Triângulo
No plano, o triângulo é a figura geométrica que ocupa o espaço interno limitado por três segmentos de reta que concorrem, dois a dois, em três pontos diferentes formando três lados e três ângulos internos que somam 180°. Também se pode definir um triângulo em superfícies gerais. Nesse caso, são chamados de triângulos geodésicos e têm propriedades diferentes. Também podemos dizer que o triângulo é a união de três pontos não-colineares, por três segmentos de reta.
Na geometria euclidiana plana, define-se um triângulo da seguinte forma: Dados três pontos, A , {\displaystyle A,} B {\displaystyle B} e C , {\displaystyle C,} não colineares, à reunião dos segmentos A B ¯ , {\displaystyle {\overline {AB}},} A C ¯ {\displaystyle {\overline {AC}}} e B C ¯ {\displaystyle {\overline {BC}}} chama-se triângulo A B C , {\displaystyle ABC,} denotado por △ A B C . {\displaystyle \triangle {ABC}.} △ A , B , C = A , B ¯ ∪ A , C ¯ ∪ B , C ¯ {\displaystyle \triangle {A,B,C}={\overline {A,B}}\cup {\overline {A,C}}\cup {\overline {B,C}}}
Diz-se que os lados A B ¯ , {\displaystyle {\overline {AB}},} A C ¯ , {\displaystyle {\overline {AC}},} B C ¯ {\displaystyle {\overline {BC}}} e os ângulos C ^ , {\displaystyle {\hat {C}},} B ^ {\displaystyle {\hat {B}}} e A ^ {\displaystyle {\hat {A}}} são, respectivamente, opostos.
Os triângulos podem ser classificados conforme as relações entre seus lados ou entre seus ângulos.
Quanto aos lados
Quanto aos lados, há três tipos de triângulos: equiláteros, isósceles e escalenos. Um triângulo é equilátero se, e somente se, os três lados forem congruentes, isso significa que um triângulo equilátero é um triângulo que possui todos os lados congruentes, ou seja, iguais. Um triângulo equilátero é também equiângulo: todos os seus ângulos internos são congruentes (medem 60°), sendo, portanto, classificado como um polígono regular. Um triângulo é isósceles se, e somente se, pelo menos dois de seus três lados forem congruentes. Isso significa que um triângulo isósceles possui pelo menos dois lados de mesma medida. Assim, todo triângulo equilátero é, consequentemente, um caso especial de triângulo isósceles, que apresenta não somente dois, mas todos os lados congruentes. Num triângulo isósceles, o ângulo formado pelos lados congruentes é chamado ângulo do vértice. Os demais ângulos denominam-se ângulos da base e são congruentes.
Ângulos
Quanto aos ângulos, pode-se ter três tipos de triângulo: retângulo, obtusângulo e acutângulo.
Para que se possa construir um triângulo é necessário que a medida de qualquer um dos lados seja menor que a soma das medidas dos outros dois e maior que o valor absoluto da diferença entre essas medidas. | b − c | < a < b + c {\displaystyle |b-c|<a<b+c}
Fatos elementares sobre triângulos foram apresentados por Euclides nos livros 1-4 de sua obra Elementos aproximadamente em 300 a.C. Um triângulo é um polígono. Dois triângulos são ditos semelhantes se um pode ser obtido pela expansão uniforme do outro. Este é o caso se, e somente se, seus ângulos correspondentes forem iguais, e isso ocorre, por exemplo, quando dois triângulos compartilham um ângulo e os lados opostos a esse ângulo são paralelos entre si. O fato crucial sobre triângulos similares é que os comprimentos de seus lados são proporcionais. Isto é, se o maior lado de um triângulo é duas vezes o maior lado do triângulo similar, diz-se, então, que o menor lado será também duas vezes maior que o menor lado do outro triângulo, e o comprimento do lado médio será duas vezes o valor do lado correspondente do outro triângulo. Assim, a razão do maior lado e o menor lado do primeiro triângulo será a mesma razão do maior lado e o menor lado do outro triângulo.
A área de um triângulo é a metade do produto da medida da sua altura pela medida da sua base. Assim, a área do triângulo pode ser calculada pela fórmula: A = ( B ⋅ h ) 2 , {\displaystyle A={(B\cdot h) \over 2},} onde h é a altura do triângulo, b a medida da base. Se o triângulo for equilátero de lado l, sua área A pode ser obtida com: A = l 2 3 4 . {\displaystyle A={l^{2}{\sqrt {3}} \over 4}.} Ou então usando sua altura h e a fórmula da base vezes a altura. A altura h de um triângulo equilátero é: h = l 3 2 . {\displaystyle h={l{\sqrt {3}} \over 2}.} Vale notar que essas duas fórmulas para os triângulos equiláteros são obtidas usando as funções seno ou cosseno e usando a altura do triângulo, que o divide ao meio em dois triângulos retângulos iguais. Outra maneira de calcular sua área é através do teorema de Herão (ou Heron), também conhecido como fórmula do semiperímetro: A = s ⋅ ( s − a ) ⋅ ( s − b ) ⋅ ( s − c ) , {\displaystyle A={\sqrt {s\cdot (s-a)\cdot (s-b)\cdot (s-c)}},} em que: s = ( a + b + c ) 2 {\displaystyle s={(a+b+c) \over 2}} é o semiperímetro.
Mediatriz
A mediatriz é a reta perpendicular a um lado do triângulo, traçada pelo seu ponto médio. As três mediatrizes de um triângulo se encontram em um único ponto, o circuncentro, que é o centro da circunferência circunscrita ao triângulo, que passa pelos três vértices do triângulo. O diâmetro dessa circunferência pode ser achado pela lei dos senos. O teorema de Tales (ou lei angular de Tales) determina que se o circuncentro estiver localizado em um lado do triângulo, o ângulo oposto a este lado será reto. Determina também que se o circuncentro estiver localizado dentro do triângulo, este será acutângulo; se o circuncentro estiver localizado fora do triângulo, este será obtusângulo.
Altura
Altura é um segmento de reta perpendicular a um lado do triângulo ou ao seu prolongamento, traçado pelo vértice oposto. Esse lado é chamado base da altura, e o ponto onde a altura encontra a base é chamado de pé da altura. O ponto de interseção das três alturas de um triângulo denomina-se ortocentro (H). No triângulo acutângulo, o ortocentro é interno ao triângulo; no triângulo retângulo, é o vértice do ângulo reto; e no triângulo obtusângulo é externo ao triângulo. Os três vértices juntos com o ortocentro forma um sistema ortocêntrico. A altura de todo e qualquer triângulo é dado pela fórmula: h 2 = b 2 − ( c − x ) ( c + x ) ⋅ {\displaystyle h^{2}={b^{2}-(c-x)(c+x)\cdot }}
Mediana
Mediana é o segmento de reta que une cada vértice do triângulo ao ponto médio do lado oposto. A mediana relativa à hipotenusa em um triângulo retângulo mede metade da hipotenusa. O ponto de interseção das três medianas é o baricentro ou centro de gravidade do triângulo. O baricentro divide a mediana em dois segmentos. O segmento que une o vértice ao baricentro vale o dobro do segmento que une o baricentro ao lado oposto deste vértice. No triângulo equilátero, as medianas, mediatrizes, bissetrizes e alturas são coincidentes. No isósceles, apenas as que chegam ao lado diferente, no escaleno, nenhuma delas. Ainda para o triângulo Isósceles, vale ressaltar que a formação da bissetriz, coincidindo com o ponto médio de sua base, divide três semirretas iguais, as quais são percebidas com a inscrição do círculo formado pelo incentro da bissetriz, onde há duas semirretas, as quais serão o raios do círculo, sendo assim, dividindo-se em três partes iguais a altura do triângulo (que também coincide com a mediana e a bissetriz, cada 1 3 {\displaystyle {\dfrac {1}{3}}} ), explicam-se as relações de a semirreta que parte do ponto central do círculo até o lado do triângulo valer o mesmo que o raio, isto é, 1 3 {\displaystyle {\dfrac {1}{3}}} e que o resto até o vértice oposto a esse lado valer 2 3 . {\displaystyle {\dfrac {2}{3}}.}
Bissetriz
A bissetriz interna de um triângulo corresponde ao segmento de reta que parte de um vértice, e vai até o lado oposto do vértice em que partiu, dividindo o seu ângulo em dois ângulos congruentes. Em um triângulo há três bissetrizes internas, sendo que o ponto de interseção delas chama-se incentro. O círculo que tem o incentro como centro e é tangente aos três lados do triângulo é denominado círculo inscrito. Já a bissetriz externa é o segmento da bissetriz de um ângulo externo situado entre o vértice e a interseção com o prolongamento do lado oposto. As bissetrizes externas duas a duas têm um ponto de interseção, denominado ex-incentro relativo ao lado que contêm os vértices pelos quais passam essas retas.
Reta de Euler
É a reta que contém o ortocentro, o baricentro e o circuncentro (os centros).
Círculo dos Nove Pontos
É a circunferência que contém os pontos médios dos lados, os pés das alturas, e os pontos médios dos segmentos que unem o ortocentro aos vértices.
O teorema da base média do triângulo afirma que, dado um triângulo qualquer, o segmento com extremos nos pontos médios de dois lados desse triângulo é paralelo ao terceiro lado, e sua medida é igual a metade desse terceiro lado.
Demonstração
Dado um △ A B C {\textstyle \triangle ABC} qualquer, sendo M ponto médio do lado A B ¯ {\textstyle {\overline {AB}}} e N o ponto médio do lado A C ¯ . {\textstyle {\overline {AC}}.} Queremos mostrar que M N ¯ / / B C ¯ {\textstyle {\overline {MN}}/\!/{\overline {BC}}} e ainda M N = 1 2 B C . {\textstyle MN={\frac {1}{2}}BC.} Hipótese: { A M ¯ ≡ M B ¯ A N ¯ ≡ N C ¯ {\textstyle \left\{{\begin{matrix}{\overline {AM}}\equiv {\overline {MB}}\\{\overline {AN}}\equiv {\overline {NC}}\end{matrix}}\right.\quad \quad } Tese: { M N ¯ / / B C ¯ M N = ( 1 2 ) B C {\textstyle \left\{{\begin{matrix}{\overline {MN}}/\!/{\overline {BC}}\\MN=\left({\frac {1}{2}}\right)BC\end{matrix}}\right.}
