Matriz (matemática)
Na matemática, uma matriz é um arranjo retangular de números ou outros objetos matemáticos com elementos ou entradas organizados em linhas e colunas, satisfazendo geralmente certas propriedades de adição e multiplicação.
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As matrizes têm uma longa história de aplicação na resolução de equações lineares, mas eram conhecidas como arranjos (arrays) até ao século XIX. O texto chinês Os Nove Capítulos da Arte Matemática, escrito entre os séculos X e II a.C., é o primeiro exemplo do uso de métodos de arranjo para resolver equações simultâneas, incluindo o conceito de determinantes. Em 1545, o matemático italiano Gerolamo Cardano introduziu o método na Europa quando publicou a Ars Magna. O matemático japonês Seki Kowa usou os mesmos métodos de arranjo para resolver equações simultâneas em 1683. O matemático holandês Jan de Witt representou transformações usando arranjos no seu livro de 1659, Elementos das Curvas (1659). Entre 1700 e 1710, Gottfried Wilhelm Leibniz publicitou o uso de arranjos para registar informações ou soluções e experimentou mais de 50 sistemas diferentes de arranjos. Cramer apresentou a sua regra em 1750.
Outros usos históricos da palavra "matriz" na matemática
A palavra foi usada de formas invulgares por pelo menos dois autores de importância histórica. Bertrand Russell e Alfred North Whitehead no seu Principia Mathematica (1910–1913) usam a palavra "matriz" no contexto do seu axioma da redutibilidade. Eles propuseram este axioma como um meio para reduzir qualquer função a uma de tipo inferior, sucessivamente, de modo a que no "fundo" (ordem 0) a função seja idêntica à sua extensão: Demos o nome de matriz a qualquer função, de quantas variáveis forem, que não envolva quaisquer variáveis aparentes. Então, qualquer função possível além de uma matriz deriva de uma matriz usando a generalização, isto é, ao considerar a proposição de que a função em questão é verdadeira com todos os valores possíveis ou com algum valor de um dos argumentos, permanecendo o outro argumento ou argumentos indeterminados.
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Uma matriz é um arranjo retangular de números (ou outros objetos matemáticos), chamados de "entradas" da matriz. As matrizes estão sujeitas a operações padrão, tais como a adição e a multiplicação. Mais comumente, uma matriz sobre um corpo F {\displaystyle F} é um arranjo retangular de elementos de F {\displaystyle F} . Uma matriz real e uma matriz complexa são matrizes cujas entradas são, respetivamente, números reais ou números complexos. Tipos mais gerais de entradas são discutidos abaixo. Por exemplo, esta é uma matriz real: A = [ − 1.3 0.6 20.4 5.5 9.7 − 6.2 ] . {\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}-1.3&0.6\\20.4&5.5\\9.7&-6.2\end{bmatrix}}.} Os números (ou outros objetos) na matriz são chamados de suas entradas ou elementos. As linhas horizontais e verticais de entradas numa matriz são chamadas respetivamente de linhas e colunas.
Tamanho
O tamanho de uma matriz é definido pelo número de linhas e colunas que ela contém. Não há limite para o número de linhas e colunas que uma matriz (no sentido usual) pode ter, desde que sejam inteiros positivos. Uma matriz com m linhas e n colunas é chamada de matriz m × n, ou matriz m-por-n, onde m e n são chamadas as suas dimensões. Por exemplo, a matriz A {\displaystyle \mathbf {A} } acima é uma matriz 3 × 2. Matrizes com uma única linha são chamadas de matrizes linha ou vetores linha, e aquelas com uma única coluna são chamadas de matrizes coluna ou vetores coluna. Uma matriz com o mesmo número de linhas e colunas é chamada de matriz quadrada. Uma matriz com um número infinito de linhas ou colunas (ou ambos) é chamada de matriz infinita. Em alguns contextos, tais como programas de computação algébrica, é útil considerar uma matriz sem linhas ou sem colunas, chamada de matriz vazia.
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Os detalhes da notação simbólica de matrizes variam amplamente, com algumas tendências predominantes. As matrizes são comumente escritas entre colchetes ou parênteses, de modo que uma matriz m × n A {\displaystyle \mathbf {A} } é representada como A = [ a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a m 1 a m 2 ⋯ a m n ] = ( a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a m 1 a m 2 ⋯ a m n ) . {\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{bmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{pmatrix}}.} Isto pode ser abreviado escrevendo apenas um único termo genérico, possivelmente com índices, como em A = ( a i j ) , [ a i j ] , ou ( a i j ) 1 ≤ i ≤ m , 1 ≤ j ≤ n {\displaystyle \mathbf {A} =\left(a_{ij}\right),\quad \left[a_{ij}\right],\quad {\text{ou}}\quad \left(a_{ij}\right)_{1\leq i\leq m,\;1\leq j\leq n}} ou A = ( a i , j ) 1 ≤ i , j ≤ n {\displaystyle \mathbf {A} =(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}} no caso em que n = m {\displaystyle n=m} .
Diversas operações básicas podem ser aplicadas a matrizes. Algumas, como a transposição e a submatriz, não dependem da natureza das entradas. Outras, como a adição de matrizes, a multiplicação por escalar, a multiplicação de matrizes e as operações elementares em linha, envolvem operações nas entradas da matriz e, portanto, exigem que as entradas sejam números ou pertençam a um corpo ou a um anel. Nesta seção, supõe-se que as entradas da matriz pertençam a um anel fixo, que tipicamente é um corpo de números.
Adição
A adição e subtração de matrizes exigem matrizes de um tamanho consistente, e são calculadas entrada por entrada. A soma A + B {\displaystyle \mathbf {A} +\mathbf {B} } e a diferença A − B {\displaystyle \mathbf {A} -\mathbf {B} } de duas matrizes m × n são: ( A + B ) i , j = A i , j + B i , j , 1 ≤ i ≤ m , 1 ≤ j ≤ n . ( A − B ) i , j = A i , j − B i , j , 1 ≤ i ≤ m , 1 ≤ j ≤ n . {\displaystyle {\begin{aligned}(\mathbf {A} +\mathbf {B} )_{i,j}=\mathbf {A} _{i,j}+\mathbf {B} _{i,j},\quad 1\leq i\leq m,\quad 1\leq j\leq n.\\(\mathbf {A} -\mathbf {B} )_{i,j}=\mathbf {A} _{i,j}-\mathbf {B} _{i,j},\quad 1\leq i\leq m,\quad 1\leq j\leq n.\end{aligned}}}
Multiplicação por escalar
O produto c A {\displaystyle c\mathbf {A} } de um número c {\displaystyle c} (também chamado de escalar neste contexto) e uma matriz A {\displaystyle \mathbf {A} } é computado multiplicando cada entrada de A {\displaystyle \mathbf {A} } por c {\displaystyle c} : ( c A ) i , j = c ⋅ A i , j {\displaystyle (c\mathbf {A} )_{i,j}=c\cdot \mathbf {A} _{i,j}} Esta operação é chamada de multiplicação por escalar, mas o seu resultado não é denominado "produto escalar" para evitar confusão, uma vez que "produto escalar" é frequentemente usado como sinônimo de "produto interno". Por exemplo: 2 ⋅ [ 1 8 − 3 4 − 2 5 ] = [ 2 ⋅ 1 2 ⋅ 8 2 ⋅ − 3 2 ⋅ 4 2 ⋅ − 2 2 ⋅ 5 ] = [ 2 16 − 6 8 − 4 10 ] {\displaystyle 2\cdot {\begin{bmatrix}1&8&-3\\4&-2&5\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2\cdot 1&2\cdot 8&2\cdot -3\\2\cdot 4&2\cdot -2&2\cdot 5\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2&16&-6\\8&-4&10\end{bmatrix}}}
Matriz transposta
A transposta de uma matriz m × n A {\displaystyle \mathbf {A} } é a matriz n × m A T {\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {T} }} (também denotada por A t r {\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {tr} }} ou t A {\displaystyle ^{\mathrm {t} }\mathbf {A} } ) formada pela transformação de linhas em colunas e vice-versa: ( A T ) i , j = A j , i . {\displaystyle \left(\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }\right)_{i,j}=\mathbf {A} _{j,i}.} Por exemplo: [ 1 2 3 0 − 6 7 ] T = [ 1 0 2 − 6 3 7 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2&3\\0&-6&7\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }={\begin{bmatrix}1&0\\2&-6\\3&7\end{bmatrix}}} A transposta é compatível com a adição e a multiplicação por escalar, como expresso por ( c A ) T = c ( A T ) {\displaystyle (c\mathbf {A} )^{\mathrm {T} }=c(\mathbf {A} ^{\mathrm {T} })} e ( A + B ) T = A T + B T {\displaystyle (\mathbf {A} +\mathbf {B} )^{\mathrm {T} }=\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }+\mathbf {B} ^{\mathrm {T} }} . Finalmente, ( A T ) T = A {\displaystyle (\mathbf {A} ^{\mathrm {T} })^{\mathrm {T} }=\mathbf {A} } .
Multiplicação de matrizes
A multiplicação de duas matrizes corresponde à composição das transformações lineares representadas por cada matriz. Ela é definida se e somente se o número de colunas da matriz da esquerda for igual ao número de linhas da matriz da direita. Se A {\displaystyle \mathbf {A} } é uma matriz m × n e B {\displaystyle \mathbf {B} } é uma matriz n × p, então o seu produto matricial A B {\displaystyle \mathbf {AB} } é a matriz m × p cujas entradas são dadas pelo produto escalar da linha correspondente de A {\displaystyle \mathbf {A} } e da coluna correspondente de B {\displaystyle \mathbf {B} } : [ A B ] i , j = a i , 1 b 1 , j + a i , 2 b 2 , j + ⋯ + a i , n b n , j = ∑ r = 1 n a i , r b r , j , {\displaystyle [\mathbf {AB} ]_{i,j}=a_{i,1}b_{1,j}+a_{i,2}b_{2,j}+\cdots +a_{i,n}b_{n,j}=\sum _{r=1}^{n}a_{i,r}b_{r,j},} onde 1 ≤ i ≤ m {\displaystyle 1\leq i\leq m} e 1 ≤ j ≤ p {\displaystyle 1\leq j\leq p} . Por exemplo, a entrada sublinhada 2340 no produto é calculada como ( 2 × 1000 ) + ( 3 × 100 ) + ( 4 × 10 ) = 2340 {\displaystyle (2\times 1000)+(3\times 100)+(4\times 10)=2340} : [ 2 _ 3 _ 4 _ 1 0 0 ] [ 0 1000 _ 1 100 _ 0 10 _ ] = [ 3 2340 _ 0 1000 ] . {\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{bmatrix}{\underline {2}}&{\underline {3}}&{\underline {4}}\\1&0&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&{\underline {1000}}\\1&{\underline {100}}\\0&{\underline {10}}\\\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}3&{\underline {2340}}\\0&1000\\\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}
Operações elementares em linha
Existem três tipos de operações elementares em linha: Estas operações são usadas de várias formas, incluindo a resolução de sistemas de equações lineares e a determinação de matrizes inversas usando a eliminação de Gauss e a eliminação de Gauss-Jordan, respetivamente.
Submatriz
Uma submatriz de uma matriz é uma matriz obtida através da exclusão de qualquer coleção de linhas ou colunas, ou ambas. Por exemplo, a partir da seguinte matriz 3 × 4, podemos construir uma submatriz 2 × 3 removendo a linha 3 e a coluna 2: A = [ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ] → [ 1 3 4 5 7 8 ] . {\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1&\color {red}{2}&3&4\\5&\color {red}{6}&7&8\\\color {red}{9}&\color {red}{10}&\color {red}{11}&\color {red}{12}\end{bmatrix}}\rightarrow {\begin{bmatrix}1&3&4\\5&7&8\end{bmatrix}}.} Os menores e cofatores de uma matriz são encontrados computando o determinante de certas submatrizes. Uma submatriz principal é uma submatriz quadrada obtida através da remoção de certas linhas e colunas. A definição varia de autor para autor. Segundo alguns autores, uma submatriz principal é uma submatriz na qual o conjunto de índices de linhas que restam é o mesmo que o conjunto de índices de colunas que restam. Outros autores definem uma submatriz principal como aquela em que as primeiras k {\displaystyle k} linhas e colunas, para algum número k {\displaystyle k} , são as que restam; este tipo de submatriz também tem sido chamado de submatriz principal líder.
As matrizes podem ser usadas para escrever e trabalhar de forma compacta com múltiplas equações lineares, isto é, sistemas de equações lineares. Por exemplo, se A é uma matriz m × n, x designa um vetor coluna (isto é, uma matriz n × 1) de n variáveis x1, x2, ..., xn, e b é um vetor coluna m × 1, então a equação matricial A x = b {\displaystyle \mathbf {Ax} =\mathbf {b} } é equivalente ao sistema de equações lineares a 1 , 1 x 1 + a 1 , 2 x 2 + ⋯ + a 1 , n x n = b 1 ⋮ a m , 1 x 1 + a m , 2 x 2 + ⋯ + a m , n x n = b m {\displaystyle {\begin{aligned}a_{1,1}x_{1}+a_{1,2}x_{2}+&\cdots +a_{1,n}x_{n}=b_{1}\\&\ \ \vdots \\a_{m,1}x_{1}+a_{m,2}x_{2}+&\cdots +a_{m,n}x_{n}=b_{m}\end{aligned}}} Usando matrizes, isto pode ser resolvido de forma mais compacta do que seria possível escrevendo todas as equações separadamente. Se n = m e as equações forem independentes, então isto pode ser feito escrevendo x = A − 1 b {\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {b} } onde A−1 é a matriz inversa de A. Se A não tiver inversa, as soluções — se existirem — podem ser encontradas usando a sua inversa generalizada.
As matrizes e a multiplicação de matrizes revelam as suas características essenciais quando relacionadas com transformações lineares, também conhecidas como aplicações lineares. Uma matriz real m × n A dá origem a uma transformação linear R n → R m {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}} mapeando cada vetor x em R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} para o produto (matricial) Ax, que é um vetor em R m {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}} . Inversamente, cada transformação linear f : R n → R m {\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}} surge de uma única matriz m × n A: explicitamente, a entrada (i, j) de A é a i-ésima coordenada de f (ej}), onde ej = (0, ..., 0, 1, 0, ..., 0) é o vetor unitário com 1 na j-ésima posição e 0 nas restantes. Diz-se que a matriz A representa a aplicação linear f, e A é chamada a matriz de transformação de f. Por exemplo, a matriz 2 × 2 A = [ a c b d ] {\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}a&c\\b&d\end{bmatrix}}} pode ser vista como a transformação do quadrado unitário num paralelogramo com vértices em (0, 0), (a, b), (a + c, b + d) e (c, d). O paralelogramo retratado à direita é obtido multiplicando A sucessivamente por cada um dos vetores coluna [ 0 0 ] {\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}0\\0\end{smallmatrix}}\right]} , [ 1 0 ] {\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1\\0\end{smallmatrix}}\right]} , [ 1 1 ] {\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1\\1\end{smallmatrix}}\right]} e [ 0 1 ] {\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}0\\1\end{smallmatrix}}\right]} . Estes vetores definem os vértices do quadrado unitário. A tabela seguinte mostra várias matrizes reais 2 × 2 com as aplicações lineares associadas de R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} . O original a azul é mapeado para a grade e formas a verde. A origem (0, 0) está marcada com um ponto preto.
Uma matriz quadrada é uma matriz com o mesmo número de linhas e colunas. Uma matriz n × n é conhecida como uma matriz quadrada de ordem n. Quaisquer duas matrizes quadradas da mesma ordem podem ser somadas e multiplicadas. As entradas a i i {\displaystyle a_{ii}} formam a diagonal principal de uma matriz quadrada. Elas situam-se na linha imaginária que vai do canto superior esquerdo ao canto inferior direito da matriz. Matrizes quadradas de uma dada dimensão formam um anel não comutativo, que é um dos exemplos mais comuns de um anel não comutativo.
Tipos principais
Se todas as entradas de A abaixo da diagonal principal forem zero, A é chamada de matriz triangular superior. Similarmente, se todas as entradas de A acima da diagonal principal forem zero, A é chamada de matriz triangular inferior. Se todas as entradas fora da diagonal principal forem zero, A é chamada de matriz diagonal. A matriz identidade In de tamanho n é a matriz n × n na qual todos os elementos na diagonal principal são iguais a 1 e todos os outros elementos são iguais a 0, por exemplo, I 1 = , I 2 = [ 1 0 0 1 ] , ⋮ I n = [ 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ 1 ] {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {I} _{1}&={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}},\\[4pt]\mathbf {I} _{2}&={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}},\\[4pt]\vdots &\\[4pt]\mathbf {I} _{n}&={\begin{bmatrix}1&0&\cdots &0\\0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}\end{aligned}}} É uma matriz quadrada de ordem n, e também um tipo especial de matriz diagonal. Chama-se matriz identidade porque a multiplicação por ela deixa uma matriz inalterada: A I n = I m A = A {\displaystyle \mathbf {AI} _{n}=\mathbf {I} _{m}\mathbf {A} =\mathbf {A} } para qualquer matriz m × n A.
Principais operações
O traço, tr(A) de uma matriz quadrada A é a soma das suas entradas diagonais. Embora a multiplicação de matrizes não seja comutativa como mencionado acima, o traço do produto de duas matrizes é independente da ordem dos fatores: tr ( A B ) = tr ( B A ) . {\displaystyle \operatorname {tr} (\mathbf {AB} )=\operatorname {tr} (\mathbf {BA} ).} Isto é imediato a partir da definição da multiplicação de matrizes: tr ( A B ) = ∑ i = 1 m ∑ j = 1 n a i j b j i = tr ( B A ) . {\displaystyle \operatorname {tr} (\mathbf {AB} )=\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}b_{ji}=\operatorname {tr} (\mathbf {BA} ).} Resulta que o traço do produto de mais de duas matrizes é independente das permutações cíclicas das matrizes; no entanto, isso não se aplica, em geral, a permutações arbitrárias. Por exemplo, tr(ABC) ≠ tr(BAC), em geral. Além disso, o traço de uma matriz é igual ao da sua transposta, isto é, tr ( A ) = tr ( A T ) . {\displaystyle \operatorname {tr} (\mathbf {A} )=\operatorname {tr} (\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }).}
Os cálculos matriciais podem frequentemente ser realizados com diferentes técnicas. Muitos problemas podem ser resolvidos tanto por algoritmos diretos quanto por abordagens iterativas. Por exemplo, os autovetores de uma matriz quadrada podem ser obtidos encontrando uma sequência de vetores xn que convergem para um autovetor quando n tende ao infinito. Para escolher o algoritmo mais apropriado para cada problema específico, é importante determinar tanto a eficácia quanto a precisão de todos os algoritmos disponíveis. O domínio que estuda estes assuntos é chamado de álgebra linear numérica. Tal como noutras situações numéricas, dois aspetos principais são a complexidade dos algoritmos e a sua estabilidade numérica. Determinar a complexidade de um algoritmo significa encontrar limites superiores ou estimativas de quantas operações elementares, tais como adições e multiplicações de escalares, são necessárias para executar algum algoritmo, por exemplo, a multiplicação de matrizes. Calcular o produto matricial de duas matrizes n-por-n usando a definição dada acima requer n3 multiplicações, uma vez que para qualquer uma das n2 entradas do produto, são necessárias n multiplicações. O algoritmo de Strassen supera este algoritmo "ingênuo"; ele precisa apenas de n2.807 multiplicações. Algoritmos de multiplicação de matrizes teoricamente mais rápidos, mas impraticáveis, foram desenvolvidos, assim como acelerações para este problema usando algoritmos paralelos ou sistemas de computação distribuída como o MapReduce.
Existem vários métodos para transformar matrizes numa forma mais facilmente acessível. Eles são geralmente referidos como técnicas de decomposição de matrizes ou fatoração de matrizes. Estas técnicas são de interesse porque podem facilitar as computações. A decomposição LU fatora matrizes como um produto de matrizes triangulares inferior (L) e superior (U). Uma vez que esta decomposição é calculada, sistemas lineares podem ser resolvidos de forma mais eficiente por uma técnica simples chamada substituição progressiva e regressiva. Da mesma forma, as inversas de matrizes triangulares são algoritmicamente mais fáceis de calcular. A eliminação de Gauss é um algoritmo semelhante; ela transforma qualquer matriz na forma escalonada. Ambos os métodos procedem multiplicando a matriz por matrizes elementares adequadas, que correspondem a permutar linhas ou colunas e adicionar múltiplos de uma linha a outra linha. A decomposição em valores singulares (SVD) expressa qualquer matriz A como um produto UDV∗, onde U e V são matrizes unitárias e D é uma matriz diagonal.
As matrizes podem ser generalizadas de diferentes formas. A álgebra abstrata utiliza matrizes com entradas em corpos mais gerais ou mesmo em anéis, enquanto a álgebra linear codifica as propriedades das matrizes na noção de aplicações lineares. É possível considerar matrizes com infinitas colunas e linhas. Outra extensão são os tensores, que podem ser vistos como arranjos de números de dimensões superiores, em contraste com os vetores, que podem frequentemente ser compreendidos como sequências de números, ao passo que as matrizes são arranjos de números retangulares ou bidimensionais. As matrizes, sujeitas a certos requisitos, tendem a formar grupos conhecidos como grupos de matrizes. Da mesma forma, sob certas condições, as matrizes formam anéis conhecidos como anéis de matrizes. Embora o produto de matrizes não seja em geral comutativo, certas matrizes formam corpos por vezes chamados de corpos de matrizes. (No entanto, o termo "corpo de matrizes" é ambíguo, referindo-se também a certas formas de campos físicos que mapeiam continuamente os pontos de algum espaço para matrizes.) Em geral, matrizes sobre qualquer anel e a sua multiplicação podem ser representadas como as setas e a composição de setas numa categoria, a categoria das matrizes sobre esse anel. Os objetos desta categoria são números naturais, representando as dimensões das matrizes.
Matrizes com entradas num corpo ou anel
Este artigo foca-se em matrizes cujas entradas são números reais ou complexos. No entanto, as matrizes podem ser consideradas com tipos de entradas muito mais gerais do que números reais ou complexos. Como um primeiro passo de generalização, qualquer corpo, isto é, um conjunto onde as operações de adição, subtração, multiplicação e divisão estão definidas e bem-comportadas, pode ser usado em vez de R {\displaystyle \mathbb {R} } ou C {\displaystyle \mathbb {C} } , por exemplo, números racionais ou corpos finitos. Por exemplo, a teoria de códigos faz uso de matrizes sobre corpos finitos. Onde quer que os autovalores sejam considerados, como estes são raízes de um polinômio, eles podem existir apenas num corpo maior do que o das entradas da matriz. Por exemplo, podem ser complexos no caso de uma matriz com entradas reais. A possibilidade de reinterpretar as entradas de uma matriz como elementos de um corpo maior (por exemplo, para ver uma matriz real como uma matriz complexa cujas entradas calham de ser todas reais) permite então considerar que cada matriz quadrada possui um conjunto completo de autovalores. Em alternativa, pode-se considerar desde o início apenas matrizes com entradas num corpo algebricamente fechado, como C {\displaystyle \mathbb {C} } .
Relação com as aplicações lineares
Aplicações lineares R n → R m {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}} são equivalentes a matrizes m × n, conforme descrito acima. Mais geralmente, qualquer aplicação linear f : V → W entre espaços vetoriais de dimensão finita pode ser descrita por uma matriz A = (aij), após a escolha de bases v1, ..., vn de V, e w1, ..., wm de W (de forma que n é a dimensão de V e m é a dimensão de W), de tal modo que f ( v j ) = ∑ i = 1 m a i , j w i para j = 1 , … , n . {\displaystyle f(\mathbf {v} _{j})=\sum _{i=1}^{m}a_{i,j}\mathbf {w} _{i}\qquad {\mbox{para}}\ j=1,\ldots ,n.} Por outras palavras, a coluna j de A expressa a imagem de vj em termos dos vetores da base wi de W; assim, esta relação determina univocamente as entradas da matriz A. A matriz depende da escolha das bases: diferentes escolhas de bases dão origem a matrizes diferentes, mas equivalentes. Muitas das noções concretas acima podem ser reinterpretadas a esta luz, por exemplo, a matriz transposta AT descreve a transposta de uma aplicação linear dada por A, no que diz respeito às bases duais.
Grupos de matrizes
Um grupo é uma estrutura matemática que consiste num conjunto de objetos juntamente com uma operação binária, isto é, uma operação que combina quaisquer dois objetos para formar um terceiro, sujeita a certos requisitos. Um grupo no qual os objetos são matrizes n × n {\displaystyle n\times n} inversíveis e a operação de grupo é a multiplicação de matrizes é chamado de grupo de matrizes de grau n {\displaystyle n} . Todo este grupo de matrizes é um subgrupo de (ou seja, um grupo menor contido dentro de) o grupo de todas as matrizes n × n {\displaystyle n\times n} inversíveis, o grupo linear geral de grau n {\displaystyle n} . Qualquer propriedade de matrizes quadradas que seja preservada sob produtos e inversas de matrizes pode ser usada para definir um grupo de matrizes. Por exemplo, o conjunto de todas as matrizes n × n {\displaystyle n\times n} cujo determinante é 1 forma um grupo chamado o grupo linear especial de grau n {\displaystyle n} . O conjunto de matrizes ortogonais, determinado pela condição M T M = I , {\displaystyle \mathbf {M} ^{\mathrm {T} }\mathbf {M} =\mathbf {I} ,} forma o grupo ortogonal. Toda matriz ortogonal tem um determinante 1 ou −1. As matrizes ortogonais com determinante 1 formam um grupo chamado o grupo ortogonal especial.
Matrizes infinitas
Também é possível considerar matrizes com infinitas linhas e colunas. As operações básicas introduzidas acima são definidas da mesma forma neste caso. A multiplicação de matrizes, no entanto, e todas as operações que dela derivam são significativas apenas quando restritas a certas matrizes, uma vez que a soma que figura na definição acima do produto matricial conterá uma infinidade de parcelas. Uma forma fácil de contornar esta questão é restringir a matrizes finitárias cujas linhas (ou colunas) contêm todas apenas um número finito de termos não-nulos. Tal como no caso finito (ver acima), onde as matrizes descrevem aplicações lineares, as matrizes infinitas podem ser usadas para descrever operadores em espaços de Hilbert, onde surgem questões de convergência e continuidade. Contudo, o ponto de vista explícito das matrizes tende a ofuscar a questão, sendo antes utilizadas as ferramentas abstratas e mais poderosas da análise funcional, relacionando matrizes com aplicações lineares (como no caso finito acima), mas impondo restrições adicionais de convergência e continuidade.
Matriz vazia
Uma matriz vazia é uma matriz na qual o número de linhas ou colunas (ou ambos) é zero. As matrizes vazias podem ser um caso base útil para certas construções recursivas, e podem ajudar a lidar com aplicações envolvendo o espaço vetorial trivial. Por exemplo, se A for uma matriz 3 × 0 e B for uma matriz 0 × 3, então AB é a matriz nula 3 × 3 correspondente à aplicação nula de um espaço de 3 dimensões V nele próprio, enquanto que BA é uma matriz 0 × 0. Não existe uma notação comum para matrizes vazias, mas a maioria dos sistemas de computação algébrica permite criá-las e computar com elas. O determinante da matriz 0 × 0 é convencionalmente definido como 1, consistente com o produto vazio que ocorre na fórmula de Leibniz para o determinante. Este valor também é necessário para manter a consistência com o caso 2 × 2 da identidade de Desnanot-Jacobi que relaciona determinantes aos determinantes de matrizes menores.
Matrizes com entradas num semianel
Um semianel é semelhante a um anel, mas os elementos não precisam de ter inversos aditivos, portanto, não se pode fazer subtrações livremente nele. A definição de adição e multiplicação de matrizes com entradas num anel aplica-se a matrizes com entradas num semianel sem modificações. Matrizes de tamanho fixo com entradas num semianel formam um monoide comutativo Mat ( m , n ; R ) {\displaystyle \operatorname {Mat} (m,n;R)} sob a adição. Matrizes quadradas de tamanho fixo com entradas num semianel formam um semianel Mat ( n ; R ) {\displaystyle \operatorname {Mat} (n;R)} sob a adição e a multiplicação. O determinante de uma matriz quadrada n × n M {\displaystyle M} com entradas num semianel comutativo R {\displaystyle R} não pode ser definido em geral porque a definição envolveria inversos aditivos dos elementos do semianel. O que desempenha esse papel, em vez disso, é o par de determinantes positivo e negativo
