Produto cartesiano
Em matemática, dados dois conjuntos X e Y, o produto cartesiano desses dois é o conjunto de todos os pares ordenados, cujo primeiro termo pertence a X; e o segundo, a Y.
Em teoria dos conjuntos e, em especial, na sua formulação pelos axiomas de Zermelo-Fraenkel, a definição de: Não é satisfatória. Devemos construir, usando os axiomas, um conjunto suficientemente grande para conter todos os pares ordenados, e, depois, reduzir este conjunto ao produto escalar pelo axioma da separação. Como um par ordenado é definido por ( a , b ) = { { a } , { a , b } } {\displaystyle (a,b)=\{\{a\},\{a,b\}\}} , temos que eles são conjuntos formados por subconjuntos da união dos conjuntos X e Y. Ou seja, cada par ordenado é um subconjunto do conjunto das partes de X ∪ Y {\displaystyle X\cup Y} . Portanto, o axioma da potência deve ser aplicado duas vezes sobre a união de X e Y, e sobre este conjunto aplica-se o axioma da separação. X × Y = { p ∈ P ( P ( X ∪ Y ) ) | p = { { x } , { x , y } } , x ∈ X , y ∈ Y } {\displaystyle X\times Y=\{p\in P(P(X\cup Y))\ |\ p=\{\{x\},\{x,y\}\},x\in X,y\in Y\}}
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O cardinal do produto cartesiano de dois conjuntos é o produto dos cardinais dos conjuntos individuais:
O produto cartesiano pode ser generalizado para mais de dois conjuntos: Um exemplo é o seguinte. Seja o conjunto L com três elementos: Um outro exemplo disso é o espaço euclidiano de três dimensões R × R × R {\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R} } .
Para expressar o produto cartesiano de um conjunto por si mesmo, está permitida a notação potencial: X × X × ⋯ × X ⏟ = X n n v e z e s {\displaystyle {\begin{matrix}&\underbrace {X\times X\times \cdots \times X} &=X^{n}\\&n\mathrm {vezes} \end{matrix}}} Assim, o mencionado espaço euclidiano tridimensional pode-se representar como R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} .
A observação de que a estrutura do produto cartesiano X n {\displaystyle X^{n}} tem uma estrutura semelhante ao conjunto das funções de domínio {1, 2, ..., n} e imagem X sugere que o produto cartesiano possa ser generalizado para infinitas parcelas, como um conjunto de funções. Seja Λ {\displaystyle \Lambda } um conjunto (não-vazio), chamado de conjunto de índices. Seja X λ {\displaystyle X_{\lambda }} um conjunto definido para cada índice λ ∈ Λ {\displaystyle \lambda \in \Lambda } (eles podem ser iguais ou não). Então o produto destes conjuntos é definido por:
Exemplo
Seja Λ = N ⋆ {\displaystyle \Lambda =\mathbb {N^{\star }} } , ou seja, estamos indexando pelos números naturais (sem o zero). Seja X i = { 1 , 2 , … , i } {\displaystyle X_{i}=\{1,2,\ldots ,i\}} . Então ∏ X i {\displaystyle \prod X_{i}} é o conjunto das sequências de números naturais em que o primeiro termo é 1, o segundo termo é 1 ou 2, o terceiro termo é 1, 2 ou 3, etc.
Axioma da Escolha
Um resultado paradoxal é que, usando os axiomas usuais da Teoria dos Conjuntos sem incluir o axioma da escolha, não é possível mostrar que o produto de conjuntos não-vazios tem algum elemento.
As funções mais importantes que tem como domínio um produto cartesiano são as projeções canônicas. No caso finito, a i-ésima projeção canônica é a função que retorna a i-ésima coordenada. No caso infinito, como cada elemento de Π λ X λ {\displaystyle \Pi _{\lambda }X_{\lambda }} é uma função, temos que:
Várias estruturas matemáticas são mantidas, de uma forma natural (canônica) ao se passar para os produtos cartesianos. Por exemplo: Todos estes conceitos podem ser unificados usando-se o produto categorial, definido na Teoria das categorias.
