Número inteiro

Imagem: Franciele da Rocha Krein · BY-SA · Openverse

Há diversos campos numéricos verificando as propriedades abaixo. Dizemos que eles têm uma mesma estrutura algébrica, a qual é chamada de anel de integridade. O campo dos inteiros, [ Z , + , ⋅ ] {\displaystyle [\mathbb {Z} ,+,\cdot ]} , é o mais simples e conhecido dos anéis de integridade, e tem o seguinte conjunto de propriedades básicas: Para todos a , b , c ∈ Z {\displaystyle a,b,c\in \mathbb {Z} } : i ) {\displaystyle i)} Unicidade do elemento neutro da multiplicação Vamos supor por absurdo que existem dois elementos neutros da multiplicação 1 {\displaystyle 1} e 1 ′ {\displaystyle 1'} , com 1 ≠ 1 ′ {\displaystyle 1\neq 1'} Como 1 {\displaystyle 1} é elemento neutro da multiplicação, então: 1 ′ ⋅ 1 = 1 ′ {\displaystyle 1'\cdot 1=1'} Como 1 ′ {\displaystyle 1'} é elemento neutro da multiplicação, então: 1 ⋅ 1 ′ = 1 {\displaystyle 1\cdot 1'=1} Temos: 1 ′ = 1 ′ ⋅ 1 = 1 ⋅ 1 ′ = 1 {\displaystyle 1'=1'\cdot 1=1\cdot 1'=1} [Comutatividade da multiplicação]

Imagem: STJNoticias · BY · Openverse

i ) {\displaystyle i)} Sendo a {\displaystyle a} e b {\displaystyle b} números inteiros: a + c = b + c ⇒ a = b , {\displaystyle \qquad a+c=b+c\Rightarrow a=b,} ∀ c ∈ Z {\displaystyle \forall c\in \mathbb {Z} } Observe que, para x = y , {\displaystyle x=y,} x , y ∈ Z {\displaystyle \quad x,y\in \mathbb {Z} } e z ∈ Z {\displaystyle z\in \mathbb {Z} } Logo temos, x + z = y + z {\displaystyle x+z=y+z} (vem da definição de soma em N {\displaystyle \mathbb {N} } ) a + c = b + c {\displaystyle \qquad a+c=b+c} ⇒ ( a + c ) + ( − c ) = ( b + c ) + ( − c ) {\displaystyle \qquad \Rightarrow (a+c)+(-c)=(b+c)+(-c)} ⇒ a + ( c − c ) = b + ( c − c ) {\displaystyle \qquad \Rightarrow a+(c-c)=b+(c-c)} [Associatividade] ⇒ a + 0 = b + 0 {\displaystyle \qquad \Rightarrow a+0=b+0} ⇒ a = b {\displaystyle \qquad \Rightarrow a=b} i i ) {\displaystyle ii)} Sendo a , b {\displaystyle a,b} e c {\displaystyle c} números inteiros

Imagem: Franciele da Rocha Krein · BY-SA · Openverse

Temos que se a > b {\displaystyle a>b} ou b < a {\displaystyle b<a} isso significa que a − b > 0 {\displaystyle a-b>0} Com isso os números inteiros ficam divididos em: Z + = { 0 , 1 , 2 , 3... } ⇒ {\displaystyle \mathbb {Z} ^{+}=\{0,1,2,3...\}\Rightarrow } Inteiros não negativos x ∈ Z : x ≥ 0 {\displaystyle \qquad x\in \mathbb {Z} :x\geq 0} Z − = { . . . , − 3 , − 2 , − 1 , 0 } ⇒ {\displaystyle \mathbb {Z} ^{-}=\{...,-3,-2,-1,0\}\Rightarrow } Inteiros não positivos x ∈ Z : x ≤ 0 {\displaystyle \qquad x\in \mathbb {Z} :x\leq 0} Z ∗ + = { 1 , 2 , 3 , . . . } ⇒ {\displaystyle \mathbb {Z} _{*}^{+}=\{1,2,3,...\}\Rightarrow } Inteiros positivos x ∈ Z : x > 0 {\displaystyle \qquad x\in \mathbb {Z} :x>0} Z ∗ − = { . . . , − 3 , − 2 , − 1 } ⇒ {\displaystyle \mathbb {Z} _{*}^{-}=\{...,-3,-2,-1\}\Rightarrow } Inteiros negativos x ∈ Z : x < 0 {\displaystyle \qquad x\in \mathbb {Z} :x<0} Observação: temos a > b ⇒ a − b > 0 , {\displaystyle a>b\Rightarrow a-b>0,} no caso particular a − 0 = a {\displaystyle a-0=a} , temos a > 0 {\displaystyle a>0} , somente se a ∈ { 1 , 2 , 3 , . . . } {\displaystyle a\in \{1,2,3,...\}}

Imagem: Sebástian Freire · BY-SA · Openverse

O valor absoluto de um número inteiro b {\displaystyle b} é a distância modular, e é definido como a distância do número até a origem(0): | b | = { b s e b ≥ 0 − b s e b < 0 {\displaystyle |b|={\begin{cases}b\ se\ b\geq 0\\-b\ se\ b<0\\\end{cases}}} Tomar o valor absoluto de um número inteiro consiste basicamente em deixá-lo inalterado se o número for positivo ou nulo, e apagar seu sinal, caso ele seja negativo. | − 2 | = 2 = | 2 | {\displaystyle |-2|=2=|2|} ,

Imagem: Franciele da Rocha Krein · BY-SA · Openverse

O divisor de um número inteiro a {\displaystyle a} , é todo inteiro b {\displaystyle b} capaz de transformar o inteiro a {\displaystyle a} num produto de inteiros: a = b . c {\displaystyle a=b.c} (para algum número inteiro c {\displaystyle c} ). Sempre que b {\displaystyle b} for divisor de a {\displaystyle a} , também costuma-se empregar as seguintes terminologias alternativas, sinônimas: {\displaystyle \qquad } "o inteiro b {\displaystyle b} divide a {\displaystyle a} ", o que pode ser abreviado com a notação: b | a {\displaystyle b|a} ; {\displaystyle \qquad } "o inteiro a {\displaystyle a} é múltiplo de b {\displaystyle b} " Os divisores de a = 4 {\displaystyle a=4} são b = − 2 , − 1 , 1 , 2 {\displaystyle b=-2,-1,1,2} Todos eles são não-nulos, e temos respectivamente: 4 = ( − 2 ) ⋅ ( − 2 ) , 4 = ( − 1 ) ⋅ ( − 4 ) , 4 = 1 ⋅ 4 , 4 = 2 ⋅ 2 {\displaystyle 4=(-2)\cdot (-2),\quad 4=(-1)\cdot (-4),\quad 4=1\cdot 4,\quad 4=2\cdot 2}

Como 1 , − 1 , a , − a {\displaystyle 1,-1,a,-a} sempre são divisores de cada número inteiro a ≠ 0 {\displaystyle a\neq 0} , dizemos que eles são os divisores triviais, ou os divisores impróprios, de a {\displaystyle a} . Nos casos em que a = 1 {\displaystyle a=1} e a = − 1 {\displaystyle a=-1} , temos exatamente dois divisores triviais. Contudo, em todos os demais casos de a ≠ 0 {\displaystyle a\neq 0} , temos exatamente quatro divisores triviais. Número primo é todo inteiro p ≠ 0 , ± 1 {\displaystyle p\neq 0,\pm 1} cujos divisores são todos triviais. Isto equivale a dizer que um número primo é todo inteiro p {\displaystyle p} com exatamente quatro divisores: p , − p , 1 , − 1 {\displaystyle p,-p,1,-1} . Número composto é todo inteiro k ≠ 0 {\displaystyle k\neq 0} que tem ao menos um divisor não trivial. Isto equivale a dizer que um número composto é todo inteiro k ≠ 0 {\displaystyle k\neq 0} com cinco ou mais divisores.

Chamamos de máximo divisor comum de dois ou mais números inteiros, o maior dos divisores comuns desses inteiros. A notação m d c ( a , b ) {\displaystyle mdc(a,b)} indicará o máximo divisor comum dos inteiros a {\displaystyle a} , b {\displaystyle b} . Temos m d c ( 6 , 9 ) = 3 {\displaystyle mdc(6,9)=3} , pois os divisores comuns de 6 {\displaystyle 6} e 9 {\displaystyle 9} são ± 1 {\displaystyle \pm 1} e ± 3 {\displaystyle \pm 3} . m d c ( 0 , b ) = { ( b ) , s e b ≠ 0 ∄ s e b = 0 } {\displaystyle mdc(0,b)={\begin{Bmatrix}(b),se\quad b\neq 0\\\nexists \quad se\quad b=0\end{Bmatrix}}} → {\displaystyle \rightarrow } Fatoração: sendo a = b 1 , b 2 . . . b n {\displaystyle a=b_{1},b_{2}...b_{n}} , com a , b 1 , b 2 . . . b n {\displaystyle a,b_{1},b_{2}...b_{n}} inteiros, dizemos que b 1 , b 2 . . . b n {\displaystyle b_{1},b_{2}...b_{n}} são fatores de a {\displaystyle a} e que b 1 , b 2 . . . b n {\displaystyle b_{1},b_{2}...b_{n}} é uma fatoração desse a {\displaystyle a} .

A ideia da divisão euclidiana consiste em separar um todo em partes iguais. Essa divisão pode ocorrer de forma exata (quando a união dessas partes resulta no número original) ou de forma inexata (quando ocorre o contrário). No contexto dos números inteiros, a {\displaystyle a} corresponde ao todo, e b {\displaystyle b} corresponde a cada uma das partes iguais. Ou seja: 4 = 2 ⋅ 2 {\displaystyle \qquad \qquad 4=2\cdot 2} 10 = 2 ⋅ 5 {\displaystyle \qquad \qquad 10=2\cdot 5} 26 = 2 ⋅ 9 + 8 {\displaystyle \qquad \qquad 26=2\cdot 9+8} 21 = 4 ⋅ 5 + 1 {\displaystyle \qquad \qquad 21=4\cdot 5+1} Há apenas uma maneira de fazer uma divisão exata, mas há maneiras diferentes de se fazer uma divisão inexata. Podemos dividi-las em: inexatas por falta (a mais utilizada, como 17 = 3 ⋅ 5 + 2 {\displaystyle 17=3\cdot 5+2} ) e inexatas por excesso (como 17 = 4 ⋅ 5 + ( − 3 ) {\displaystyle 17=4\cdot 5+(-3)} ).

Este teorema afirma que os números primos funcionam como base para a construção de todo e qualquer número inteiro (exceto 0 {\displaystyle 0} e ± 1 {\displaystyle \pm 1} ), fazendo apenas multiplicações. Este teorema tem uma importância tão grande que é chamado de Teorema Fundamental da Aritmética. A fatoração em primos de um inteiro a ≠ 0 {\displaystyle a\neq 0} , ± 1 {\displaystyle \pm 1} pode ser escrita de diversas maneiras, como por exemplo: − 40 = − 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 5 {\displaystyle \qquad \qquad -40=-2\cdot 2\cdot 2\cdot 5} − 40 = − 2 3 ⋅ 5 {\displaystyle \qquad \qquad -40=-2^{3}\cdot 5} 63 = 3 ⋅ 3 ⋅ 7 {\displaystyle \qquad \qquad 63=3\cdot 3\cdot 7} 63 = 3 2 ⋅ 7 {\displaystyle \qquad \qquad 63=3^{2}\cdot 7}