Transformada de Fourier
Em matemática, a transformada de Fourier é uma transformada integral que expressa uma função em termos de funções de base sinusoidal. Existem diversas variações diretamente relacionadas desta transformada, dependendo do tipo de função a transformar. A transformada de Fourier, epônimo a Jean-Baptiste Joseph Fourier, decompõe uma função temporal em frequências, tal como um acorde de um instrumento musical pode ser expresso como a amplitude das suas notas constituintes. A transformada de Fourier de uma função temporal é uma função de valor complexo da frequência, cujo valor absoluto representa a soma das frequências presente na função original e cujo argumento complexo é a fase de deslocamento da base sinusoidal naquela frequência.
Diversas notações são convencionadas para denotar a transformação de Fourier de uma função f : R → C {\displaystyle \mathrm {f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {C} } } . Utilizaremos a seguinte representação: A afirmação de que f {\displaystyle \mathrm {f} } pode ser reconstruída a partir de f ^ {\displaystyle \mathrm {\hat {f}} } é conhecida como o teorema da inversão de Fourier e foi introduzido no estudo Analytical Theory of Heat, de Fourier, apesar de que a definição moderna de demonstração teria sido construída muito tempo depois. As funções f {\displaystyle \mathrm {f} } e f ^ {\displaystyle \mathrm {\hat {f}} } são conhecidas como par integral de Fourier.
Uma motivação para a transformada de Fourier vêm do estudo da série de Fourier. Nesse estudo, funções complicadas porém periódicas são escritas como o somatório de ondas simples matematicamente representadas por senos e cossenos. A transformada de Fourier é uma extensão da série de Fourier que resulta quando o período da função representada é maximizado, aproximando-se do infinito. Devido às propriedades dos senos e dos cossenos, é possível determinar a amplitude de cada onda da série de Fourier utilizando uma integração. Em muitos casos é desejável usar a identidade de Euler, e ± i 2 π ϕ ≡ cos ( 2 π ϕ ) ± i sen ( 2 π ϕ ) {\displaystyle \mathrm {e^{\pm i2\pi \phi }\equiv \cos(2\pi \phi )\pm i\operatorname {sen}(2\pi \phi )} } , para escrever a série de Fourier em termos de ondas básicas e i 2 π ϕ {\displaystyle \mathrm {e^{i2\pi \phi }} } . Esse procedimento possui a vantagem de simplificar muitas fórmulas envolvidas e provém uma formulação da série de Fourier que relembra a definição utilizada nesse artigo. Reescrevendo senos e cossenos como exponenciais complexas torna necessário que os coeficientes de Fourier sejam valores complexos. A intepretação usual desse número complexo é que ele fornece ambas amplitude (ou tamanho) da onda presente na função e a fase (ou ângulo inicial) da onda. Essas exponenciais complexas algumas vezes possuem "frequências" negativas. Se ϕ {\displaystyle \mathrm {\phi } } é medido em segundos, então ambas ondas e i 2 π ϕ {\displaystyle \mathrm {e^{i2\pi \phi }} } e e − i 2 π ϕ {\displaystyle \mathrm {e^{-i2\pi \phi }} } completam um ciclo por segundo mas representam frequências diferentes na transformada de Fourier. Assim, frequência não mais mede o número de ciclos por unidade de tempo, mas ainda possui interpretação similar.
Assume-se aqui que f ( t ) {\displaystyle \mathrm {f(t)} } , g ( t ) {\displaystyle \mathrm {g(t)} } e h ( t ) {\displaystyle \mathrm {h(t)} } são funções integráveis: Lebesgue-mensuráveis no domínio R {\displaystyle \mathbb {R} } satisfazendo ∫ − ∞ ∞ | f ( t ) | d t < ∞ {\displaystyle \mathrm {\int _{-\infty }^{\infty }|f(t)|\operatorname {d} \!t<\infty } } . Denota-se as transformadas de Fourier destas funções como f ^ ( ω ) {\displaystyle \mathrm {{\hat {f}}(\omega )} } , g ^ ( ω ) {\displaystyle \mathrm {{\hat {g}}(\omega )} } e h ^ ( ω ) {\displaystyle \mathrm {{\hat {h}}(\omega )} } , respectivamente. A convergência das somas parciais da série de Fourier de uma função suave por partes em torno de um salto apresenta oscilações cujas amplitudes não convergem para zero. A convergência ponto a ponto acontece, no entanto ao analisar o valor absoluto da diferença entre a função e a soma parcial tem-se que o valor é aproximadamente 8,9% da amplitude do salto.
Propriedades básicas
A transformada de Fourier possui as seguintes propriedades básicas: Para quaisquer números complexos a {\displaystyle \mathrm {a} } e b {\displaystyle \mathrm {b} } , se f ( t ) = a g ( t ) + b h ( t ) {\displaystyle \mathrm {f(t)=a\ g(t)+b\ h(t)} } , então f ^ ( ω ) = a g ^ ( ω ) + b h ^ ( ω ) . {\displaystyle \mathrm {{\hat {f}}(\omega )=a\ {\hat {g}}(\omega )+b\ {\hat {h}}(\omega )} \ .} Essa demonstração vem direto da propriedade de linearidade da integral. Seja: F { f ( t ) } {\displaystyle {\mathcal {F}}\{f(t)\}} = F { a g ( t ) + b h ( t ) } {\displaystyle {\mathcal {F}}\{a\ g(t)+b\ h(t)\}} Considerando uma função f ( t ) {\displaystyle f(t)} e sua transformada de Fourier F ( ω ) {\displaystyle {\mathcal {F}}(\omega )} , então:
Continuidade uniforme e o lema de Riemann-Lebesgue
A transformada de Fourier pode ser definida em alguns casos para funções não integráveis, mas as transformadas de Fourier de funções integráveis possuem várias propriedades fortes. A transformada de Fourier f̂ de qualquer função integrável f é uniformemente contínua e ‖ f ^ ‖ ∞ ≤ ‖ f ‖ 1 {\displaystyle \left\|{\hat {f}}\right\|_{\infty }\leq \left\|f\right\|_{1}} f ^ ( ξ ) → 0 as | ξ | → ∞ . {\displaystyle {\hat {f}}(\xi )\to 0{\text{ as }}|\xi |\to \infty .} No entanto, f ^ {\displaystyle {\hat {f}}} não precisa ser integrável. Por exemplo, a transformada de Fourier da função retangular, que é integrável, é a função sinc, que não é integrável de Lebesgue, porque suas integrais impróprias se comportam analogamente à série harmônica alternada, convergindo para uma soma sem ser absolutamente convergente. Geralmente não é possível escrever a transformada inversa como uma integral de Lebesgue. No entanto, quando f e f ^ {\displaystyle {\hat {f}}} são integráveis, a igualdade inversa
Teorema de Parseval
Artigos principais: Dualidade de Pontryagin, Teorema de Plancherel e Teorema de Parseval. Seja f(t) uma função real ou complexa e F(w) sua transformada de Fourier, então vale a seguinte identidade: ∫ − ∞ ∞ ∣ f ( t ) ∣ 2 d t = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ ∣ F ( ω ) ∣ 2 d ω {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\mid f(t)\mid ^{2}dt={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\mid F(\omega )\mid ^{2}d\omega } Demonstração: Partiremos da representação da função f(t) em sua forma integral de Fourier: f ( t ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ F ( ω ) e i ω t d ω {\displaystyle f(t)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }F(\omega )e^{i\omega t}\,d\omega } f ( t ) ¯ = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ F ( ω ) ¯ e − i ω t d ω {\displaystyle {\overline {f(t)}}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\overline {F(\omega )}}e^{-i\omega t}\,d\omega }
Princípio da incerteza
No contexto das propriedades da Transformada de Fourier, o Princípio da Incerteza expressa a seguinte estimativa: ∫ − ∞ ∞ | t f ( t ) | 2 d t ⋅ ∫ − ∞ ∞ | ω F ( ω ) | 2 d ω ≥ π 2 | ∫ − ∞ ∞ | f ( t ) | 2 d t | 2 {\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }\left\vert tf(t)\right\vert ^{2}dt\cdot \int \limits _{-\infty }^{\infty }\left\vert \omega F(\omega )\right\vert ^{2}d\omega \geq {\pi \over 2}\left\vert \int \limits _{-\infty }^{\infty }\left\vert f(t)\right\vert ^{2}dt\right\vert ^{2}} , válida para uma f ( t ) {\displaystyle f(t)} real que satisfaça lim t → ± ∞ f ( t ) = 0 {\displaystyle \lim _{t\to \pm \infty }f(t)=0} e que tenha F ( ω ) = F { f ( t ) } {\displaystyle F(\omega )={\mathcal {F}}\{f(t)\}} como sua transformada de Fourier.
Diferenciação
Suponha que f {\displaystyle \mathrm {f} } seja uma função diferenciável e ambas f {\displaystyle \mathrm {f} } e sua derivada f ′ {\displaystyle \mathrm {f'} } são integráveis. Então a transformada de Fourier da derivada é dada por: f ′ ^ ( ω ) = i ω f ^ ( ω ) . {\displaystyle \mathrm {{\widehat {f'}}(\omega )=i\omega {\hat {f}}(\omega )} \ .} F { f ′ ( t ) } = ∫ − ∞ ∞ f ′ ( t ) e − i ω t d t {\displaystyle {\mathcal {F}}\{f'(t)\}=\int _{-\infty }^{\infty }f'(t)e^{-i\omega t}dt} F { f ′ ( t ) } = [ f ( t ) e − i ω t ] − ∞ ∞ − ∫ − ∞ ∞ − i ω f ( t ) e − i ω t d t {\displaystyle {\mathcal {F}}\{f'(t)\}={\big [}f(t)e^{-i\omega t}{\big ]}_{-\infty }^{\infty }-\int _{-\infty }^{\infty }-i\omega f(t)e^{-i\omega t}dt}
Teorema da convolução
A transformada de Fourier translada entre convolução e multiplicação de funções. Se g ( t ) {\displaystyle \mathrm {g(t)} } e h ( t ) {\displaystyle \mathrm {h(t)} } são funções integráveis com as transformadas de Fourier g ^ ( ω ) {\displaystyle \mathrm {{\hat {g}}(\omega )} } e h ^ ( ω ) {\displaystyle \mathrm {{\hat {h}}(\omega )} } , respectivamente, então a transformada de Fourier da convolução é dada pelo produto das transformadas de Fourier g ^ ( ω ) {\displaystyle \mathrm {{\hat {g}}(\omega )} } e h ^ ( ω ) {\displaystyle \mathrm {{\hat {h}}(\omega )} } . f ( t ) = g ( t ) ∗ h ( t ) = ∫ − ∞ ∞ g ( ν ) h ( t − ν ) d ν {\displaystyle \mathrm {f(t)=g(t)*h(t)=\int _{-\infty }^{\infty }g(\nu )h(t-\nu )d\nu } }
Forma trigonométrica
A forma exponencial da transformada de Fourier é definida como F ( w ) = F { f ( t ) } = ∫ − ∞ ∞ f ( t ) e − i w t d t {\displaystyle F(w)={\mathcal {F}}\left\{f(t)\right\}=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-iwt}dt} . Sendo uma função real, é possível separar em parcela real e imaginaria da transformada de Fourier: Assim, A ( w ) = ∫ − ∞ ∞ f ( t ) c o s ( w t ) d t {\displaystyle A(w)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t)cos(wt)dt} e B ( w ) = ∫ − ∞ ∞ f ( t ) s e n ( w t ) d t {\displaystyle B(w)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t)sen(wt)dt} Com esta definição pode-se escrever a função como: Sendo A(w) uma função par e B(w) uma função ímpar, temos:
O par de funções f ( t ) {\displaystyle \mathrm {f(t)} } e f ^ ( ω ) {\displaystyle \mathrm {{\hat {f}}(\omega )} } exibem propriedades interessantes com relação à simetria e à paridade. Por exemplo, se f ( t ) {\displaystyle \mathrm {f(t)} } for uma função par, f ^ ( ω ) {\displaystyle \mathrm {{\hat {f}}(\omega )} } também o é. Essas propriedades muitas vezes ajudam na análise e inclusive no cálculo da transformada. Por exemplo, se f ( t ) {\displaystyle \mathrm {f(t)} } for par, o intervalo de integração pode ser alterado para [ 0 , ∞ ] {\displaystyle [0,\ \infty ]} em lugar de [ − ∞ , ∞ ] {\displaystyle [-\infty ,\ \infty ]} , dobrando-se o valor calculado da integral. Algumas relações importantes estão listadas na tabela abaixo. Outro tipo de simetria relaciona-se ao conjugado complexo de f ( t ) {\displaystyle \mathrm {f(t)} } , denotado por f ( t ) ¯ {\displaystyle \mathrm {\overline {f(t)}} } , que só tem significado quando t {\displaystyle \mathrm {t} } é um número complexo. Se denotarmos a transformada de Fourier de f ( t ) {\displaystyle \mathrm {f(t)} } por f ^ ( ω ) {\displaystyle \mathrm {{\hat {f}}(\omega )} } , a transformada de f ( t ) ¯ {\displaystyle \mathrm {\overline {f(t)}} } será denotada por f ^ ( − ω ) ¯ {\displaystyle \mathrm {\overline {{\hat {f}}(-\omega )}} } , ou seja, a reflexão com relação ao eixo ω {\displaystyle \omega } do conjugado de f ^ ( ω ) {\displaystyle \mathrm {{\hat {f}}(\omega )} } . Os casos de interesse aparecem na tabela abaixo.
Análise de equações diferenciais parciais
Talvez a a aplicação de maior importância da transformada de Fourier seja a resolução de equações diferenciais parciais. Muitas das equações da física matemática do século XIX podem ser tratadas desta maneira. Fourier estudou a equação do calor, a qual em uma dimensão é Contudo, daremos um exemplo de dificuldade levemente maior, a equação da onda em uma dimensão, Aqui, o problema não resume-se a achar uma solução: existem infinitas. A dificuldade reside no chamado "problema de contorno": encontrar uma solução que satisfaça as "condições de contorno" Aqui, f ( t ) {\displaystyle \mathrm {f(t)} } e g ( t ) {\displaystyle \mathrm {g(t)} } não são funções fornecidas. Para a equação do calor, apenas uma condição de contorno pode ser fornecida(geralmente a primeira). Porém, para a equação da onda, existem infinitas soluções y ( x , t ) {\displaystyle \mathrm {y(x,t)} } que satisfazem a primeira condição de contorno. Contudo, quando as duas condições são impostas, existe apenas uma solução possível.
Espectroscopia
A transformada de Fourier também é utilizada em ressonância magnética nuclear e em outras tipos de espectroscopia, como a infravermelha. Na ressonância magnética nuclear um sinal de decaimento livre induzido em forma exponencial é adquirido no domínio do tempo e Fourier-transformado em uma linha com forma Lorentziana no domínio da frequência. A transformada de Fourier também é aplicada na ressonância magnética por imagem e em espectroscopia de massas. Cientistas usaram a transformação de Fourier como base do algoritmo que pode avaliar os objetivos de um microscópio em apenas alguns momentos, dependendo de uma única imagem. Isso pode ser especialmente valioso para os microscópios automatizados que começaram a aparecer nos laboratórios de pesquisa.
Mecânica quântica
A transformada de Fourier é útil na Mecânica Quântica de duas maneiras diferentes. Para começar, a Mecânica Quântica postula a existência de pares de variáveis complementares, ligados pelo princípio da incerteza de Heisenberg. Por exemplo, em uma dimensão, a variável espacial q de uma partícula, pode ser apenas medida pelo "operador de posição" à custa de perda de informações sobre o momento p {\displaystyle \mathrm {p} } da partícula. Portanto, o estado físico da partícula pode ser descrita por uma função, chamada "função de onda", de q {\displaystyle \mathrm {q} } ou por uma função de p {\displaystyle \mathrm {p} } , mas não por uma função de duas variáveis. A variável p {\displaystyle \mathrm {p} } é chamada de variável conjugada de q {\displaystyle \mathrm {q} } . Na Mecânica Clássica, o estado físico de uma partícula (existente em uma dimensão, para simplificação) seria dada atribuindo valores para ambos p {\displaystyle \mathrm {p} } e q {\displaystyle \mathrm {q} } simultaneamente. Assim, o conjunto de todos os estados físicos possíveis é o espaço vetorial real, bidimensional com um eixo- p {\displaystyle \mathrm {p} } e um eixo- q {\displaystyle \mathrm {q} } .
Processamento de sinais
A transformada de Fourier é aplicada para a análise espectral de séries temporais. O sujeito de processamento estatístico de sinal geralmente não aplica-se, contudo, a transformação de Fourier ao sinal em si. Mesmo se o sinal real é de fato transiente, têm sido encontrado em recomendação prática modelar o sinal por uma função (ou, alternativamente, um processo Estocástico) que é estacionário no sentido que suas propriedades características são constantes no eixo temporal. A transformada de Fourier de tal função não existe no sentido usual, e têm encontrado-se mais útil para a análise de sinais do que aplicar a transformada de Fourier de sua função autocorrelata.
A transformada de Fourier pode ser usada em aplicativos de celular como por exemplo Shazam . Jean Baptiste Joseph Fourier ao perceber que os sinais complicados poderiam ser representados através da simples soma de uma série de sinais mais simples. Ele escolheu fazer isso por meio da soma de senoides. O aplicativo Shazam, possui um banco de dados com diversas frequências de músicas gravadas, que foram transformadas em somas de senoides através de transformada de Fourier, sendo assim, reconhecer músicas de forma muito rápida.
Transformada de Laplace
A transformada de Fourier f ^ ( ω ) {\displaystyle \mathrm {{\hat {f}}(\omega )} } é relacionada à transformada de Laplace F ( s ) {\displaystyle \mathrm {F(s)} } , a qual também é utilizada para a solução de equações diferenciais e análise de filtros. É provável que uma função f {\displaystyle \mathrm {f} } para a qual a integral de Fourier não convirja no eixo R {\displaystyle \mathbb {R} } tenha uma transformada de Fourier complexa definida em alguma região do plano C {\displaystyle \mathbb {C} } . Por exemplo, se f ( t ) {\displaystyle \mathrm {f(t)} } é de crescimento exponencial, | f ( t ) | < C e a | t | {\displaystyle \mathrm {|f(t)|<C\ e^{a|t|}} } , para constantes C {\displaystyle \mathrm {C} } e a > 0 {\displaystyle \mathrm {a>0} } , então
Inversão
Se f ^ {\displaystyle \mathrm {\hat {f}} } não possui polos para a ⩽ τ ⩽ b {\displaystyle \mathrm {a\leqslant \tau \leqslant b} } , então ∫ − ∞ ∞ f ^ ( σ + i a ) e i ω t d σ = ∫ − ∞ ∞ f ^ ( σ + i b ) e i ω t d σ {\displaystyle \mathrm {\int _{-\infty }^{\infty }{\hat {f}}(\sigma +ia)e^{i\omega t}d\sigma =\int _{-\infty }^{\infty }{\hat {f}}(\sigma +ib)e^{i\omega t}d\sigma } } pelo teorema da integral de Cauchy. Portanto, a fórmula da inversão de Fourier pode utilizar integração sobre diferentes linhas, paralelas ao eixo R {\displaystyle \mathbb {R} } . Teorema: se f ( t ) = 0 {\displaystyle \mathrm {f(t)=0} } para t < 0 {\displaystyle \mathrm {t<0} } e | f ( t ) | < C e a | t | {\displaystyle \mathrm {|f(t)|<C\ e^{a|t|}} } para algumas constantes C {\displaystyle \mathrm {C} } e a > 0 , {\displaystyle \mathrm {a>0\ ,} } então
O método computacional apropriado depende principalmente de como a função matemática original é representada e da forma desejada de saída("output"). Como a definição fundamental de uma transformada de Fourier é uma integral, funções que podem ser expressadas como expressões de forma fechada("closed-form") são usualmente computadas trabalhando a integral analiticamente para obter uma expressão de forma fechada na variável conjugada como resultado. Este método é utilizado para gerar tabelas de transformadas de Fourier, incluindo aquelas encontradas nas tabelas abaixo. Muitos sistemas computacionais algébricos como Matlab e Mathematica que são capazes de integração simbólica são capazes de computar as transformadas de Fourier analiticamente. Por exemplo, para computar a transformada de Fourier de f ( t ) = e − π t 2 c o s ( 6 π t ) {\displaystyle \mathrm {f(t)=e^{-\pi t^{2}}cos(6\pi t)} } , escreve-se int cos(6*pi*t) exp(-pi*t^2) exp(-i*2*pi*f*t) from -inf to inf em Wolfram Alpha.
Integração numérica de funções de forma fechada
Se a função de entrada está em forma fechada e a função de saída desejada é uma série de pares ordenados sobre um domínio específico, então a transformada de Fourier pode ser gerada através de integração numérica em cada valor da variável conjugada de Fourier(frequência, por exemplo) para qual o valor da variável de saída é desejado. Nota-se que este método requere computar uma integração numérica separada para cada valor de frequência para qual o valor da transformada de Fourier é desejada. O método de integração numérica funciona em uma gama mais ampla de funções que o método analítico, porque produz resultados para funções que não possuem integrais de Fourier de forma fechada.
Integração numérica de uma série de pares ordenados
Se a função de entrada é uma série de pares ordenados(por exemplo, uma série temporal a partir da mensuração de uma variável de saída repetidamente em um intervalo de tempo) então a função de saída deve ser uma série de pares ordenados(por exemplo, um número complexo vs. frequência sobre um domínio especificado de frequências), a não ser que que certas hipóteses e aproximações sejam adotadas, permitindo que a função de saída seja aproximada por uma expressão de forma fechada. No caso geral onde as séries de pares ordenados de entrada são consideradas serem amostras que representam uma função contínua sobre um intervalo (amplitude vs. tempo, por exemplo), a série de pares ordenados que representam a função de saída podem ser obtidos através de integração numérica da informação de entrada sobre o intervalo disponível em cada valor da variável conjugada de Fourier(frequência, por exemplo) para qual o valor da transformada de Fourier é desejada.
Fórmula de somatório de Poisson (PSF)
A fórmula de somatório de Poisson (PSF) é uma equação que relaciona os coeficientes da série de Fourier de uma função com valores da Transformada de Fourier (que é contínua) da mesma função. Consequentemente, o somatório periódico de uma função é definido completamente por trechos discretos da Transformada de Fourier da função original. Inversamente, o somatório periódico da Transformada de Fourier de uma função é completamente definido por trechos discretos da função original. O somatório de Poisson relata que, para funções suficientemente regulares f {\displaystyle f} , ∑ n f ^ ( n ) = ∑ n f ( n ) {\displaystyle \sum _{n}{\hat {f}}(n)=\sum _{n}f(n)} .
Para uso em computadores, seja para aplicações científicas ou em processamento digital de sinais, é preciso ter valores x k {\displaystyle x_{k}} discretos. Para isso existe a versão da transformada para funções discretas. F ( u ) = 1 N ∑ x = 0 n − 1 f ( x ) e − j 2 π u x N u = 0 , … , N − 1 {\displaystyle F(u)={\frac {1}{N}}\sum _{x=0}^{n-1}f(x)e^{\frac {-j2\pi ux}{N}}\quad \quad u=0,\dots ,N-1} . f ( x ) = ∑ u = 0 n − 1 F ( u ) e j 2 π u x N u = 0 , … , N − 1 {\displaystyle f(x)=\sum _{u=0}^{n-1}F(u)e^{\frac {j2\pi ux}{N}}\quad \quad u=0,\dots ,N-1} Um método largamente utilizado para o cálculo computacional desta versão é a Transformada rápida de Fourier (em inglês fast Fourier transform, ou FFT), cuja complexidade é O(n log n) contra O(n2) necessários para o mesmo cálculo. Um equipamento que utiliza a Transformada Discreta de Fourier (FDT), Transformada rápida de Fourier em computadores, é o osciloscópio. Ele consegue transformar um ou dois sinais em um gráfico ao longo do tempo, no qual é possível analisar a tensão e outras grandezas ao longo do tempo. Entretanto, é possível analisar algumas grandezas no domínio da frequência também. Para isso, o equipamento realizada uma FDT e passa a emitir no display as grandezas no domínio do tempo. Ao estudar o comportamento de componentes elétricos, utiliza-se usualmente o domínio do tempo, entretanto, torna-se indispensável utilizar a FDT quando analisamos sinais. Em conjunto com a função FDT ( FFT em inglês), podemos utilizar a função cursor, no qual movemos uma linha ao longo do display para ver a frequência de cada pico e a tensão, podendo ver quanto que cada frequência representa no sinal total.
