,7 °C. A Lei de Pesos e Medidas de 1985, do Reino Unido, expressa seu valor como exatamente 4,54609 litros. Em 1901, a definição internacional do litro passou a ser o volume ocupado por 1 kg de água pura em sua densidade máxima e sob pressão atmosférica padrão. Essa definição não coincidia exatamente com o decímetro cúbico. Em 1964, foi revogada, e o litro voltou a ser um nome especial para o decímetro cúbico.
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Como medida de regiões do espaço euclidiano, o volume é não negativo. É também monótono, pois uma região contida em outra não pode ter volume maior que ela. Os volumes de regiões mensuráveis disjuntas podem ser somados para obter o volume de sua união. Essa aditividade permite decompor sólidos em partes menores e calcular seus volumes separadamente. No cálculo integral, o elemento de volume, geralmente escrito como d V {\displaystyle dV} , expressa a contribuição infinitesimal utilizada na integração. Sua expressão depende do sistema de coordenadas. Na teoria da medida, o volume de conjuntos limitados do espaço euclidiano pode ser formalizado pela medida de Jordan quando o conjunto é mensurável nesse sentido. A medida de Lebesgue estende a noção a uma classe maior de conjuntos e coincide com a medida de Jordan nos conjuntos mensuráveis de Jordan. Em uma variedade riemanniana orientada, a métrica e a orientação determinam uma forma de volume, que permite definir a medida correspondente na variedade.
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O volume pode ser determinado pelas dimensões de um objeto, pelo preenchimento de um recipiente de capacidade conhecida ou por instrumentos graduados. Na medição por recipientes, a quantidade é expressa como um múltiplo ou uma fração de sua capacidade. Para materiais granulares, é necessário distinguir o volume dos grãos do volume ocupado pelo conjunto, que também contém espaços vazios. O modo de preencher e compactar o recipiente pode alterar esse último volume. O volume de um sólido irregular pequeno pode ser medido por deslocamento de líquido, desde que o objeto possa ser totalmente imerso, sem dissolução, reação ou absorção que altere a medição. Mede-se primeiro o volume do líquido, submerge-se o objeto e faz-se uma nova leitura. A diferença entre as duas leituras corresponde ao volume deslocado pelo objeto. A pipeta de deslocamento de ar é utilizada em biologia e bioquímica para medir e transferir pequenos volumes de líquidos, frequentemente expressos em microlitros. Copos medidores e colheres medidoras são usados na culinária. Em laboratórios, empregam-se instrumentos como provetas, pipetas, buretas e balões volumétricos, escolhidos em função do volume e da incerteza de medição aceitável. A ISO 4787 estabelece métodos de teste, calibração e uso de instrumentos volumétricos de vidro e plástico.
Unidades
Uma unidade de volume pode ser definida pelo volume de um cubo unitário, cujas arestas têm comprimento igual a uma unidade. Quando se escolhe o metro como unidade de comprimento, a unidade de volume correspondente é o metro cúbico, m3. A dimensão física do volume é L3. As unidades métricas de volume utilizam prefixos métricos, que correspondem a potências de dez. Em unidades de comprimento elevadas ao cubo, a potenciação abrange também o prefixo. Por exemplo, 2,3 cm3 = 2,3 × (0,01 m)3 = 0,0000023 m3. Entre as unidades usadas estão o milímetro cúbico, mm3, o centímetro cúbico, cm3, o decímetro cúbico, dm3, o metro cúbico, m3, e o quilômetro cúbico, km3. As conversões incluem 1.000 mm3 = 1 cm3, 1.000 cm3 = 1 dm3 e 1.000 dm3 = 1 m3. O litro equivale exatamente a 1 dm3 = 1.000 cm3 = 0,001 m3. Seus submúltiplos incluem o mililitro, mL, o centilitro, cL, e o decilitro, dL. Assim, 1.000 mL = 1 L, 10 mL = 1 cL, 10 cL = 1 dL e 10 dL = 1 L.
Capacidade e volume
A capacidade volumétrica é o volume que um recipiente pode conter nas condições especificadas de uso. O volume efetivamente contido pode ser menor que essa capacidade. A massa de líquido que cabe no recipiente depende de sua densidade. Limites estruturais de carga são uma restrição diferente da capacidade volumétrica. Por exemplo, se um tanque de aproximadamente 7,95 milhões de litros fica completamente cheio com 7.200 t de óleo combustível, não comportará a mesma massa de um líquido de menor densidade, como a nafta. Para uma massa fixa, um líquido menos denso ocupa maior volume.
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Formas básicas
Para formas como o cubo, o paralelepípedo retângulo e o cilindro, a fórmula do volume é a mesma usada para um prisma, a área da base multiplicada pela altura. A altura é medida perpendicularmente aos planos das bases. Para sólidos cuja área da seção transversal varia, o volume pode ser obtido pela integração das áreas das seções ao longo de um eixo. Se um paralelepípedo é gerado por três vetores u {\displaystyle \mathbf {u} } , v {\displaystyle \mathbf {v} } e w {\displaystyle \mathbf {w} } , seu volume é o valor absoluto do produto misto: V = | u ⋅ ( v × w ) | . {\displaystyle V=\left|\mathbf {u} \cdot (\mathbf {v} \times \mathbf {w} )\right|.} A expressão também pode ser escrita como o valor absoluto do determinante formado pelas coordenadas cartesianas dos três vetores.
Cálculo integral
O cálculo de volumes é uma aplicação do cálculo integral. Os sólidos de revolução são obtidos pela rotação de uma região plana em torno de uma reta situada no mesmo plano. A região pode ser delimitada por curvas planas. O método dos discos ou das arruelas utiliza seções perpendiculares ao eixo de rotação. Para rotação em torno do eixo x, sejam R ( x ) {\displaystyle R(x)} e r ( x ) {\displaystyle r(x)} os raios externo e interno de cada seção, com 0 ≤ r ( x ) ≤ R ( x ) {\displaystyle 0\leq r(x)\leq R(x)} . O volume é: V = π ∫ a b [ R ( x ) 2 − r ( x ) 2 ] d x . {\displaystyle V=\pi \int _{a}^{b}\left[R(x)^{2}-r(x)^{2}\right]\,dx.} Quando r ( x ) = 0 {\displaystyle r(x)=0} , as seções são discos. Os raios são distâncias ao eixo de rotação, não necessariamente os valores das funções que delimitam a região.:3–5
Modelagem geométrica
Uma malha poligonal representa a superfície de um objeto por meio de polígonos. Uma malha volumétrica subdivide também o interior do objeto em células tridimensionais, como tetraedros, permitindo representar o domínio interno e suas fronteiras.
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Na termodinâmica, o volume é uma grandeza extensiva. Para uma substância homogênea mantida no mesmo estado, a duplicação da quantidade de matéria duplica o volume. A temperatura é uma grandeza intensiva. O volume não é uma grandeza conservada em geral. Sólidos e líquidos também podem mudar de volume com a temperatura. Para pequenas variações de temperatura, sem mudança de fase e a pressão constante, a dilatação volumétrica pode ser aproximada por Δ V = β V 0 Δ T {\displaystyle \Delta V=\beta V_{0}\Delta T} , em que β {\displaystyle \beta } é o coeficiente de dilatação volumétrica e V 0 {\displaystyle V_{0}} é o volume inicial.
