Equações de Navier-Stokes
As Equações de Navier-Stokes são um conjunto fundamental de equações que descrevem o movimento de fluidos newtonianos. Elas se baseiam nos princípios de conservação de massa e momento, aplicando a segunda lei de Newton ao movimento dos fluidos. Essencialmente, elas expressam o balanço de momento, considerando a pressão e os efeitos da viscosidade. Em muitos casos, essas equações são complementadas por uma equação de estado que relaciona pressão, temperatura e densidade. Elas representam uma generalização das equações de Euler, que descrevem o escoamento de fluidos ideais (sem viscosidade).
Pontos-chave
- Descrevem o movimento de fluidos newtonianos com base na conservação de massa e momento.
- São equações diferenciais parciais não lineares, sendo a turbulência um fenômeno complexo modelado por elas.
- Generalizam as equações de Euler, que consideram apenas fluidos sem viscosidade.
- A solução principal é o campo de velocidade, que descreve a magnitude e direção do movimento do fluido em cada ponto e instante.
- Sua aplicabilidade abrange desde escoamentos simples até fenômenos complexos como turbulência e convecção.
A solução das Equações de Navier-Stokes resulta em um campo de velocidade. Este campo é vetorial, fornecendo para cada ponto do fluido, em qualquer instante, um vetor que indica a direção e a magnitude da velocidade naquele local e momento. O estudo geralmente ocorre em três dimensões espaciais e uma temporal, com extensões matemáticas para dimensões superiores. Uma vez determinado o campo de velocidade, outras propriedades como pressão e temperatura podem ser calculadas. Diferentemente da mecânica clássica, onde se traçam trajetórias de partículas, aqui o foco é o campo de velocidade, que descreve o comportamento do fluido como um todo. Linhas de corrente, que representam os caminhos de partículas de fluido sem massa, são visualizações úteis desse campo.
A equação de momento de Navier-Stokes é uma forma específica da equação de momento de Cauchy. Ao decompor o tensor de tensão de Cauchy em termos de pressão e tensão viscosa, obtém-se a forma geral da equação de momento. Se a tensão viscosa for desprezada (fluido invíscido), as equações de Cauchy se reduzem às equações de Euler. A conservação da massa, expressa pela equação da continuidade, é crucial e descreve como a densidade de um fluido varia no espaço e no tempo.
Aceleração Convectiva
Uma característica importante das equações de Cauchy e, por extensão, das de Euler e Navier-Stokes, é a aceleração convectiva. Este termo representa a mudança na velocidade do escoamento devido à variação espacial, sendo um efeito distinto da aceleração temporal de uma partícula individual. Um exemplo clássico é a aceleração do fluido em um bocal.
No caso de escoamento compressível, o tensor de tensão de Cauchy é definido com base em termos de pressão, viscosidade e o traço do tensor taxa de deformação. Essa formulação permite descrever fluidos cuja densidade pode variar significativamente.
Para fluidos incompressíveis, a equação de momento de Navier-Stokes é formulada com base no tensor taxa de deformação, onde a divergência da velocidade é zero. Esta relação é conhecida como lei da viscosidade de Newton. A viscosidade dinâmica pode variar, dependendo de fatores como densidade e pressão, e qualquer equação que relacione esses coeficientes de transporte com variáveis conservativas é chamada de equação de estado. A divergência da tensão desviadora em escoamentos incompressíveis com viscosidade uniforme simplifica para o Laplaciano da velocidade.
Forma Fraca das Equações Incompressíveis
A forma fraca das equações de Navier-Stokes incompressíveis é obtida considerando o domínio do problema e funções de base. A equação do momento e a conservação da massa (equação da continuidade) formam o sistema. As condições de contorno, como Dirichlet (velocidade prescrita) e Neumann (tensão prescrita), são essenciais. Para fluidos incompressíveis, a conservação da massa implica que a divergência do campo de velocidade é zero. A divergência do tensor de tensões pode ser expressa em termos do gradiente de pressão e do Laplaciano da velocidade, simplificando as equações.
Velocidade Discreta
Ao discretizar o domínio do problema e definir funções de base, obtém-se a forma discreta das equações. A escolha de funções de base livres de divergência é recomendada para refletir a natureza incompressível do escoamento. A função de corrente ou potencial vetor é necessária para determinar o escoamento, e o teorema de Stokes pode ser usado para relacionar o escoamento com a vorticidade.
Recuperação de Pressão
A pressão pode ser recuperada a partir do campo de velocidade resolvendo uma equação fraca discreta para o gradiente de pressão. Utilizam-se funções de teste irrotacionais, e elementos finitos escalares ou vetoriais podem ser empregados dependendo do interesse na pressão ou em seu gradiente.
Em um referencial não inercial (que se move e/ou rotaciona em relação a um referencial inercial), a equação de Navier-Stokes inclui termos adicionais que representam pseudo-forças, como a força de Coriolis e a força centrífuga. Essas forças surgem devido à aceleração do próprio referencial.
As Equações de Navier-Stokes, por si só, descrevem o balanço de momento. Para uma descrição completa do escoamento de fluidos, informações adicionais são necessárias. Isso pode incluir condições de contorno específicas (como não escorregamento ou comportamento em superfícies capilares), a conservação da massa, o balanço de energia e/ou uma equação de estado que relacione propriedades como densidade e pressão.
Equação de Continuidade para Fluido Incompressível
A conservação da massa é fundamental. A equação geral de continuidade relaciona a variação da densidade com a divergência do fluxo de massa. Para um fluido incompressível, a densidade é constante, o que simplifica drasticamente a equação para indicar que a divergência do campo de velocidade é zero. Isso significa que o campo de velocidade é solenoidal, ou seja, não há acúmulo ou dissipação de volume no fluido.
As Equações de Navier-Stokes são genéricas e sua aplicação a problemas específicos envolve a formulação de premissas sobre o escoamento e a definição de condições iniciais e de contorno. Análises de escala podem ser usadas para simplificar ainda mais o problema, que pode variar desde a distribuição de pressão até escoamentos multifásicos complexos.
Existem algumas soluções exatas para as Equações de Navier-Stokes, tanto para casos simplificados (onde os termos não lineares são zero, como no escoamento de Poiseuille) quanto para as equações completas e não lineares (como o escoamento de Jeffery-Hamel). Soluções autossimilares dependentes do tempo podem ser obtidas com o uso de funções especiais. É importante notar que a existência de uma solução exata não garante sua estabilidade; a turbulência pode surgir em números de Reynolds mais elevados.
Não linearidade
As equações de Navier-Stokes são equações diferenciais parciais não lineares no caso geral e assim permanecem em quase todas as situações reais. Em alguns casos, como no escoamento unidimensional e no escoamento de Stokes (ou escoamento rastejante), as equações podem ser simplificadas para equações lineares. A não linearidade torna a maioria dos problemas difíceis ou impossíveis de resolver e é a principal contribuinte para a turbulência que as equações modelam. A não linearidade deve-se à aceleração convectiva, que é uma aceleração associada à mudança na velocidade ao longo da posição. Portanto, qualquer escoamento convectivo, seja turbulento ou não, envolverá não linearidade. Um exemplo de escoamento convectivo, mas laminar (não turbulento), seria a passagem de um fluido viscoso (por exemplo, óleo) através de um pequeno bocal convergente. Tais escoamentos, sejam exatamente resolvíveis ou não, podem frequentemente ser exaustivamente estudados e compreendidos.
Turbulência
A turbulência é o comportamento caótico dependente do tempo visto em muitos escoamentos de fluidos. Acredita-se geralmente que isso se deva à inércia do fluido como um todo: a culminação da aceleração dependente do tempo e convectiva; portanto, escoamentos onde os efeitos inerciais são pequenos tendem a ser laminares (o número de Reynolds quantifica o quanto o escoamento é afetado pela inércia). Acredita-se, embora não se saiba com certeza, que as equações de Navier-Stokes descrevam a turbulência adequadamente. A solução numérica das equações de Navier-Stokes para o escoamento turbulento é extremamente difícil, e devido às escalas de comprimento de mistura significativamente diferentes que estão envolvidas no escoamento turbulento, a solução estável disso requer uma resolução de malha tão fina que o tempo computacional se torna significativamente inviável para o cálculo ou para a simulação numérica direta. Tentativas de resolver o escoamento turbulento usando um solucionador laminar normalmente resultam em uma solução instável no tempo, que falha em convergir adequadamente. Para contornar isso, equações com médias de tempo, como as Equações de Navier-Stokes com médias de Reynolds (RANS), suplementadas com modelos de turbulência, são usadas em aplicações práticas de dinâmica dos fluidos computacional (CFD) ao modelar escoamentos turbulentos. Alguns modelos incluem os modelos de Spalart-Allmaras, k–ω, k–ε e SST (Menter's Shear Stress Transport), que adicionam uma variedade de equações adicionais para trazer fechamento às equações RANS. A simulação de grandes turbilhões (LES) também pode ser usada para resolver essas equações numericamente. Essa abordagem é computacionalmente mais cara — em tempo e em memória de computador — do que RANS, mas produz resultados melhores porque resolve explicitamente as escalas turbulentas maiores.
Aplicabilidade
Juntamente com equações suplementares (por exemplo, conservação da massa) e condições de contorno bem formuladas, as equações de Navier-Stokes parecem modelar o movimento do fluido com precisão; mesmo escoamentos turbulentos parecem (em média) concordar com observações do mundo real. As equações de Navier-Stokes assumem que o fluido sendo estudado é um contínuo (é infinitamente divisível e não é composto de partículas como átomos ou moléculas), e não está se movendo a velocidades relativísticas. Em escalas muito pequenas ou sob condições extremas, fluidos reais feitos de moléculas discretas produzirão resultados diferentes dos fluidos contínuos modelados pelas equações de Navier-Stokes. Por exemplo, a capilaridade de camadas internas em fluidos aparece para escoamento com altos gradientes. Para um grande número de Knudsen do problema, a equação de Boltzmann pode ser uma substituta adequada. Na falta disso, pode-se ter que recorrer à dinâmica molecular ou a vários métodos híbridos.
As equações de Navier-Stokes, mesmo quando escritas explicitamente para fluidos específicos, são de natureza bastante genérica e a sua aplicação adequada a problemas específicos pode ser muito diversa. Isso se deve em parte porque há uma enorme variedade de problemas que podem ser modelados, variando desde algo tão simples quanto a distribuição de pressão estática até algo tão complicado quanto o escoamento multifásico impulsionado pela tensão superficial. Geralmente, a aplicação a problemas específicos começa com algumas premissas de escoamento e a formulação de condições iniciais/de contorno; isso pode ser seguido por uma análise de escala para simplificar ainda mais o problema.
Escoamento paralelo
Assuma um escoamento permanente, paralelo, unidimensional, não convectivo, impulsionado por pressão entre placas paralelas; o problema de valor de contorno escalonado (adimensional) resultante é: d 2 u d y 2 = − 1 ; u ( 0 ) = u ( 1 ) = 0. {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} y^{2}}}=-1;\quad u(0)=u(1)=0.} A condição de contorno é a condição de não escorregamento. Este problema é facilmente resolvido para o campo de velocidade: u ( y ) = y − y 2 2 . {\displaystyle u(y)={\frac {y-y^{2}}{2}}.} A partir deste ponto, mais grandezas de interesse podem ser facilmente obtidas, como a força de arrasto viscoso ou a taxa de vazão líquida.
Escoamento radial
Dificuldades podem surgir quando o problema se torna um pouco mais complicado. Uma reviravolta aparentemente modesta no escoamento paralelo acima seria o escoamento radial entre placas paralelas; isso envolve convecção e, portanto, não linearidade. O campo de velocidade pode ser representado por uma função f(z) que deve satisfazer: d 2 f d z 2 + R f 2 = − 1 ; f ( − 1 ) = f ( 1 ) = 0. {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}f}{\mathrm {d} z^{2}}}+Rf^{2}=-1;\quad f(-1)=f(1)=0.} Esta equação diferencial ordinária é o que se obtém quando as equações de Navier-Stokes são escritas e as premissas de escoamento são aplicadas (adicionalmente, o gradiente de pressão é resolvido). O termo não linear torna este um problema muito difícil de resolver analiticamente (uma longa solução implícita pode ser encontrada, a qual envolve integrais elípticas e raízes de polinômios cúbicos). Problemas com a existência real de soluções surgem para R > 1,41 (aproximadamente; isso não é a √2), sendo o parâmetro R o número de Reynolds com escalas apropriadamente escolhidas. Este é um exemplo de premissas de escoamento perdendo sua aplicabilidade, e um exemplo da dificuldade em escoamentos de "alto" número de Reynolds.
Convecção
Um tipo de convecção natural que pode ser descrito pela equação de Navier-Stokes é a convecção de Rayleigh-Bénard. É um dos fenômenos de convecção mais comumente estudados devido à sua acessibilidade analítica e experimental.
Existem algumas soluções exatas para as equações de Navier-Stokes. Exemplos de casos degenerados — com os termos não lineares nas equações de Navier-Stokes iguais a zero — são o escoamento de Poiseuille, o escoamento de Couette e a camada limite de Stokes oscilatória. Mas também existem exemplos mais interessantes, soluções para as equações não lineares completas, como o escoamento de Jeffery-Hamel, o escoamento em redemoinho de von Kármán, o escoamento de ponto de estagnação, o jato de Landau-Squire e o vórtice de Taylor-Green. Soluções autossimilares dependentes do tempo das equações de Navier-Stokes tridimensionais incompressíveis em coordenadas cartesianas podem ser dadas com a ajuda das funções de Kummer com argumentos quadráticos. Para as equações de Navier-Stokes compressíveis, as soluções autossimilares dependentes do tempo são, no entanto, as funções de Whittaker novamente com argumentos quadráticos quando a equação de estado politrópica é usada como uma condição de fechamento. Note que a existência dessas soluções exatas não implica que elas sejam estáveis: a turbulência pode se desenvolver em números de Reynolds mais altos.
